第14章振动教案2007

1 第四篇第四篇 波动波动 与光学与光学 振动振动 物理量在某一定值附近来回变化物理量在某一定值附近来回变化 振动振动 机械振动机械振动 力学量的振动 力学量的振动 电磁电磁 震荡震荡 电磁学量的振动 电磁学量的振动 波动波动 振动的传播过程伴随着能量的流动 振动的传播过程伴随着能量的流动 机械波机械波 机械振动在介质中的传播 机械振动在介质中的传播 电磁波电磁波 电磁场的传播 电磁场的传播 光光 属于属于电磁波电磁波 真空波长约在 真空波长约在 0 770 77 m 0 35m 0 35 m m 间 间 独特之处独特之处 引起人的视觉 实用性引起人的视觉 实用性 强 强 教学内容教学内容 共六共六章 约约 2828 学时学时 机械振动和机械波机械振动和机械波 第十四 十五 第十四 十五 章 章 2 电磁震荡和电磁波电磁震荡和电磁波 第十六章 第十六章 光波光波 光的干涉 十七章 光的干涉 十七章 光的 光的 衍射 十八章 衍射 十八章 光的偏振 十九章 光的偏振 十九章 第十四章第十四章 振动振动 教学目标教学目标 掌握描述简谐振动各物理量及相掌握描述简谐振动各物理量及相 互关系 互关系 掌握旋转矢量法 并分析有关问掌握旋转矢量法 并分析有关问 题 题 掌握谐振动基本特征 弹簧振子掌握谐振动基本特征 弹簧振子 微分方程 一维谐振动运动方程 微分方程 一维谐振动运动方程 理解同方向 同频率谐振动合成理解同方向 同频率谐振动合成 规律 规律 3 教学内容教学内容 6 6 学时 学时 14 1 14 1 简谐振动的描述简谐振动的描述 14 2 14 2 简谐振动的动力学简谐振动的动力学 14 3 14 3 阻尼振动阻尼振动 14 4 14 4 受迫振动受迫振动 共振共振 14 5 14 5 同方向同频率的简谐振动同方向同频率的简谐振动 的合成的合成 14 6 14 6 同方向不同频率的简谐振同方向不同频率的简谐振 动的合成动的合成 14 7 14 7 谐振分析谐振分析 重点重点 简谐振动的描述及特征简谐振动的描述及特征 谐振方谐振方 程 谐振曲线 旋转矢量 程 谐振曲线 旋转矢量 作业作业 14 03 14 03 14 0614 06 14 14 0808 14 1114 11 14 1314 13 14 1814 18 14 14 2222 14 2414 24 4 14 2614 26 14 3214 32 14 14 3838 14 1 14 1 简谐振动简谐振动 的描述的描述 一一 简谐振动的描述简谐振动的描述 例如例如 弹簧振子的无阻弹簧振子的无阻 尼振动就是简谐振动尼振动就是简谐振动 5 物体对于平衡位置的物体对于平衡位置的位移位移x x按余弦函按余弦函 数规律随数规律随t t变化变化的振动的振动 简谐振动简谐振动 1 1 谐振方程 谐振方程 谐振方程谐振方程 简谐振动的数学简谐振动的数学 表达式表达式 运动方程运动方程 cos tAx 14 1 14 1 其中其中 A A 和和为常量为常量 特征量特征量 A A 振幅振幅 dt d 角频率 角频率 初相 初相 相相 t 位位 14 2 14 2 相位变化相位变化 从从t t1 1到到t t2 2 相位从 相位从 变到变到 相位 相位 11 t 22 t 变化为 变化为 t 振动周期振动周期T T 6 当当时 一次全振动 时 一次全振动 2 有有 得 得 T 2 2 T 振动频率振动频率 及及 T 1 2 有 有 T 2 2 14 3 14 3 进一步记作 进一步记作 t T t 2 14 4 14 4 7 t T cos A tcos A tcos Ax 2 2 14 5 14 5 单位单位 SISI 制 制 T T s s Hz Hz 或或 s s 1 1 rad s rad s 或或 s s 1 1 2 2 谐振曲线 谐振曲线 按 按 14 5 14 5 描图描图 谐振曲线 谐振曲线 要点要点 特征量特征量 A A 特殊相位特殊相位 0 0 2 2 2 2 3 8 3 矢量图示法矢量图示法 旋转矢量旋转矢量 作矢量 作矢量A A绕绕O O以以匀角匀角 速速 沿逆时针旋转 端点画出一参考沿逆时针旋转 端点画出一参考 圆 圆 设设t 0t 0时 时 A