2014届高三数学一轮复习高考要点精练：19《轨迹方程的求法》

轨迹方程的求法轨迹方程的求法 复习要点 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程 其实质就是利用题设中的几何条件 用 坐标化 将其转化为寻求变量间的关系 这类问题 除了考查学生对圆锥曲线的定义 性质等基础知识的掌握 还充分考查了各种数学思想方 法及一定的推理能力和运算能力 因此这类问题成为高考命题的热点 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法 定义法 代入法 参数法 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐标化 列出等式化 简即得动点轨迹方程 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 4 参数法 若动点的坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可以以 这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 求轨迹方程 一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 例题 例例 1 1 已知A B为两定点 动点M到A与到B的距离比为常数 求点M的轨 迹方程 并注明轨迹是什么曲线 解 建立坐标系如图所示 设 AB 2a 则A a 0 B a 0 设M x y 是轨迹上任意一点 则由题设 得 坐标代入 MB MA 得 化简得 22 22 yax yax 1 2 x2 1 2 y2 2a 1 2 x 1 2 a2 0 1 当 1 时 即 MA MB 时 点M的轨迹方程是x 0 点M的轨迹是直线 y轴 2 当 1 时 点M的轨迹方程是x2 y2 x a2 0 点M的轨迹是以 2 2 1 1 2 a 0 为圆心 为半径的圆 2 2 1 1 a 1 2 2 a 例例 2 2 如图所示 已知P 4 0 是圆x2 y2 36 内的一点 A B是圆上两动点 且满足 APB 90 求矩形APBQ的顶点Q 的轨迹方程 解 设AB的中点为R 坐标为 x y 则在 Rt ABP中 AR PR 又因为 R 是弦AB的中点 依垂径定理 在 Rt OAR中 AR 2 AO 2 OR 2 36 x2 y2 又 AR PR 22 4 yx 所以有 x 4 2 y2 36 x2 y2 即x2 y2 4x 10 0 因此点R在一个圆上 而当R在此圆上运动时 Q点即在所求的轨迹上运动 设Q x y R x1 y1 因为R是PQ的中点 所以x1 2 0 2 4 1 y y x 代入方程x2 y2 4x 10 0 得 10 0 2 4 4 2 2 4 22 xyx 整理得 x2 y2 56 这就是所求的轨迹方程 例例 3 3 设点A和B为抛物线 y2 4px p 0 上原点以外的两个动点 已知 OA OB OM AB 求点M的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 2000 年北京 安徽春 招 解法一 设A x1 y1 B x2 y2 M x y 依题意 有 1 1 21 21 21 21 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 4 4 xx yy xx yy xx yy x y x y x y pxy pxy 得 y1 y2 y1 y2 4p x1 x2 若x1 x2 则有 2121 21 4 yy p xx yy 得y12 y22 16p2x1x2 代入上式有y1y2 16p2 代入 得 y x yy p 21 4 代入 得 p y x yy xx yy yy p 4 4 2 1 1 1 1 21 所以 2 1 1 214 44 ypx yyp yy p 即 4px y12 y y1 y2 y12 y1y2 代入上式 得x2 y2 4px 0 x 0 当x1 x2时 AB x轴 易得M 4p 0 仍满足方程 故点M的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 它表示以 2p 0 为圆心 以 2p为半径的圆 去掉坐标原点 解法二 设M x y 直线AB的方程为y kx b 由OM AB 得k y x 由y2 4px及y kx b 消去y 得k2x2 2kb 4p x b2 0 所以x1x2 消x 得ky2 4py 4pb 0 2 2 k b 所以y1y2 由OA OB 得y1y2 x1x2 k pb4 所以 b 4kp k pk4 2 2 k b 故y kx b k x 4p 用k 代入 得x2 y2 4px 0 x 0 y x 故动点M的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 它表示以 2p 0 为圆心 以 2p为半径的 圆 去掉坐标原点 例例 4 4 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱 检测 一个直径为 3 cm 的圆柱 为保证质量 有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱 问 