2018年广东省东莞市高考数学二调试卷(文科)

公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 1 页 共 23 页 2018 年广东省东莞市高考数学二调试卷 文科 年广东省东莞市高考数学二调试卷 文科 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知 A 1 2 4 8 16 B y y log2x x A 则 A B A 1 2 B 2 4 8 C 1 2 4 D 1 2 4 8 2 5 分 若复数 z 满足 1 2i z 1 i 则 z A B C D 3 5 分 已知 sin cos 则 sin2 A B C D 4 5 分 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到 l 的距离为其 短轴长的 则该椭圆的离心率为 A B C D 5 5 分 在 ABC 中 B BC 边上的高等于BC 则 sinA A B C D 6 5 分 已知 则 z 22x y的最小值是 A 1B 16C 8D 4 7 5 分 执行如图所示的程序框图 则输出的结果为 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 2 页 共 23 页 A 7B 9C 10D 11 8 5 分 设函数 f x x3 ax2 若曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切 线方程为 x y 0 则点 P 的坐标为 A 0 0 B 1 1 C 1 1 D 1 1 或 1 1 9 5 分 在正四棱锥 P ABCD 中 PA 2 直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60 E 为 PC 的中点 则异面直线 PA 与 BE 所成角为 A 90 B 60 C 45 D 30 10 5 分 已知函数 f x sinx cosx R 的图象关于 x 对称 则把函 数 f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍 再向右平移 得到函 数 g x 的图象 则函数 g x 的一条对称轴方程为 A x B x C x D x 11 5 分 函数 y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 A B C D 12 5 分 已知函数 f x xsinx cosx x2 则不等式 的解集为 A e B 0 e C D 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 3 页 共 23 页 13 5 分 设向量 x x 1 1 2 且 则 x 14 5 分 在各项都为正数的等比数列 an 中 已知 a1 2 则数列 an 的通项公式 an 15 5 分 已知 x 2 y 2 点 P 的坐标为 x y 当 x y R 时 点 P 满足 x 2 2 y 2 2 4 的概率为 16 5 分 已知函数 其中 m 0 若存在实数 b 使得关于 x 的方程 f x b 有三个不同的零点 则 m 的取值范围是 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个考生都必须作答 第题为必考题 每个考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据题为选考题 考生根据 要求作答 要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分 分 17 12 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an 2 n N 求数列 an 的通项公式 求数列 Sn 的前 n 项和 Tn 18 12 分 某城市随机抽取一年 365 天 内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据 结果统计如下 API 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 30 0 300 空气质 量 优良轻微污 染 轻度污 染 中度污 染 中度重污 染 重度污 染 天数413183091115 记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S 单位 元 空气质量指数 API 为 在区间 0 100 对企业没有造成经济损失 在区间 100 300 对企业造成 经济损失成直线模型 当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元 当 API 为 200 时 造成的经济损失为 700 元 当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 4 页 共 23 页 1 试写出是 S 的表达式 2 试估计在本年内随机抽取一天 该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率 3 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季 其中有 8 天为重度污染 完 成下面 2 2 列联表 并判断能否有 95 的把握认为该市本年空气重度污染与供 暖有关 附 P K2 k0 0 250 150 100 050 02 5 0 0100 0050 001 k01 322 072 703 848 026 637 8710 82 K2 非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季 合计100 19 12 分 如图 1 矩形 ABCD 中 AB 12 AD 6 E F 分别为 CD AB 边上 的点 且 DE 3 BF 4 将 BCE 沿 BE 折起至 PBE 位置 如图 2 所示 连结 AP PF 其中 PF 2 1 求证 PF 平面 ABED 2 求点 A 到平面 PBE 的距离 20 12 分 已知椭圆 C 的离心率为 且过点 A 2 1 求椭圆 C 的方程 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 5 页 共 23 页 若 P Q 是椭圆 C 上的两个动点 且使 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴 试判断直线 PQ 的斜率是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 21 12 分 已知函数 f x x2 a 2 x alnx a R 求函数 y f x 的单调区间 当 a 1 时 证明 对任意的 x 0 f x ex x2 x 2 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 答题时请写清题号并将相应信息点涂黑 则按所做的第一题计分 答题时请写清题号并将相应信息点涂黑 选修选修 4 4 参参 数方程与极坐标系数方程与极坐标系 22 10 分 在直角坐标系中 直线的参数方程为 t 为参数 在以坐 标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C 2 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程 求曲线上的点到直线的距离的最大值 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x x a 1 x 2a 1 若 f 1 3 求实数 a 的取值范围 2 若 a 1 x R 求证 f x 2 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 6 页 共 23 页 2018 年广东省东莞市高考数学二调试卷 文科 年广东省东莞市高考数学二调试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知 A 1 2 4 8 16 B y y log2x x A 则 A B A 1 2 B 2 4 8 C 1 2 4 D 1 2 4 8 解答 解 A 1 2 4 8 16 B y y log2x x A 0 1 2 3 4 A B 1 2 4 故选 C 2 5 分 若复数 z 满足 1 2i z 1 i 则 z A B C D 解答 解 由 1 2i z 1 i 得 则 z 故选 C 3 5 分 已知 sin cos 则 sin2 A B C D 解答 解 sin cos sin cos 2 1 2sin cos 1 sin2 sin2 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 7 页 共 23 页 故选 A 4 5 分 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到 l 的距离为其 短轴长的 则该椭圆的离心率为 A B C D 解答 解 设椭圆的方程为 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个 焦点 则直线方程为 椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 可得 4 b2 3 e 故选 B 5 5 分 在 ABC 中 B BC 边上的高等于BC 则 sinA A B C D 解答 解 在 ABC 中 B BC 边上的高等于BC AB BC 由余弦定理得 AC BC 故BC BC AB AC sinA BC BC sinA 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 8 页 共 23 页 sinA 故选 D 6 5 分 已知 则 z 22x y的最小值是 A 1B 16C 8D 4 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 设 m 2x y 则得 y 2x m 平移直线 y 2x m 由图象可知当直线 y 2x m 经过点 A 时 直线的截距最小 此时 m 最小 z 也最小 由 解得 得 A 1 1 此时 m 2 1 1 3 z 22x y z 23 8 故选 C 7 5 分 执行如图所示的程序框图 则输出的结果为 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 9 页 共 23 页 A 7B 9C 10D 11 解答 解 模拟程序的运行 可得 否 否 否 否 是 输出 i 9 故选 B 8 5 分 设函数 f x x3 ax2 若曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切 线方程为 x y 0 则点 P 的坐标为 A 0 0 B 1 1 C 1 1 D 1 1 或 1 1 解答 解 f x x3 ax2 f x 3x2 2ax 函数在点 x0 f x0 处的切线方程为 x y 0 3x02 2ax0 1 x0 x03 ax02 0 解得 x0 1 当 x0 1 时 f x0 1 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 10 页 共 23 页 当 x0 1 时 f x0 1 故选 D 9 5 分 在正四棱锥 P ABCD 中 PA 2 直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60 E 为 PC 的中点 则异面直线 PA 与 BE 所成角为 A 90 B 60 C 45 D 30 解答 解 连接 AC BD 交于点 O 连接 OE OP 因为 E 为 PC 中点 所以 OE PA 所以 OEB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角 因为四棱锥 P ABCD 为正四棱锥 所以 PO 平面 ABCD 所以 AO 为 PA 在面 ABCD 内的射影 所以 PAO 即为 PA 与面 ABCD 所成的角 即 PAO 60 因为 PA 2 所以 OA OB 1 OE 1 所以在直角三角形 EOB 中 OEB 45 即面直线 PA 与 BE 所成的角为 45 故选 C 10 5 分 已知函数 f x sinx cosx R 的图象关于 x 对称 则把函 数 f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍 再向右平移 得到函 数 g x 的图象 则函数 g x 的一条对称轴方程为 A x B x C x D x 解答 解 根据函数 f x sinx cosx R 的图象关于 x 对称 可得 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 11 页 共 23 页 可得 1 所以 把 f x 的图象横坐标扩大到原来的 2 倍 可得 y sin x 的图象 