A与与x x轴夹角为轴夹角为 任意任意t t时为时为 t 矢量端点矢量端点M M在在 OXOX 轴上投影点轴上投影点P P 的运动规律 的运动规律 9 cos tAx 它就是谐振子在它就是谐振子在 OXOX 方向上的方向上的简谐振动简谐振动规律 规律 结论 结论 可以用旋转矢量可以用旋转矢量 A A 的端点在的端点在 OXOX 轴上的投影点轴上的投影点 P P 的运动来摸拟一个在的运动来摸拟一个在 OXOX 轴上的简谐运动轴上的简谐运动 模拟内容如下 模拟内容如下 矢量长度矢量长度 振动振幅 振动振幅 矢量角位置矢量角位置 振动相位 振动相位 矢量初角矢量初角 振动初相位 振动初相位 矢量角位移矢量角位移 振动相位变振动相位变 化 化 矢量角速度矢量角速度 振动的角频振动的角频 率 率 矢量旋转周期和频率矢量旋转周期和频率 振振 动的周期和频率 动的周期和频率 例例 14 1 一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动 轴作简谐振动 振幅为振幅为 A 周期为 周期为 T 1 当 当 t 0 时 质点对平时 质点对平 10 衡位置的位移衡位置的位移 x0 A 2 质点向质点向 x 轴正向方运轴正向方运 动 动 求求 质点振动的初相 质点振动的初相 2 质点从质点从 x 0 处运动到处运动到 x A 2 处 处 求求 最少需要多少时间 最少需要多少时间 解解 1 当当 t 0 时 时 x0 A 2 旋转 旋转 矢量与矢量与 x 轴夹角为轴夹角为 3 或或 3 若若 3 不合题意 不合题意 若若 3 合题意 合题意 矢量端点矢量端点 投影向投影向 x 正方向运动正方向运动 故质点振动的初相为故质点振动的初相为 3 2 质点质点 x 0 处到处到 x A 2 处过处过 程 不是匀速运动 程 不是匀速运动 而在图 而在图 b x 0 到到 x A 2 旋转 旋转 11 矢量从矢量从 2 到到 3 处 转过处 转过 6 匀角速转动 转动一周是匀角速转动 转动一周是 T 转过 转过 6 时间为时间为 T 12 就是所求的最短时间 就是所求的最短时间 例例 14 2 一质点作简谐振动的振动曲一质点作简谐振动的振动曲 线如图 线如图 求求 质点的振动方程 质点的振动方程 解解 cos tAx 从图中找出从图中找出特征量特征量 A A 振幅振幅 A 2cmA 2cm 相位改变相位改变 在在t 0t 0时 时 x x0 0 A 2 A 2 质点速度 质点速度 曲线曲线 12 斜率斜率 为负值 可知初相为为负值 可知初相为 3 3 在在t 2st 2s时 时 x x0 0 A 2 A 2 质点速度为正 质点速度为正 值 相位应为值 相位应为 5 5 3 3 注意 不取 注意 不取 3 3 从从t 0t 0到到t 2st 2s 3 3变到变到 5 5 3 3 t 2st 2s 相位改变为相位改变为 4 4 3 3 角频率角频率 t 2t 2 3 3 振动方程振动方程 cmcm 3 t 3 2 cos 2x 二二 同频率的简谐振动的相位差同频率的简谐振动的相位差 设有下列两个同频率简谐振动 设有下列两个同频率简谐振动 cos 111 tAx 13 cos 222 tAx 相位差相位差为为 1212 t t 14 6 14 6 例如例如 tcosAx 11 Tt cosA tcos Ax42 222 1 从谐振方程分析从谐振方程分析 相位相位上上 超前超前振动振动2 x 1 x 2 2 时间时间上上 超前超前振动振动2 x 1 x T 4T 4 可见可见 相差 相差 2 相位比相位比2 x 大大 2 须须T 4T 4后到达后到达的的现状现状 1 x 1 x 2 x 2 从谐振曲线分析从谐振曲线分析 14 x 1 2 t 可见可见 在在t 0t 0时 时 振动的相位为振动的相位为1 x 0 0 振动的相位为振动的相位为 2 2 2 x 在在t T 4t T 4时 时 振动的相位为振动的相位为 1 x 2 2 振动的相位为振动的相位为 2 x 振动振动超前超前振动振动2 x 1 x 2 2 超前超前T 4T 4 3 3 从矢量图分析从矢量图分析 作出作出t 0t 0时两振动的矢量图 时两振动的矢量图 为简单起见 