这两个标准圆柱的直径为多少 解 设直径为 3 2 1 的三圆圆心分别为O A B 问题转化为求 两等圆P Q 使它们与 O相内切 与 A B相外切 建立如图所示的坐标系 并设 P的半径为r 则 PA PO 1 r 1 5 r 2 5 点P在以A O为焦点 长轴长 2 5 的椭圆上 其方程为 1 3 2 25 4 1 16 2 2 y x 同理P也在以O B为焦点 长轴长为 2 的椭圆上 其方程为 x 2 y2 1 2 1 3 4 由 可解得 r 14 12 14 9 14 12 14 9 QP 7 3 14 12 14 9 2 3 22 故所求圆柱的直径为 cm 7 6 例例 5 5 已知双曲线的中心在原点 以坐标轴为对称轴 离心率为 且双曲 5 2 线上动点 P 到点 A 2 0 的最近距离为 1 1 证明 满足条件的双曲线的焦点不可能在 y 轴上 2 求此双曲线的方程 3 设此双曲线的左右焦点分别是 Q 是双曲线右支上的动点 过作 12 F F 1 F 的平分线的垂线 求垂足 M 的轨迹 12 FQF 解解 1 证明 设双曲线的实半轴长为 虚半轴长为 半焦距为 则由abc c a 得 所以 5 2 22 2 5 4 ab a 1 2 b a 假设存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲线 则其渐近线方程为 2yx 因为点 A 2 0 到渐近线的距离为 所以双曲线上动点到点 A 的距离都 4 1 5 d 超过 1 所以 不存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲线 2 解 由 1 可设双曲线的方程为 22 22 10 4 xy b bb 则这个双曲线上任一点到点的距离为 P x y 2 0A 2 2 2 2222 584 244 4455 x PAxyxxbxb 2 2 xbb 若 则当时 有最小值 由 解得 8 2 5 b 8 5 x PA 2 min 4 1 5 PAb 舍去 2 1 5 b 若 则当时 有最小值 由 解得 8 2 5 b 2xb PA min 221PAb 31 22 b 或 舍去 双曲线的方程为 22 4 1 99 xy 3 解 设点 M 的坐标为 x y 延长与交于点 T 连接 OM 2 QF 1 F M QM 平分 且 QM 12 FQF 1 F M 1 QFQT 1 FMMT 又 点 Q 是双曲线右支上的动点 122 2QFQFQTQFa 2 2F Ta OMa 即点 M 在以 O 为圆心 为半径的圆上 a 当点 Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时 QM 趋近于双曲线的渐近线 点 M 的轨迹是圆弧 CBD 除去点 C 点 D 方程为 22 6 5 93 5 xyx 例例 6 6 如图 过点 A 1 0 斜率为k的直线l与抛物线C y2 4x交于 P Q两点 I 若曲线C的焦点F与P Q R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR 求点R的 轨迹方程 II 设P Q两点只在第一象限运动 0 8 点与线段PQ中点的连线交x轴于 点N 当点N在A点右侧时 求k的取值范围 解解 I 要求点R的轨迹方程 注意到 点 R 的运动是由直线l的运动所引起的 因此可 以探求点 R 的横 纵坐标与直线l的斜率k的关 系 然而 点 R 与直线l并无直接联系 与 l 有直接联系的是点 P Q 通过平行四边形将 P Q R 这三点联系起来就成为解题的关键 由已知 代入抛物线C y2 4x的方程 消x得 1 lyk x 2 0 4 k yyk QClP直线交抛物线于两点 2 0 4 10 k k 解得1001kk 或 设 M 是 PQ 的中点 则由韦达定理可知 1122 P x yQ xyR x y 12 2 2 M yy y k 将其代入直线l 的方程 得 2 2 1 2 M M x k y k 四边形PFQR是平行四边形 中点也是中点 RFPQM 2 4 23 4 2 MF M xxx k yy k 又 1 0 0 1 k 1 M x 点R的轨迹方程为 1 3 4 2 xxy II 因为P 在第一象限 所以 结合 I Q 121 00yyy 2 且 y0k 得 1 0 k 点 0 8 与PQ中点所在直线方程为 令y 0 得 N 点横坐标为 8 2 82 2 2 x k kk y 2 2 48 4 N k x kk 因为 N 在点 A 右侧 令 得 解之得k0 2 y 2 1 2 y PF y xPM 又 0 PFPMPFPM 即 0 4 2 y x 的方程是轨迹Cxxy 0 4 2 II 抛物线 C 的准线方程是 x 1 由抛物线定义知 BFxAF 1 1 1 2 x DFx 3 1 成等差数列 DFBFAF 231231 2 1 211xxxxxx 又 3 2 32 2 21 2 1 444xyxyxy 故 4 313131 2 3 2 1 xxyyyyyy 3131 31 4 yyxx yy kAD AD 的中垂线为 3 4 31 x yy y 而 AD 中点 22 3131 yyxx 3 2 42 313131 xxyyyy 即 1 3 2 1 1 22 xx 由 24 22 2 2 yxy B 点坐标为 1 2 或 1 2 例例 8 8 双曲线的两焦点分别是 