圆周运动典型例题及答案详解概要

匀速圆周运动匀速圆周运动 的典型例题的典型例题 例例 1 如图所示的传动装置中 A B 两轮同轴转动 A B C 三轮的半径 大小的关系是 RA RC 2RB 当皮带不打滑时 三轮的角速度之比 三轮边缘的 线速度大小之比 三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少 例例 2 一圆盘可绕一通过圆盘中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动 在圆盘上 放置一木块 当圆盘匀速转动时 木块随圆盘一起运动 见图 那么 A 木块受到圆盘对它的摩擦力 方向背离圆盘中心 B 木块受到圆盘对它的摩擦力 方向指向圆盘中心 C 因为木块随圆盘一起运动 所以木块受到圆盘对它的摩擦力 方向与木块 的运动方向相同 D 因为摩擦力总是阻碍物体运动 所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与 木块的运动方向相反 E 因为二者是相对静止的 圆盘与木块之间无摩擦力 例例 3 在一个水平转台上放有 A B C 三个物体 它们跟台面间的摩擦因数 相同 A 的质量为 2m B C 各为 m A B 离转轴均为 r C 为 2r 则 A 若 A B C 三物体随转台一起转动未发生滑动 A C 的向心加速度比 B 大 B 若 A B C 三物体随转台一起转动未发生滑动 B 所受的静摩擦力最小 C 当转台转速增加时 C 最先发生滑动 D 当转台转速继续增加时 A 比 B 先滑动 例例 4 如图 光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A B 相距 L0 0 1m 长 L 1m 的柔软细线一端拴在 A 上 另一端拴住一个质量为 500g 的小球 小球的 初始位置在 AB 连线上 A 的一侧 把细线拉直 给小球以 2m s 的垂直细线方 向的水平速度 使它做圆周运动 由于钉子 B 的存在 使细线逐步缠在 A B 上 若细线能承受的最大张力 Tm 7N 则从开始运动到细线断裂历时多长 说明说明 圆周运动的显著特点是它的周期性 通过对运动规律的研究 用递推 法则写出解答结果的通式 一般表达式 有很重要的意义 对本题 还应该熟 练掌握数列求和方法 如果题中的细线始终不会断裂 有兴趣的同学还可计算一下 从小球开始运动 到细线完全绕在 A B 两钉子上 共需多少时间 例例 5 如图 a 所示 在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球 圆锥顶角为 2 当圆锥和球一起以角速度 匀速转动时 球压紧锥面 此时 绳的张力是多少 若要小球离开锥面 则小球的角速度至少为多少 说明说明 本题是属于二维的牛顿第二定律问题 解题时 一般可以物体为坐 标原点 建立 xoy 直角坐标 然后沿 x 轴和 y 轴两个方向 列出牛顿第二定律 的方程 其中一个方程是向心力和向心加速度的关系 最后解联立方程即可 例例 6 杂技节目中的 水流星 表演 用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子 演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动 在最高点杯口朝下 但水不会流下 如 下图所示 这是为什么 例例 7 如下图所示 自行车和人的总质量为 M 在一水平地面运动 若自行 车以速度 v 转过半径为 R 的弯道 1 求自行车的倾角应多大 2 自行车 所受的地面的摩擦力多大 例例 8 用长 L1 4m 和长为 L2 3m 的两根细线 拴一质量 m 2kg 的小球 A L1和 L2的另两端点分别系在一竖直杆的 O1 O2处 已知 O1O2 5m 如下图 g 10m s 2 1 当竖直杆以的角速度 匀速转动时 O2A 线刚好伸直且不受拉力 求此 时角速度 1 2 当 O1A 线所受力为 100N 时 求此时的角速度 2 说明说明 向心力是一种效果力 在本题中 O2A 受力与否决定于物体 A 做圆周运 动时角速度的临界值 在这种题目中找好临界值是关键 例例 9 一辆实验小车可沿水平地面 图中纸面 上的长直轨道匀速向右运动 有 一台发出细光束的激光器装在小转台 M 上 到轨道的距离 MN 为 d 10m 如图 