设为简单起见 设 A A1 1 A A2 2 15 A2 A1 x 其中其中 A A1 1 对应的旋转矢量 对应的旋转矢量 1 x A A2 2 对应的旋转矢量 对应的旋转矢量 2 x 夹角夹角代表相位差代表相位差 相位差不相位差不 随时间改变 随时间改变 可见可见 振动相位始终比振动相位始终比振动振动2 x 1 x 相位超前相位超前 2 2 可说 可说 振动超前振动超前1 x 振动振动3 23 2 2 x 约定约定 值限定在值限定在 以内以内 2k k 1 2 3 同同 0 相相 k k 1 3 5 反反 相 相 三三 简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度 16 简谐振动质点的速度简谐振动质点的速度 2 cos sin tA tA dt dx V 14 7 简谐振动质点的加速度简谐振动质点的加速度 cos cos 2 2 2 2 tA tA dt xd a 14 8 可以看出可以看出 x dt xd a 2 2 2 17 x O v O a O t t t 广义广义 简谐振动简谐振动x x的速度的速度v v 加速 加速 度度a a是简谐振动 且频率相同 是简谐振动 且频率相同 振幅分别为振幅分别为 A Vmax A 和和amax 2A 相位依次超前 相位依次超前 2 例例 14 3 一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动 轴作简谐振动 振幅振幅 A 0 12m 周期 周期 T 2s 当当 t 0 时 质点对平衡位置时 质点对平衡位置 的位移的位移 x0 0 06m 质点向 质点向 x 正向运动 正向运动 18 求求 1 简谐振动的运动方程 简谐振动的运动方程 2 当当 t T 4 时 质点时 质点 的位移 速度 加速度 的位移 速度 加速度 解解 1 取平衡位置为坐标原点 设取平衡位置为坐标原点 设 位移表达式为 位移表达式为 cos tAx 其中 其中 A 0 12 m s 2 1 T 下面用矢量图求初相 下面用矢量图求初相 19 由初始条件 由初始条件 t 0 时时 x0 0 06m A 2 质点向 质点向 x 正向运动 正向运动 可画出旋转矢量的初始位置 从可画出旋转矢量的初始位置 从 而得出而得出 3 于是于是运动方程运动方程为 为 3 cos 12 0 tx 2 速度速度为为 3 sin 12 0 sin ttAv 加速度加速度为为 3 cos 12 0 cos 22 ttAa 将将代入代入 得 得 s5 04 Tt 位移位移为 为 x 0 104 m 20 速度速度为 为 m s188 0 v 加速度加速度为 为 m s03 1 a 14 2 14 2 简谐振动简谐振动 的动力学的动力学 一一 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 按简谐振动按简谐振动 14 8 14 8 式式 改写为 改写为 x dt xd a 2 2 2 0 2 2 2 x dt xd 14 9 14 9 二阶线性齐次微分方程 称为二阶线性齐次微分方程 称为谐谐 振微分方程振微分方程 方程解为 方程解为 21 cos tAx 其中 其中 A A 积分常量 积分常量 讨论 讨论 满足谐振微分方程满足谐振微分方程 14 9 14 9 的物理量的物理量 是是谐振量谐振量 运动是 运动是简谐振动简谐振动 谐振的充分必要 谐振的充分必要 条件 条件 x x可能是 速度 加速度 角位移 可能是 速度 加速度 角位移 角速度 电流 电压 角速度 电流 电压 电场强度和磁感应强度电场强度和磁感应强度 等 等 二二 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征 1 1 若质点所受合外力是正比回复力若质点所受合外力是正比回复力 则质点运动是简谐振动 则质点运动是简谐振动 充充 kxF 要条件要条件 如果一个质点沿如果一个质点沿x x方向运动 它受方向运动 它受 到的合外力为正比回复力 即到的合外力为正比回复力 即 kxF 22 则由牛顿第二定律 可得则由牛顿第二定律 可得 kx dt xd m 2 