其中是抛物线的焦 1 F 2 F 1 F1 1 4 1 2 xy 点 两点A 3 2 B 1 2 都在该双曲线上 1 求点的坐标 1 F 2 求点的轨迹方程 并指出其轨迹表示的曲线 2 F 解 1 由得 焦点 1 0 1 1 4 1 2 xy 1 4 1 2 yx 1 F 2 因为A B在双曲线上 所以 2121 BFBFAFAF 22 22 22 BFAF 若 则 点的轨迹是线段AB的垂直平分线 22 22 22 BFAF 22 BFAF 2 F 且当y 0 时 与重合 当y 4 时 A B均在双曲线的虚轴上 1 F 2 F 故此时的轨迹方程为x 1 y 0 y 4 2 F 若 则 此时 的轨迹是以A B为22 22 22 BFAF24 22 BFAF 2 F 焦点 中心为 1 2 的椭圆 22 a2 c 其方程为 y 0 y 4 1 4 2 8 1 22 yx 故的轨迹是直线x 1 或椭圆 除去两点 1 0 1 4 2 F 4 2 8 1 22 yx 1 轨迹方程的求法练习轨迹方程的求法练习 一 选择题 1 已知椭圆的焦点是F1 F2 P是椭圆上的一个动点 如果延长F1P到Q 使得 PQ PF2 那么动点Q的轨迹是 A 圆B 椭圆 C 双曲线的一支D 抛物线 2 设A1 A2是椭圆 1 的长轴两个端点 P1 P2是垂直于A1A2的弦的端点 49 22 yx 则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 A B 1 49 22 yx 1 49 22 xy C D 1 49 22 yx 1 49 22 xy 二 填空题 3 ABC中 A为动点 B C为定点 B 0 C 0 且满足条件 2 a 2 a sinC sinB sinA 则动点A的轨迹方程为 2 1 4 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上 且相距 10 m 如果把两旗杆底部的 坐标分别确定为A 5 0 B 5 0 则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 三 解答题 5 已知A B C是直线l上的三点 且 AB BC 6 O 切直线l于点A 又过 B C作 O 异于l的两切线 设这两切线交于点P 求点P的轨迹方程 6 双曲线 1 的实轴为A1A2 点P是双曲线上的一个动点 引 2 2 2 2 b y a x A1Q A1P A2Q A2P A1Q与A2Q的交点为Q 求Q点的轨迹方程 7 已知双曲线 1 m 0 n 0 的顶点为A1 A2 与y轴平行的直线l交双曲 2 2 2 2 n y m x 线于点P Q 1 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程 2 当m n时 求所得圆锥曲线的焦点坐标 准线方程和离心率 8 已知椭圆 1 a b 0 点P为其上一点 F1 F2为椭圆的焦点 F1PF2 2 2 2 2 b y a x 的外角平分线为l 点F2关于l的对称点为Q F2Q交l于点R 1 当P点在椭圆上运动时 求R形成的轨迹方程 2 设点R形成的曲线为C 直线l y k x a 与曲线C相交于A B两点 当 2 AOB的面积取得最大值时 求k的值 参考答案参考答案 一 1 解析 PF1 PF2 2a PQ PF2 PF1 PF2 PF1 PQ 2a 即 F1Q 2a 动点Q到定点F1的距离等于定长 2a 故动点Q的轨迹是圆 答案 A 2 解析 设交点P x y A1 3 0 A2 3 0 P1 x0 y0 P2 x0 y0 A1 P1 P共线 3 0 0 x y xx yy A2 P2 P共线 3 0 0 x y xx yy 解得x0 1 49 1 49 3 9 22 2 0 2 0 0 yxyx x y y x 即代入得 答案 C 二 3 解析 由 sinC sinB sinA 得c b a 2 1 2 1 应为双曲线一支 且实轴长为 故方程为 2 a 4 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 答案 4 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 4 解析 设P x y 依题意有 化简得P点轨迹方程为 2222 5 3 5 5 yxyx 4x2 4y2 85x 100 0 答案 4x2 4y2 85x 100 0 三 5 解 设过B C异于l的两切线分别切 O 于D E两点 两切线交于点P 由 切线的性质知 BA BD PD PE CA CE 故 PB PC BD PD PC BA PE PC BA CE AB CA 6 12 18 6 BC 故由椭圆定义知 点P的轨迹是以B C为两焦 点的椭圆 以l所在的直线为x轴 以BC的中点为原点 建立坐标系 可求得动点P的轨 迹方程为 1 y 0 7281 22 yx 6 解 设P x0 y0 x a Q x y A1 a 0 A2 a 0 由条件 y ax y axxx ax y ax y ax y ax y 22 0 00 0 0 0 0 1 1 得 而点P x0 y0 在双曲线上 b2x02 a2y02 a2b2 即b2 x2 a2 2 a2b2 y ax 22 化简得Q点的轨迹方程为 a2x2 b2y2 a4 x a 7 解 1 设P点的坐标为 x