所示 转台匀速转动 使激光束在水平面内扫描 扫描一周的时间为 T 60s 光束转动方向如图箭头所示 当光束与 MN 的夹角为 45 时 光束正好射到小 车上 如果再经过 t 2 5s 光束又射到小车上 则小车的速度为多少 结果 保留二位数字 例例 10 图所示为测量子弹速度的装置 一根水平转轴的端部焊接一个半径为 R 的薄壁圆筒 图为其横截面 转轴的转速是每分钟 n 转 一颗子弹沿圆筒的 水平直径由 A 点射入圆筒 在圆筒转过不到半圆时从 B 点穿出 假设子弹穿壁 时速度大小不变 并在飞行中保持水平方向 测量出 A B 两点间的孤长为 L 写出子弹速度的表达式 说明说明 解题过程中 物理过程示意图 是常用的方法 它可以使抽象的物理过程具体 形象化 便于从图中找出各物理量之间关系 以帮助建立物理方程 最后求出 答案 典型例题答案典型例题答案 例例 1 分析分析 皮带不打滑 表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟 皮带移动的距离相等 也就是说 用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大 小相等 根据这个特点 结合线速度 角速度 向心加速度的公式即可得解 解解 由于皮带不打滑 因此 B C 两轮边缘线速度大小相等 设 vB vC v 由 v R 得两轮角速度大小的关系 B C RC RB 2 1 因 A B 两轮同轴转动 角速度相等 即 A B 所以 A B C 三轮角速度 之比 A B C 2 2 1 因 A 轮边缘的线速度 vA ARA 2 BRB 2vB 所以 A B C 三轮边缘线速度之比 vA vB vC 2 1 1 根据向心加速度公式 a 2R 所以 A B C 三轮边缘向心加速度之比 8 4 2 4 2 1 例例 2 分析分析 由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动 时刻存在着一个沿半 径指向圆心的向心加速度 因此 它必然会受到一个沿半径指向中心 产生向 心加速度的力 向心力 以木块为研究对象进行受力分析 在竖直方向受到重力和盘面的支持力 它处 于力平衡状态 在盘面方向 可能受到的力只有来自盘面的摩擦力 静摩擦力 木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动 所以 这 个摩擦力的方向必沿半径指向中心 答答 B 说明说明 常有些同学认为 静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反 木块随圆盘一起匀速转动时 时时有沿切线方向飞出的趋势 因此静摩擦力的 方向应与木块的这种运动趋势方向相反 似乎应该选 D 这是一种极普遍的错 误认识 其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系 通常说做圆运动的物体 有沿线速度方向飞出的趋势 是指以地球为参照系而言的 而静摩擦力的方向 总是跟相对运动趋势的方向相反 应该是指相互接触的两个相关物体来说的 即是对盘面参照系 也就是说 对站在盘上跟盘一起转动的观察者 木块时刻 有沿半径向外滑出的趋势 所以 木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向 中心 例例 3 分析分析 A B C 三物体随转台一起转动时 它们的角速度都等于 转台的角速度 设为 根据向心加速度的公式 an 2r 已知 rA rB rC 所以 三物体向心加速度的大小关系为 aA aB aC A 错 三物体随转台一起转动时 由转台的静摩擦力提供向心力 即 f Fn m 2r 所 以三物体受到的静摩擦力的大小分别为 fA mA 2rA 2m 2r fB mB 2rB m 2r fC mc 2rc m 2 2r 2m 2r 即物体 B 所受静摩擦力最小 B 正确 由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值 设相互间摩擦因数为 静摩擦力 的最大值可认为是 fm mg 由 fm Fn 即 得不发生滑动的最大角速度为 即离转台中心越远的物体 使它不发生滑动时转台的最大角速度越小 由于 rC rA rB 所以当转台的转速逐渐增加时 物体 C 最先发生滑动 转速继 续增加时 物体 