2 或或 0 2 2 x m k dt xd 固有角频率固有角频率 m k 14 10 固有周期固有周期 14 11 k m T 2 2 2 2 若刚体所受的合外力矩是正比回若刚体所受的合外力矩是正比回 复力矩 复力矩 kM 14 12 14 12 刚体的转动是简谐振动 刚体的转动是简谐振动 由转动定律可得由转动定律可得 23 k dt d J 2 2 令令 J k 14 13 14 13 有有 0 dt d 2 2 2 谐振微分方程谐振微分方程 表示表示 刚体对于平衡位置的刚体对于平衡位置的 角位移角位移 是一个谐振量是一个谐振量 即即 表示表示 tcos 角位移的振幅 角位移的振幅 固有角频率固有角频率 24 14 14 J k 14 14 固有周期固有周期 k J T 2 2 14 15 14 15 下面考虑几个具体的简谐振动下面考虑几个具体的简谐振动 实例实例 自由振动的水平弹簧振子自由振动的水平弹簧振子 由胡克定律 物体受由胡克定律 物体受弹性力弹性力为为 25 kxF 简谐振动简谐振动 k k表示劲度系数表示劲度系数 固有角频率固有角频率为为 m k 固有周期固有周期为为 k m T 2 2 竖直悬挂的弹簧振子竖直悬挂的弹簧振子 还受另一还受另一 个恒力的作用个恒力的作用 平衡 原长 O O x x x x x0 26 则小球受合力为 则小球受合力为 kxmgF 平衡点平衡点 x x0 mg kx0 代入得 代入得 xx kkxkxF 00 设立设立 O x 轴 轴 0 xxx 得得 简谐振动简谐振动 xkF 振动周期振动周期是 是 k m T 2 单摆单摆 27 摆球所受力矩摆球所受力矩 sinmglM 对微振对微振 kmglM 其中 其中 k mgl 单摆的微振是简单摆的微振是简 谐振动 谐振动 角频率 角频率 l g ml mgl J k 2 14 16 周期周期 28 14 g l T 2 2 17 稳定平衡位置附近的微小振动稳定平衡位置附近的微小振动 不仅是单摆 所有在稳定平衡位置不仅是单摆 所有在稳定平衡位置 附近的微小振动都可看作简谐振动 附近的微小振动都可看作简谐振动 可通过泰勒级数展可通过泰勒级数展 开严格地证明开严格地证明 参考有关教材 参考有关教材 图图 a 正比回复力的 正比回复力的 F x 曲线曲线 图图 b 一般的回复力的 一般的回复力的 F x 曲线曲线 综述综述 如果知道一个物体受正比回复力如果知道一个物体受正比回复力 矩矩 的作用 则物体运动是简谐振动 的作用 则物体运动是简谐振动 29 特征量特征量 固有角频率 固有角频率 由系统的力学性由系统的力学性 质决定 质决定 振幅振幅A A和初相和初相 可由初始条可由初始条 件确定 件确定 例如例如 弹簧振子弹簧振子 若知道若知道t t 0 0 时振子的位移时振子的位移和速度和速度0 x 的值 代入得的值 代入得 0 v cos 0 Ax sin 0 Av 可解得可解得 2 2 02 0 v xA 14 19 14 19 arctan 0 0 x v 14 20 14 20 注意注意 可用简谐振动 可用简谐振动矢量图矢量图来判来判 定定 所在的所在的象限问题象限问题 30 例例 14 414 4 一个弹簧振子沿一个弹簧振子沿x x轴作简谐轴作简谐 振动 振动 已知弹簧的劲度系数为已知弹簧的劲度系数为 物体质量为 物体质量为 15 0N mk m 0 1kgm 0 1kg 在在t t 0 0 时物体位移时物体位移 速度 速度 m05 0 x0 m s82 0 v0 写出此简谐振动的表达式 写出此简谐振动的表达式 解解 需知道三个特征量需知道三个特征量A A 和和 角频率角频率由由 14 10 14 10 式可得式可得 s 2 12 1 0 15 m k 1 A A和和由初始条件决定 由初始条件决定 由由 14 19 14 19 式式 31 m 1038 8 2 12 82 0 05 0 v xA 2 2 2 2 2 2 02 0 由由 14 20 14 20 式式 21 2 93 0 34 1 arctan 05 0 2 12 82 0 arctan arctan 0 0 rad x v 由由 取取 0m05 0 cos 0 Ax rad 93 0 