两资产的价差障碍期权定价分析

基于两资产的价差障碍期权定价分析 多维二叉树模型 蒙特卡罗模拟 1 变量说明表 变量名称变量说明 X0 Y0资产 X Y 初始价格 LNX LNY资产 X Y 的价格对数值 X Y资产 X Y 的价格 sigma1 sigma2资产 X Y 的波动率 barrier障碍价格 Rho资产 X Y 的相关系数 strike期权执行价格 nstep二叉树步数 npath蒙特卡罗模拟的资产路径数 rfrate无风险利率 outbarrier外障碍价格 inbarrier内障碍价格 2 多维二叉树模型 1 基本原理 1 多维二叉树 He H 在 1990 年发表的论文 Convergence from Discrete to Continuous Time Contingent Claims Prices 中提出要使得基于多资产的衍生产品的价格是无套利 的并且市场是完备的 那么基于 K 个资产的标的产品应该有 K 1 种价格状态 并非之前认为的 K K 1 种状态 并且这 K 1 种价格状态是反应多资产间的相 关系数的 并进而证明这样的多维二叉树模型计算的价格最终将收敛于 Black Scholes 多变量模型 参照 He H 的基本思路 Ren Raw Chen San Lin Chung 和 Tyler T Yang 在 2002 年提出了简单易行的计算 K 1 种价格状态的方法 在完备市场和无套利原 则下 衍生产品的价格可以通过多个风险资产和一个债券的资产组合价格复制 得到 期初衍生产品的价格为 以基于两资产的衍生产品为例 两个风险资产的价格服从几何布朗运动 且它 们的相关系数为 我们可以得到 其中 此时资产价格的二叉树三维图形为 以 Time 1 为例 在 Time 1 两个资产的三个价格状态为 Time 0 Time 1 Time 2 Time 3 下面确定 A B C 的值 A B C 的值应该一方面反映两个资产各自的波动 率 1 2 的值 另一方面反映出两个资产的相关系数 的值 前提假设 资产取每个价格状态是等可能的 那么 1 当两个资产没有相关性时 两个布朗运动独立 即 0 那么 A B C 的 值可以通过在半径为 1 的圆上取等间距的三个点的坐标表示 如图所示 A B C 点的坐标或者其他任意三个等间距取的点的坐标代表当资 产没有相关性时资产价格状态的波动程度 此时 Time 1 的价格状态波动项为 A B C 0101 10 3131 012222 3131 2222 1x rdt 2y rdt 0 1 31 22 31 22 xy xy xy A B C rr rr rr 2 当两个资产的相关性为 不为零时 通过变换坐标抽的方法计算波动率 如图转动 X 轴和 Y 轴 转动的角度 代表相关系数 的大小 它们之间的关 系是 sin 2 坐标轴转动后 A B C 新的坐标表示为 A B C 31 22 1 3 2 2 01 cossin sincos y x A A BB C C rr 等于 分别乘以的第一列和第二列 波动项 2 障碍期权定价原理 二叉树下障碍期权定价与一般的期权定价方法一致 唯一差别在于需要设 定障碍条件 障碍条件涉及以下两个基本特征 1 障碍设定在当前价格之上或者之下 up or down 2 触发障碍敲入还是敲出 knock in or knock out 以上升敲出期权为例 在价格触发 barrier 之前 期权有效 定价方式与一 般期权定价相同 当触发 barrier 时 期权失效 期权价值变为零 根据上面的描述 对于一个上升敲出的看涨期权来说 当采用二叉树定价 时 只需将股票在障碍之上的期权价值设为零 然后采用和普通期权一样的定 价方法定价即可 但存在一个问题 即设定的 barrier 水平不一定正好落在二叉 树的节点水平上 对于这样的情况我们采取设立外障碍与内障碍分别定价的方 法 再通过线性插值法得到相应 barrier 的期权价格 具体步骤是 首先选定上下最为临近 barrier 水平的两个节点水平 分别作 为外障碍水平和内障碍水平 其次 分别对外障碍水平下的期权和内障碍水平 下的期权定价 最后 用线性插值方法得到真实障碍水平下的期权价格 2 多维二叉树定价程序说明 function option mcoption barrier X0 Y0 sigma1 sigma2 strike barr ier t nstep npath rfrate Rho LNX cell nstep 1 LNY cell nstep 1 X cell nstep 1 Y cell nstep 1 Spread cell nstep 1 M cell 1 nstep C cell 1 nstep B cell 1 nstep A cell 1 nstep G cell 1 nstep H cell 1 nstep K cell 1 nstep F cell 1 nstep Option cell nstep 1 dt t nstep rx sigma1 sqrt 2 dt ry sigma2 sqrt 2 dt Phi 0 5 asin Rho Psi1 cos Phi sin Phi Psi2 sin Phi cos Phi R1 rx Psi1 0 5 sqrt 3 0 0 5 sqrt 3 0 5 1 0 5 R2 ry Psi2 0 5 sqrt 3 0 0 5 sqrt 3 0 5 1 0 5 计算对数价格 M 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 C 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 K 1 1 1 0 0 m 0 0 1 for i 2 nstep G 1 2 C 1 1 M 1 1 B 1 i B 1 i 1 m A 1 i A 1 i 1 B 1 i 1 K 1 i K 1 i 1 0 if i 2 预先设定储存空间 计算加入相关 系数的波动项 LNX 1 1 log X0 log X0 log X0 C 1 1 R1 A 1 1 LNY 1 1 log Y0 log Y0 log Y0 C 1 1 R2 A 1 1 LNX i 1 LNX 1 1 G 1 2 R1 A 1 i LNY i 1 LNY 1 1 G 1 2 R2 A 1 i else F 1 i K 1 i 2 eye i H 1 i zeros 0 5 i i 1 i 1 F 1 i C 1 i G 1 i 1 zeros i 0 5 i i 1 G 1 i C 1 i H 1 i LNX i 1 LNX i 1 1 G 1 i R1 A 1 i LNY i 1 LNY i 1 1 G 1 i R2 A 1 i end end 计算资产价格 for i 1 nstep for j 1 0 5 i 1 i 2 X