再向右平移 得到函数 g x sin x sin x 的 图象 即 g x sin 令 k 求得 x 2k k Z 故函数 g x 的图象的对称轴 方程为 x 2k k Z 当 k 0 时 对称轴的方程为 故选 D 11 5 分 函数 y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 A B C D 解答 解 f x y 2x2 e x f x 2 x 2 e x 2x2 e x 故函数为偶函数 当 x 2 时 y 8 e2 0 1 故排除 A B 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 12 页 共 23 页 当 x 0 2 时 f x y 2x2 ex f x 4x ex 0 有解 故函数 y 2x2 e x 在 0 2 不是单调的 故排除 C 故选 D 12 5 分 已知函数 f x xsinx cosx x2 则不等式 的解集为 A e B 0 e C D 解答 解 函数 f x xsinx cosx x2的导数为 f x sinx xcosx sinx 2x x 2 cosx 则 x 0 时 f x 0 f x 递增 且 f x xsinx cos x x 2 f x 则为偶函数 即有 f x f x 则不等式 即为 f lnx f 1 即为 f lnx f 1 则 lnx 1 即 1 lnx 1 解得 x e 故选 D 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 设向量 x x 1 1 2 且 则 x 解答 解 即 x 2 x 1 0 故答案为 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 13 页 共 23 页 14 5 分 在各项都为正数的等比数列 an 中 已知 a1 2 则数列 an 的通项公式 an 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q 0 a1 2 4 化为 q4 4q2 4 0 解得 q2 2 q 0 解得 q 则数列 an 的通项公式 an 故答案为 15 5 分 已知 x 2 y 2 点 P 的坐标为 x y 当 x y R 时 点 P 满足 x 2 2 y 2 2 4 的概率为 解答 解 如图 点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部 满足 x 2 2 y 2 2 4 的点位于的区域是 以 C 2 2 为圆心 半径等于 2 的圆及其内部 P 满足 x 2 2 y 2 2 4 的概率为 P1 故答案为 16 5 分 已知函数 其中 m 0 若存在实数 b 使得关于 x 的方程 f x b 有三个不同的零点 则 m 的取值范围是 3 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 14 页 共 23 页 解答 解 当 m 0 时 函数的图象如下 x m 时 f x x2 2mx 4m x m 2 4m m2 4m m2 y 要使得关于 x 的方程 f x b 有三个不同的根 必须 4m m2 m m 0 即 m2 3m m 0 解得 m 3 m 的取值范围是 3 故答案为 3 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个考生都必须作答 第题为必考题 每个考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据题为选考题 考生根据 要求作答 要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分 分 17 12 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an 2 n N 求数列 an 的通项公式 求数列 Sn 的前 n 项和 Tn 解答 解 列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an 2 则 Sn 1 2an 1 2 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 15 页 共 23 页 得 an 1 2an 即 常数 当 n 1 时 a1 S1 2a1 2 解得 a1 2 所以数列的通项公式为 由于 则 2n 1 2 2 2 2 2n 2 4 2n 18 12 分 某城市随机抽取一年 365 天 内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据 结果统计如下 API 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 30 0 300 空气质 量 优良轻微污 染 轻度污 染 中度污 染 中度重污 染 重度污 染 天数413183091115 记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S 单位 元 空气质量指数 API 为 在区间 0 100 对企业没有造成经济损失 在区间 100 300 对企业造成 经济损失成直线模型 当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元 当 API 为 200 时 造成的经济损失为 700 元 当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元 1 试写出是 S 的表达式 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 16 页 共 23 页 2 试估计在本年内随机抽取一天 该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率 3 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季 其中有 8 天为重度污染 完 成下面 2 2 列联表 并判断能否有 95 的把握认为该市本年空气重度污染与供 暖有关 附 P K2 k0 0 250 150 100 050 02 5 0 0100 0050 001 k01 322 072 703 848 026 637 8710 82 K2 非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季 合计100 解答 解 1 根据在区间 0 