因此 因此 93 0 t2 12cos 1038 8x 2 m m 例例 14 514 5一匀质细杆的长度为一匀质细杆的长度为l l 质 质 量为量为m m 可绕其一端的轴 可绕其一端的轴O O 在铅垂面内自在铅垂面内自 由转动 见图 由转动 见图 求求 杆作杆作 微小振动时的周期 微小振动时的周期 32 mg l 解解 细杆所受合外力矩即重力矩 细杆所受合外力矩即重力矩 在细杆偏离平衡位置在细杆偏离平衡位置 角时角时 逆逆 时针方向为正时针方向为正 杆受重力矩为 杆受重力矩为 sin l mgM 2 对于微振 对于微振 很小 很小 所以 所以 sin kmglM 2 1 其中其中 mglk 2 1 1 1 杆的振动为简谐振动 杆的振动为简谐振动 转动惯量为转动惯量为 2 3 1 mlJ 33 2 2 按按 14 17 14 17 式 周期为式 周期为 k J T 2 3 3 把把 1 1 2 2 式带入式带入 3 3 式 得式 得 g l mgl ml k J T 3 2 2 2 3 22 2 三三 简谐振动的能量简谐振动的能量 以弹簧振子为例以弹簧振子为例 k k 劲度系数劲度系数 kxF 由由 14 1 14 1 式和式和 14 7 14 7 式 可得式 可得 cos 2 1 2 1 222 tkAkxEP 14 21 14 21 34 sin 2 1 2 1 2222 tAmmvEk 14 22 14 22 由由 14 10 14 10 式得式得 m k 2 改写改写 sin 2 1 22 tkAEk 14 23 14 23 因此 机械能为因此 机械能为 2 2 1 kAEEE Pk 14 24 14 24 改写改写 2cos1 4 1 cos 2 1 222 tkAtkAEP 35 2cos1 4 1 sin 2 1 222 tkAtkAEk 下面画出 下面画出 0 0 的的 E Ep p E Ek k图 图 可见可见 1 1 弹簧振子的机械能不随时间改弹簧振子的机械能不随时间改 变 即能量守恒 变 即能量守恒 36 孤立系统 在振动过程中没孤立系统 在振动过程中没 有外力对它做功有外力对它做功 2 2 简谐振动的弹簧振子的动能和简谐振动的弹簧振子的动能和 势能也在简谐振动 有 势能也在简谐振动 有 平衡点为平衡点为 能量能量 2 4 1 2 kA E 振幅为振幅为 2 4 1 2 kA E 动能 势能谐振频率均为动能 势能谐振频率均为 位移振动频率的两倍 位移振动频率的两倍 振动相位相反 机械能守振动相位相反 机械能守 恒 恒 3 3 动能 势能在一个位移周期 动能 势能在一个位移周期 内的平均值内的平均值 d dtt 2 2 1 4 1 2 2cos1 2 1 2 1 sin 2 11 22 2 0 22222 0 T EAm dAmdttAm T E T K 37 同理 同理 EKAEp 2 1 4 1 2 可见在一个位移周期内 谐振动平均可见在一个位移周期内 谐振动平均 动能等于平均势能 在前面讲能量均动能等于平均势能 在前面讲能量均 分定理时用到了这个结论 分定理时用到了这个结论 实际实际 任何一个简谐振动物体 受到 任何一个简谐振动物体 受到 合外力为正比回复力合外力为正比回复力 都相当 都相当 kxF 于于 一个弹簧振子 不同是 一个弹簧振子 不同是 k k值不值不 是劲度系数 而是由系统力学性质决定是劲度系数 而是由系统力学性质决定 的常数 的常数 例例 14 514 5 弹簧振子的劲度系数为弹簧振子的劲度系数为 k 质 质 量为量为 m 可沿 可沿 x 轴作简谐振动 轴作简谐振动 刚开始时刚开始时 振子静止在平衡点振子静止在平衡点 O 用恒定 用恒定 的外力的外力沿沿 x 轴正方轴正方 kaF 外 向拉动振子到向拉动振子到 x a 处放手 其中处放手 其中 a 为一正常为一正常 量 以放手时作为时间零点 量 以放手时作为时间零点 38 求求 振子的运动方程 振子的运动方程 解解 需要确定三个特征量需要确定三个特征量 A 和和 角频率取决于弹簧振子的自身角频率取决于弹簧振子的自身 的性质 的性质 m k 按功能原理 弹簧振子的能量按功能原理 弹簧振子的能量 等于外力作的功 故有 等于外力作的功 故有 22 kaaFkA 