i 1 j exp LNX i 1 j Y i 1 j exp LNY i 1 j 计算价差 Spread i 1 j abs X i 1 j Y i 1 j end end 设定内外barrier for i 1 nstep for j 1 0 5 i 1 i 2 if Spread i 1 j barrier outbarrier min Spread i 1 j end if Spread i 1 j outbarrier Option nstep 1 j 0 else Option nstep 1 j max Spread nstep 1 j strike 0 end else if N j inbarrier Option nstep 1 j 0 else Option nstep 1 j max Spread nstep 1 j strike 0 end else if N j barrier Payoff j nstep 0 else Payoff j nstep max Spread j nstep strike 0 end end mcoption normfit mean exp rfrate t Payoff nstep 4 运行结果比较 以 X Y 两只股票价格差的绝对值水平为标的 看涨上升敲出期权的价格计算 基本参数设置如下 12 0 2 0 3 05 10 15 t 1 5 1000 0 400 40XY 相关系数 执行价格 障碍水平 期限一年 无风险利率 蒙特卡罗模拟的路径数 条 方法 期权价 格 步数 N 10N 20N 30N 40N 50N 60 多维二 叉树 0 6466 0 39970 55700 45010 40550 4919 蒙特卡 罗模拟 0 3594 0 39770 4035 0 44350 34850 4306 计算价差 判断是否在障碍水 平之上 最后一期的 payoff 折现 求得期权初 期价格 5 结论 从上表的运行结果可以看到 两种方法计算出的价格大体上比较一致 需要进 一步研究的地方有 验证一 增加蒙特卡罗模拟路径的路径数到 10000 条 查看运行结果 方法 期权价 格 N N 10N 20N 30N 40N 50N 60 多维二 叉树 0 6466 0 39970 55700 45010 40550 4919 蒙特卡 罗模拟 0 3995 0 39550 3951 0 3851 0 39570 3801 增加路径数后蒙特卡罗模拟值趋于稳定 取值范围缩小为 0 3801 0 3995 二叉 树结果随着步数增加逐渐向蒙特卡罗模拟值收敛 但是在 N 60 步时收敛趋势 出现逆转 验证二 相关系数的由 1 到 1 变化时 期权价格变化结果 N 20 步 条数 1000 其他值不改变 相关系数与期权价格的关系 如图所示 N 20 步 路径条数 1000 条 其他值保持不变 方法 期权价 格 1 0 7 0 2 0 0 2 0 7 1 多维二 叉树 1 0421 0 36170 54380 59370 68010 70770 2187 蒙特卡 罗模拟 0 3472 0 40830 4135 0 4218 0 45810 2865 0 0591 相关系数在等于 1 和等于 1 处明显出现异常值 在 1 时 多维二叉树计算 的期权价格高于正常价格水平 1 时 两种方法计算出的期权价格跳跃下降 低于正常价格水平 验证三 障碍水平的变化与期权价格的关系 如图所示 N 20 路径 1000 K 10 随着障碍水平的升高 期权价格也逐渐上升 附 完整程序 function option mcoption barrier X0 Y0 sigma1 sigma2 strike barr ier t nstep npath rfrate Rho LNX cell nstep 1 LNY cell nstep 1 X cell nstep 1 Y cell nstep 1 Spread cell nstep 1 M cell 1 nstep C cell 1 nstep B cell 1 nstep A cell 1 nstep G cell 1 nstep H cell 1 nstep K cell 1 nstep F cell 1 nstep Option cell nstep 1 dt t nstep rx sigma1 sqrt 2 dt ry sigma2 sqrt 2 dt Phi 0 5 asin Rho Psi1 cos Phi sin Phi Psi2 sin Phi cos Phi R1 rx Psi1 0 5 sqrt 3 0 0 5 sqrt 3 0 5 1 0 5 R2 ry Psi2 0 5 sqrt 3 0 0 5 sqrt 3 0 5 1 0 5 M 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 C 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 K 1 1 1 0 0 m 0 0 1 for i 2 nstep G 1 2 C 1 1 M 1 1 B 1 i B 1 i 1 m A 1 i A 1 i 1 B 1 i 1 K 1 i K 1 i 1 0 if i 2 LNX 1 1 log X0 log X0 log X0 C 1 1 R1 A 1 1 LNY 1 1 log Y0 log Y0 log Y0 C 1 1 R2 A 1 1 LNX i 1 LNX 1 1 G 1 2 R1 A 1 i LNY i 1 LNY 1 1 G 1 2 R2 A 1 i else F 1 i K 1 i 2 eye i H 1 i zeros 0 5 i i 1 i 1 F 1 i C 1 i G 1 i 1 zeros i 0 5 i i 1 G 1 i C 1 i H 1 i LNX i 1 LNX i 1 1 G 1 i R1 A 1 i LNY i 1 LNY i 1 1 G 1 i R2 A 1 i end end 计算价格 for i 1 nstep for j 1 0 5 i 1 i 2 X i 1 j exp LNX i 1 j Y i 1 j exp LNY i 1 j 差价计算 Spread i 1 j abs X i 1 j Y i 1 j end end 设定内外barrier for i 1 nstep for j 1 0 5 i 1 i 2 if Spread i 1 j barrier outbarrier min Spread i 1 j end if Spread i 1 j outbarrier Option nstep 1 j 0 else Option nstep 1 j max Spread nstep 1 j strike 0 end else if N j inbarr