100 对企业没有造成经济损失 在区间 100 300 对企业造成经济损失成直线模型 当 API 为 150 时造成的经济损失 为 500 元 当 API 为 200 时 造成的经济损失为 700 元 当 API 大于 300 时造 成的经济损失为 2000 元 可得 S 2 设 在本年内随机抽取一天 该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元 为事件 A 由 200 S 600 得 100 175 频数为 33 P A 2 根据以上数据得到如表 非重度污染重度污染合计 供暖季22830 非供暖季63770 合计8515100 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 17 页 共 23 页 K2的观测值 K2 4 575 3 841 所以有 95 的把握认为空气重度污染与供暖有关 19 12 分 如图 1 矩形 ABCD 中 AB 12 AD 6 E F 分别为 CD AB 边上 的点 且 DE 3 BF 4 将 BCE 沿 BE 折起至 PBE 位置 如图 2 所示 连结 AP PF 其中 PF 2 1 求证 PF 平面 ABED 2 求点 A 到平面 PBE 的距离 解答 解 1 连结 EF 由翻折不变性可知 PB BC 6 PE CE 9 在 PBF 中 PF2 BF2 20 16 36 PB2 所以 PF BF 2 分 在图 1 中 利用勾股定理 得 EF 在 PEF 中 EF2 PF2 61 20 81 PE2 PF EF 4 分 又 BF EF F BF 平面 ABED EF 平面 ABED PF 平面 ABED 6 分 2 解 由 1 知 PF 平面 ABED PF 为三棱锥 P ABE 的高 8 分 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h 由等体积法得 VA PBE VP ABE 10 分 即 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 18 页 共 23 页 h 即点 A 到平面 PBE 的距离为 14 分 20 12 分 已知椭圆 C 的离心率为 且过点 A 2 1 求椭圆 C 的方程 若 P Q 是椭圆 C 上的两个动点 且使 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴 试判断直线 PQ 的斜率是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 解答 解 因为椭圆 C 的离心率为 且过点 A 2 1 所以 2 分 因为 a2 b2 c2 解得 a2 8 b2 2 3 分 所以椭圆 C 的方程为 4 分 解法一 因为 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴 所以 PA 与 AQ 所在直线 关于直线 x 2 对称 设直线 PA 的斜率为 k 则直线 AQ 的斜率为 k 5 分 所以直线 PA 的方程为 y 1 k x 2 直线 AQ 的方程为 y 1 k x 2 设点 P xP yP Q xQ yQ 由 消去 y 得 1 4k2 x2 16k2 8k x 16k2 16k 4 0 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 19 页 共 23 页 因为点 A 2 1 在椭圆 C 上 所以 x 2 是方程 的一个根 则 6 分 所以 7 分 同理 8 分 所以 9 分 又 10 分 所以直线 PQ 的斜率为 11 分 所以直线 PQ 的斜率为定值 该值为 12 分 解法二 设点 P x1 y1 Q x2 y2 则直线 PA 的斜率 直线 QA 的斜率 因为 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴 所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x 2 对 称 所以 kPA kQA 即 5 分 因为点 P x1 y1 Q x2 y2 在椭圆 C 上 所以 由 得 得 6 分 同理由 得 7 分 由 得 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 20 页 共 23 页 化简得 x1y2 x2y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 8 分 由 得 x1y2 x2y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 9 分 得 x1 x2 2 y1 y2 10 分 得 得 11 分 所以直线 PQ 的斜率为为定值 12 分 解法三 设直线 PQ 的方程为 y kx b 点 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 kx1 b y2 kx2 b 直线 PA 的斜率 直线 QA 的斜率 5 分 因为 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴 所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x 2 对 称 所以 kPA kQA 即 6 分 化简得 x1y2 x2y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 把 y1 kx1 b y2 kx2 b 代入上式 并化简得 2kx1x2 b 1 2k x1 x2 4b 4 0 7 分 由 消去 y 得 4k2 1 x2 8kbx 4b2 8 0 则 8 分 代入 得 9 分 整理得 2k 1 b 2k 1 0 所以或 b 1 2k 10 分 公众号 高中数学资源大全 千人 QQ 群 100G 数学资源等你来下 第 21 页 共 23 页 若 b 1 2k 可得方程 的一个根为 2 不合题意 11 分 若时 合题意 所以直线 PQ 的斜率为定值 该值为 12 分 21 12 分 已知函数 f x x2 a 2 x alnx a R 求函数 y f x 的单调区间 当 a 1 时 证明 对任意的 x 0 f x ex x2 x 2 解答 解 函数 f x 的定义域是 0 f x 2x a 2 2 分 当 a 0 时 f x 0 对任意 x 0 恒成立 所以 函数 f x 在区间 0 单调递增 4 分 当 a 0 时 由 f x 0 得 x