2 1 E 外 可解得 可解得 a2A 放手时振子位移放手时振子位移 且 且 2 Aax 速度为正 由旋转矢量图判断初相为 速度为正 由旋转矢量图判断初相为 4 运动方程运动方程为 为 39 4 t m k cos a2x 14 3 14 3 阻尼振动阻尼振动 仅 仅 供了解 供了解 阻尼振动阻尼振动 受阻力的作用的实际振动受阻力的作用的实际振动 系统 系统 实际振动系统要不断地克服阻力做功 实际振动系统要不断地克服阻力做功 能量将不断衰减 最终静止下来 能量将不断衰减 最终静止下来 例例 单摆在空气中振动 单摆在空气中振动 单摆是在水中振动 单摆是在水中振动 振动的形式和阻尼的大小有密切振动的形式和阻尼的大小有密切 关系 关系 由由实验实验得阻力得阻力 与速度与速度v v有下述有下述 r f 关系 关系 40 dt dx vf r 14 25 14 25 式中式中 为阻力系数 由物体形状 为阻力系数 由物体形状 大小 表面及介质性质决定 大小 表面及介质性质决定 按牛二定律可得微分方程按牛二定律可得微分方程 dt dx kx dt xd m 2 2 14 26 14 26 令 令 m k 2 0 m 2 为无阻尼时系统振动的固有为无阻尼时系统振动的固有0 角频率 角频率 称为阻尼因子称为阻尼因子 代入得 代入得 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd 14 27 14 27 41 在阻尼作用较小在阻尼作用较小 即即 时 时 0 此方程解为 此方程解为 cos 00 teAx t 14 28 14 28 其中 其中 14 29 14 29 22 0 而而和和是积分常数是积分常数 令 令 0 A 0 t eA t A 0 14 30 14 30 阻尼振动的振幅因阻尼振动的振幅因 子子 A t A t 按指数规律衰减按指数规律衰减 于是于是 14 29 14 29 式记作式记作 tcos t Ax 0 14 31 14 31 阻尼振动不是简谐振动 也不是严阻尼振动不是简谐振动 也不是严 格周期运动格周期运动 但有往复性 称为准周期但有往复性 称为准周期 振动振动 42 阻尼振动的周期阻尼振动的周期 22 0 22 T 14 32 14 32 图图 14 1514 15 阻尼振动图线阻尼振动图线 图图 14 1614 16 三种阻尼的比较三种阻尼的比较 43 阻尼振动的周期比系统的固有周期要 阻尼振动的周期比系统的固有周期要 长 若阻尼很小 阻尼振动周期接近长 若阻尼很小 阻尼振动周期接近 于于 无阻尼振动周期 阻尼越大 振动周无阻尼振动周期 阻尼越大 振动周 期越长 期越长 欠阻尼振动 欠阻尼振动 曲线曲线a a t eAA 0 过阻尼振动 过阻尼振动 曲线 曲线b b 0 不是周期运动不是周期运动 临界阻尼振动 临界阻尼振动 曲线 曲线c c 0 非周期性运动回到静止状态时间最短非周期性运动回到静止状态时间最短 14 4 14 4 受迫振动受迫振动 共振共振 仅供了解 仅供了解 一一 受迫振动受迫振动 在周期性的外力在周期性的外力 驱动力作用下的驱动力作用下的 振动振动 补充能量补充能量 设驱动力是简谐力 设驱动力是简谐力 tcosFF 0 14 33 14 33 44 同时受弹性力同时受弹性力和阻力和阻力 作用 作用 kx dt dx 按牛二定律 受迫振动微分方程是 按牛二定律 受迫振动微分方程是 2 2 0 dt xd mtcosF dt dx kx 两边除以两边除以m m并令并令 m k 2 0 以及以及 则改写成 则改写成 m 2 m F h 0 thx dt dx dt xd cos2 2 0 2 2 14 34 14 34 微分方程解为微分方程解为 cos cos 0 22 00 tAteAx t 14 35 14 35 表明表明 45 受迫振动可以看成是由两个受迫振动可以看成是由两个 振动合成的 振动合成的 受迫振动达到稳定状态受迫振动达到稳定状态 等等 幅振动幅振动 cos tAx 14 36 14 36 注注 振动的角频率振动的角频率 是驱动力的角频率是驱动力的角频率 可以证明 稳态的受迫振动的可以证明 稳态的受迫振动的 振幅为 振幅为 2 122222 