A B 将同时发生滑动 C 正确 D 错 答答 B C 例例 4 分析分析 小球转动时 由于细线逐步绕在 A B 两钉上 小球的转动 半径会逐渐变小 但小球转动的线速度大小保持不变 解解 小球交替地绕 A B 作匀速圆周运动 因线速度不变 随着转动半径的 减小 线中张力 T 不断增大 每转半圈的时间 t 不断减小 令 Tn Tm 7N 得 n 8 所以经历的时间为 例例 5 分析分析 小球在水平面内做匀速圆周运动 由绳子的张力和锥面的支 持力两者的合力提供向心力 在竖直方向则合外力为零 由此根据牛顿第二定 律列方程 即可求得解答 阿斯 解解 对小球进行受力分析如图 b 所示 根据牛顿第二定律 向心方向上有 T sin N cos m 2r y 方向上应有 N sin T cos G 0 r L sin 由 式可得 T mgcos m 2Lsin 当小球刚好离开锥面时 N 0 临界条件 则有 Tsin m 2r T cos G 0 例例 6 分析分析 水和杯子一起在竖直面内做圆周运动 需要提供一个向心力 当水杯在最低点时 水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供 当水杯在最 高点时 水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供 只要做圆周运 动的速度足够快 所需向心力足够大 水杯在最高点时 水就不会流下来 解解 以杯中之水为研究对象 进行受力分析 根据牛顿第二定律 例例 7 分析分析 骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜 从图中可知 当 骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向 角时 从而使静摩擦力 f 与地面支持力 N 的合力 Q 通过共同的质心 O 合力 Q 与重力的合力 F 是维持自行车作匀速圆周 运动所需要的向心力 解解 1 由图可知 向心力 F Mgtg 由牛顿第二定律有 2 由图可知 向心力 F 可看做合力 Q 在水平方向的分力 而 Q 又是水平方 向的静摩擦力 f 和支持力 N 的合力 所以静摩擦力 f 在数值上就等于向心力 F 即 f Mgtg 例例 8 分析分析 小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供 当小 球的运动速度不同时 所受拉力就不同 解解 1 当 O2A 线刚伸直而不受力时 受力如图所示 则 F1cos mg F1sin mR 12 由几何知识知 R 2 4m 37 代入式 1 1 77 rad s 2 当 O1A 受力为 100N 时 由 1 式 F1cos 100 0 8 80 N mg 由此知 O2A 受拉力 F2 则对 A 受力分析得 F1cos F2sin mg 0 F1sin F2cos mR 22 由式 4 5 得 例例 9 分析分析 激光器扫描一周的时间 T 60s 那么光束在 t 2 5s 时间内转过 的角度 激光束在竖直平面内的匀速转动 但在水平方向上光点的扫描速度是变化的 这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度 当小车正向 N 点接近时 在 t 内光束与 MN 的夹角由 45 变为 30 随着 减小 v扫在减小若 45 时 光照在小车上 此时 v扫 v车时 此后光 点将照到车前但 v扫 v车不变 当 v车 v扫时 它们的距离在缩小 解解 在 t 内 光束转过角度 如图 有两种可能 1 光束照射小车时 小车正在接近 N 点 t 内光束与 MN 的夹角从 45 变 为 30 小车走过 L1 速度应为 由图可知 L1 d tg45 tg30 由 两式并代入数值 得 v1 1 7m s 2 光束照到小车时 小车正在远离 N 点 t 内光束与 MN 的夹角从 45 为 60 小车走过 L2速度为 由图可知 L2 d tg60 tg45 由 两代并代入数值 得 v2 2 9m s 说明说明 光点在水平方向的扫描速度是变化的 它是沿经向速度和切向速度的合 速度 很多人把它理解为切向速度的分速度 即 则扫描速度不变化 就谈不上与小车的 追赶 了 将不可能发生经过一段时 间 再照射小车的问题 这一点速度的合成与分解应理解正确 另外光束与 MN 的夹角为 4