食堂拥挤问题数学建模

2016 年新乡市高校数学建模联赛年新乡市高校数学建模联赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了新乡市高校数学建模联赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与本队以外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其它公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们愿意承担由此引起的一切后果 我们参赛选择的题号为 从 A B C D 中选择一项填写 A 我们的报名参赛队号为 参赛组别 本科或专科 本科 所属学校 请填写完整的全名 新乡学院 参赛队员 打印并签名 姓名专业签名 1 数学与应用数学 2 数学与应用数学 3 数学与应用数学 日期 年 月 日 2016 年新乡市高校数学建模联赛年新乡市高校数学建模联赛 编编 号号 专专 用用 页页 竞赛评阅编号 由竞赛评委会评阅前进行编号 评阅记录 评 阅 人 评 分 备 注 裁剪线 裁剪线 裁剪线 竞赛评阅编号 由竞赛评委会评阅前进行编号 参赛队伍的参赛号码 请各参赛队提前填写好 1 A 题 拥挤的食堂 摘要 本文根据题目要求研究我校第一食堂入口拥挤问题 通过 5 月 15 至 5 月 20 日 5 天用 餐时间内对我校食堂调查 通过对数据的分析建立了以分析队列长度的变化的概率统 计分布模型 并且得到了初步的结果 1 对于问题一 通过连续 5 天同一时间同一地点得到了与实际情况大致相符的 所需数据 2 对于问题二 根据问题一调查所得到的结果 对问题二进行假设分析 建立 以分析队列长度的变化的概率统计分布模型 3 对于问题三 根据自己的亲身经历和观察 进行数据调查建立排队理论模型 分析解决问题 关键词 学生食堂 拥挤 排队论 M M s 模型 一 问题重述 在大学校园里 每到放学吃饭的时候 总是让同学们进食堂吃饭比较困难 因为 进门特别拥挤 这是一个多数大学都存在的问题 新乡市各高校的食堂也是如此 请 建模说明下列问题 请选自己学校一个典型餐厅为例 但在文中不要显示具体学校和 餐厅的名字 问题一 中午放学的时候 食堂门口来流人数达到每分钟多少人时 会发生拥挤 问题二 如果把中午放学时 食堂对着教学区开的门适当扩大 50 对进门拥挤能 否有所改善 问题三 如果把食堂对着教学区的门口装置上隔离栏 隔离栏 和风景区进门检 票 火车站排队买票那种形式一样 达到把人隔成单一人流的目的 起到强制排队的 作用 食堂门口来流人数达到每分钟多少人时会发生拥挤 二 模型假设 模型一假设 1 由于在周六周日的食堂就餐人数比较少 对于拥挤情况至考虑周一至周三的情况 通过对课表的研究 可以假设每天的人数是固定的 有由于长期习惯作用的结果可以 认为到第一食堂就餐的人数是稳定的 2 每个人到来的时刻 他们进门的时间是相等且相互独立的 3 不考虑进入的人就餐后出门对拥挤程度的影响 2 4 每天食堂大门的开启程度相同 5 数据统计以 5 分钟为一个单位 三 符号说明 x 时间段 y1 时间段内到达食堂的人数 y2 时间段内进入食堂的人数 四 模型一的准备 表 1 模型数据统计 周一 12 00 至 13 00 时间段 123456789101112 到达人数 451251602152943132802001801058345 进入人数 4512516021021822021521721418514789 周二 12 00 至 13 00 到达人数 601051541903013212672111701019352 进入人数 60105154190212223215220210193143100 周三 12 00 至 13 00 到达人数 55150151240305326293189175948038 进入人数 55150151208214221217215211186154114 注 此数据来源于本组成员周一至周三于我校食堂门口调查所得 表 2 数据整理 时间段 123456789101112 平均到达人数 50 127 155 215 300 320 280 200 175 100 85 45 平均进入人数 50 127 155 203 215 221 216 217 212 188 148 101 五 模型的建立与求解 1 绘制散点图 3 024681012 0 50 100 150 200 250 300 350 人 人 人 人 人 人 人 人 2 绘制拟合图 注 到达人数拟合图 4 注 进入人数拟合图 利用 matlab 多项式拟合得到时间和到达人数的二次多项式关系式 2 1 7 8297x 97 0375x 35 6364y 利用 matlab 多项式拟合得到时间和进入人数的二次多项式关系式 2 2 4 8399x 66 4318x 1 1136y 问题一 由以上图形和关系式对于问题求解 将 y1 y2 的拟合图进行比较分析如下图 024681012 0 50 100 150 200 250 300 对于 y2 进行一次求导 29 667866 4318dyx 当 dy2 0 时 求解得到 x 6 8714 则由方程 y1 可知在 1 6 8714 上为增函数 在 6 8714 12 上为减函数 则 y2 的最大值约为 229 人 则每分钟进入人数约为 46 人 此时 y1 的值为 261 人 超过 y2 的最大值 即在此时食堂门口的情况为拥挤 由此可知我校食堂每分钟到达人数超过 46 人时 门口开始拥挤 由统计数据 假设以及数据整理分析可知 当适当的扩大食堂门时 可以改善食 5 堂门口的拥挤情况 问题二 由问题一得数据及模型进行分析 当食堂门口扩大 50 时 在问题一求解所得到的 时间段内 对问题二进行求解 在该时间段所进入的人数为 y 6 8714 1 50 y2 343 人 大于这时到达的人数 261 人 不会发生拥挤 情况得到改善 模型二假设 1 由于在周六周日的食堂就餐人数比较少 对于拥挤情况至考虑周一至周三的情况 通过对课表的研究 可以假设每天的人数是固定的 有由于长期习惯作用的结果可以 认为到第一食堂就餐的人数是稳定的 2 每个人到达时间间隔随即 服从负指数分布 3 不考虑进入的人就餐后出门对拥挤程度的影响 4 数据统计以 10 秒钟为一个单位 5 排队遵循先到先进原则 6 每个栏杆口对学生来说都一样 且以并联方式连接 学生进入时间服从参数为 的负指数分布 符号说明 学生到达强度 栏杆容许进入的能力 t 学