0 4 h A 14 37 14 37 振动与驱动力的相差为 振动与驱动力的相差为 22 0 2 arctan 14 38 14 38 可知 可知 46 稳态受迫振动的振幅与驱动力稳态受迫振动的振幅与驱动力 频率有关 频率有关 当驱动力频率为某特定值时 当驱动力频率为某特定值时 振幅达将到极大值振幅达将到极大值 求极值求极值 驱动力的角频率驱动力的角频率为 为 22 0 2 r 14 39 14 39 振幅最大振幅为 振幅最大振幅为 22 0 2 h Ar 共振共振 14 40 14 40 47 图图 14 1714 17 受迫振动的振幅曲线受迫振动的振幅曲线 二二 共振共振 受迫振动的振幅达到最大值受迫振动的振幅达到最大值 的现象 的现象 共振现象共振现象 电磁共振 调谐 用于收音机电磁共振 调谐 用于收音机 选台 选台 声学共振 共鸣 用于乐器利声学共振 共鸣 用于乐器利 用加强音响效果 用加强音响效果 核磁共振用于进行物质结构研核磁共振用于进行物质结构研 究及医疗诊断等等 究及医疗诊断等等 下面三节 振动的合成下面三节 振动的合成 运动叠加原理运动叠加原理 48 例如 例如 当两列声波同时传到空间当两列声波同时传到空间 某点 该处质点运动是两振动的合某点 该处质点运动是两振动的合 成 成 同方向同频率的简谐振动的合同方向同频率的简谐振动的合 成成 合振动是简谐振动合振动是简谐振动 同方向不同频率的简谐振动的同方向不同频率的简谐振动的 合成合成 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动 谐振分析谐振分析 非简谐振动由简谐振非简谐振动由简谐振 动合成动合成 傅里叶分析 傅里叶分析 复杂周期性振动复杂周期性振动 傅里叶级数傅里叶级数 每一项级数表示一个简谐振动 每一项级数表示一个简谐振动 任意非周期性振动任意非周期性振动 傅里叶积傅里叶积 分 分解为许多简谐振动 分 分解为许多简谐振动 14 5 14 5 同方向同频率同方向同频率 的简谐振动的合成的简谐振动的合成 设两个振动为设两个振动为 cos 111 tAx 49 cos 222 tAx 合振动的位移为合振动的位移为 21 xxx 旋转矢量旋转矢量A A1 1 A A2 2的合矢量的合矢量A A A A的端的端 点投影坐标即 点投影坐标即 21 xxx 合矢量合矢量A A以以 匀速旋转匀速旋转 合振动也是简合振动也是简 谐振动 谐振动 cos tAx 50 讨论讨论 1 1 合振动振幅 合振动振幅 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 12 如果两个分振动如果两个分振动同相同相 有 有 k2 2 1 0 k 2121 2 2 2 1 2AAAAAAA 振动相互加强 振动相互加强 如果两个分振动如果两个分振动反相反相 有 有 12 k 2 1 0 k 2121 2 2 2 1 2AAAAAAA 振动相互减弱 振动相互减弱 若有 若有 A 0 质点静止 质点静止 21 AA 一般情况 一般情况 可取任意值 合振可取任意值 合振 幅值则在幅值则在 A1 A2和和 A1 A2 之间 之间 2 2 合振动初相合振动初相 51 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA 角的象限可由矢量图判定角的象限可由矢量图判定 例例 14 614 6 有一个质点参与两个简谐振动 其中有一个质点参与两个简谐振动 其中 第一个分振动为第一个分振动为 tcos x 30 1 合振动为合振动为 求求 第二个第二个 tsin x 40 分振动 分振动 O A1 A2 A Q P 解解 把合振动改写为把合振动改写为 t 0 时的矢时的矢 2 cos 4 0 tx 量图见上图 量图见上图 52 直角三角形直角三角形 OPQ 勾三股四弦五勾三股四弦五 于是 于是 A2 0 5 初相位初相位 1273790 2 故第二个分振动为故第二个分振动为 127cos 5 0 2 tx 例例 14 7 求简谐振动的合振动求简谐振动的合振动 t t 4 0 4 cos k k tax 0 0时合成矢量图见图时合成矢量图见图 O A A4 