等差数列的性质

3 2 等差数列的性质 教学目标 1 掌握等差中项的概念和应用 2 理解等差数列的简单性质 3 理解和掌握等差数列通项公式的一般形式以及其推导过程 nm aanm d 教学重难点 1 等差中项的应用 2 等差数列通项公式的一般形式的推导及应用 nm aanm d 3 等差数列其他性质的推究 内容分析 本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究 学习等差数列的性质 教学过程 1 复习回顾 等差数列的概念 从第二项起 每一项于它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列称为等 差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用 d 表示 等差数列的通项公式 n 1 2 3 1 1 n aand 是等差数列 取下标为奇 偶 数的项 按原来的顺序组成的新数列还是等 n a 212nn aa 差数列 公差是 2d 新课讲授 思考题目 在 x y 之间插入一个数 A 使得 x A y 成等差数列 问 A 与 x y 之间有何 关系 让学生思考 上黑板写出自己的答案 老师分析推导过程 评讲及过程分析 A x y A 根据等差数列的定义 2A x y A x 2 y 归纳 若 x A y 成等差数列 则 A x 2 y 提问 反过来若 A 是否能推倒出若 x A y 成等差数列 x 2 y 先让学生思考 显然 将上述的过程逆向推导便可知 A x y A 则 x A y 成等差数列 总结 x A y 成等差数列 A 充要条件 x 2 y 定义 若 x A y 成等差数列 则 A 叫做 x y 的等差中项 拓展提问 等差数列中的任意连续 3 项 中间项与两端项有何关系 中间项 2 两端项之和 等差数列中 任一项是它两端项的等差中项 合理吗 对于有穷数列 除首 尾两项外的项都是它两端项的等差中项 对于无穷数列 除首项外的项都是它两端项的等差中项 例 在 9 17 之间插入 3 个数 使这 5 个数成等差数列 这三个数分别是多少 分析讲解 设这 3 个数分别是 x y z 由 9 x y z 17 成等差数列 等差数列中下标 为奇数的项也成等差数列 则 y x z 9 17 13 2 9y9 13 11 22 y 1713 17 15 22 提问 等差数列的通项公式 求 若不知 已知是否可以求 1 1 n aand n a 1 a 2 a n a 讨论思考 34 aa 呢 解答分析 思路一 1 1 n aand 1 1 n aand 1 1 n aand 1 2adnd 1 23adnd 1 34adnd 2 2and 3 3and 4 4and 观察 所求项的下标 已知项的下标 d 的系数 才想 是否可以一般化为 请同学们思考 请同学回答 nm aanm d 讲评分析 1 1 n aand m1 m 1aad 得 n11 11 m aaandamd mn d 所以 当 m 1 时 即为通项公式 nm aanm d 思路二 成等差数列 将去掉 余下的 n 1231 mmn aaaaaa 121m aaa mn aa m 1 项仍为等差数列 则为新的等差数列的首项 公差 d 不变 由通项公式有 m a 1 1 nmm aanmdanm d 问 n m 的大小有规定吗 n m 时 从推导过程看成立 n m 时 成立 n m 时 可将的位置调换 移项得 mn aa和 mn aamn d nm aanm d 总结 成立 只需满足即可 nm aanm d m A n 例 等差数列中 求 n 让学生思考解答 1832 95 123 199 n aaa 首先确立函数的方程 由 有 nm aanm d 3218 32 1812395 142aaddd 18 1821999521870 n aannn 归纳 两次运用了 nm aanm d 提问 从等差数列中取 4 项 下标分别为 n m k l 且 n m k l 则相应的项 有什么关系 请学生思考解答 nmkl a aa a 分析讲评 1 1 n aand m1 m 1aad k1 1aakd 1 1 l aald 得 1 22 nm aaanmd 得 1 22 kl aaakld 由 n m k l 得 11 2222anmdakld nmkl aaaa 当 k l 时 n m 2k 为的等差中项 2 nmk aaa k a nm aa 例 问 学生思考回答 34567 450aaaaa 28 aa 分析讲评 374655 290aaaaaa 则 285 2180aaa 巩固练习 1 已知 3912 912aaa 求 2 n a是等差数列 已知 1649 127aaaa 问求 3 3 个数成等差数列 他们的和为 18 平方和为 116 求这 3 个数 课堂小结 1 若 x A y 成等差数列 则 A 叫做 x y 的等差中项 且满足 x A y 成等差数列 A 充要条件 x 2 y 2 取等差数列中下标为奇 偶 数的项 按原来的顺序组成的新数列还是等差数列 公差 是