A3 A2 A1 解解 5 5 个同方向 同频率的简谐振动个同方向 同频率的简谐振动 的合振动 的合振动 53 从图中可以看出从图中可以看出 合振动的振幅为合振动的振幅为 aA 21 合振动的初相为合振动的初相为 2 故合振动为故合振动为 2 cos 21 tax 14 6 14 6 同方向不同频率的简谐振动同方向不同频率的简谐振动 合成 仅供了解 合成 仅供了解 两个分振动两个分振动 角频率为 角频率为和和 1 2 振幅都是振幅都是a a cos 111 tax cos 222 tax 54 14 41 14 41 由由和差化积公式和差化积公式可得 可得 22 cos 22 cos 2 cos cos 12121212 221121 tta tataxxx 14 42 14 42 无明显的周期性 无明显的周期性 特殊情况特殊情况 当两个分振动的频率比较大且很接近 当两个分振动的频率比较大且很接近 合振动将现明显的周期性 合振动将现明显的周期性 设设 2 2略大于略大于 1 1 1212 把第一个因子 低频振动因子 记作 把第一个因子 低频振动因子 记作 22 cos 2 1212 tatA 14 43 14 43 55 令令 14 45 14 45 式改写为 式改写为 2 12 2 cos 12 ttAx 表示 表示 合振动是合振动是准周期振动准周期振动 振动的振幅因子 振动的振幅因子 A t A t 随时间缓慢变化 角频率是随时间缓慢变化 角频率是 2 12 56 拍拍 频率相差很小的两个同方向振动 频率相差很小的两个同方向振动 合成产生的忽强忽弱的现象 合成产生的忽强忽弱的现象 拍频拍频 单位时间内振动加强或减 单位时间内振动加强或减 弱的次数 弱的次数 振幅因子的角频率与两个分振动的振幅因子的角频率与两个分振动的 角频率的关系为 角频率的关系为 2 12 两边除以两边除以2 2 得振幅因子的频率 得振幅因子的频率 2 12 考虑到准周期振动的振幅是振幅因考虑到准周期振动的振幅是振幅因 子的绝对值子的绝对值 余弦振动 余弦振动 t A 振幅振动的频率应为振幅因子频率振幅振动的频率应为振幅因子频率 的两倍 即的两倍 即拍频拍频为 为 14 44 14 44 12 两分振动频率之差 两分振动频率之差 57 图图 14 2214 22 拍拍 形成的矢量图形成的矢量图 当当A A2 2和和A A1 1的方向相同时 合的方向相同时 合 矢量最大 矢量最大 当当A A2 2和和A A1 1的方向相反时 合的方向相反时 合 矢量为零 矢量为零 可见 可见 若两个振动的振幅不相等 但拍现象若两个振动的振幅不相等 但拍现象 依然会出现 依然会出现 只是合矢量最小时不是零 而是只是合矢量最小时不是零 而是 节拍将表现得不清晰 节拍将表现得不清晰 12 AA 14 7 14 7 谐振分析谐振分析 仅 仅 供了解 供了解 58 1 1 谐振分析谐振分析 理论证明 任何复杂的周期性振动理论证明 任何复杂的周期性振动 都可分解为一系列简谐振动之和 都可分解为一系列简谐振动之和 2 2 傅里叶分析傅里叶分析 傅里叶傅里叶级数级数 一个周期为一个周期为T T的函数的函数可以分解可以分解 tF 为一个级数 每一项表示一个简谐振动 为一个级数 每一项表示一个简谐振动 1 0 cos 2 k kk tkA a tF 其中其中 各分振动振 各分振动振 T 2 幅幅与初相与初相可据可据求出 求出 k A k tF 基频是原来的周期函数基频是原来的周期函数的频率 的频率 tF 其它分振动频率是基频的整数倍 其它分振动频率是基频的整数倍 称为称为谐频谐频 傅里叶积分傅里叶积分 任意一种非周期性振动也可以分解任意一种非周期性振动也可以分解 为许多简谐振动 周期为为许多简谐振动 周期为 不再介 不再介 59 绍 绍 图图 14 14 2323 振动的频谱振动的频谱 a a 锯齿波 锯齿波 b b 锯齿波锯齿波 的频谱的频谱 c c 阻尼振动 阻尼振动 d d 阻尼阻尼 振动的频谱振动的频谱 周期性振动所包含的频率是分立的 周期性振动所包含的频率是分立的 频谱是线状谱频谱是线状谱 如图如图 a a b b 非周期性振动包含的频率是连续的 非周期性振动包含的频率是连续的 频谱是连续谱频谱是