冲刺材料函数、导数、数列

冲刺材料函数 导数 数列冲刺材料函数 导数 数列 xx年厦门市高考数学 理科 冲刺辅导材料函数导数数列 一 函数函数作为高中数学重点内容 课标试卷中函数的基础考题 仍高频出现于选择 填空题 重点考查函数的概念 表达式 定义 域 值域 和基本性质 单调性 奇偶性 周期性 对称性等 总复习后阶段关注1 基本初等函数的概念与性质 例如 已知函数3 15 f x logxx0 若x是函数 f xy 的零点 且100 xx 则1 f xA 恒为正值B 等于0C 恒为负值D 不大于0提示借用函数的单调 性解决问题 2 分段函数中数形结合思想的运用 例如已知函数 若 2 1 1 f x 1 1xx x x的取值范围是 f f x 则2A 提示利用函数的图像解题 B 1 C 1 1 1 D 2 1 1 3 函数图象的变换与函数的构造思想 例如定义在R 上的函数 1f 若0 10 yfx 的图像如图 给出如下命题 正确的 命题是 若 0 0 f x f 1x 则 0f x yox1x 则0A B C D 1 1 yfx 提示利用已知函数图像变换先作出 f x的图像 4 函数图象 性质考查中的转化与化归思想 例如设f x 是定义在R上的偶函数 对于任意的x R 都有f x 2 f 2 x 且当x 2 0 时 f x 12x 1 若在区间 2 6 内关于x的方程 f x 0恰有3个不同的实数解 则a的取值范 围是 log 2 ax A 1 2 B 2 C 1 34 D 34 2 提 示利用函数的对称性及周期性画出 f x的图像和log 2 ayx 的图像 5 适当注意新函数模型的生成与研究 例如 假 设定义域为 的函数同时满足以下三个条件时称 1 0 x 0 f xf为 友谊函数 对任意的 总有 1 0 x为 友谊函数 则 x xf11 f 若且01 x 02 x121 xx 则有成立 则下列判断 正确的有 f 1xxf 2xf21 1 2 3 1 xf 0 0f 2 函数 12 xxg1 在区间上是 友谊函数 3 若提示要正确的理解新定义特征 依照问题目标用设定条件解 决问题 为 友谊函数 且 则 1 0 21 xf0 xx xf xf21 二 导数导数的考查 更突显的是它的几何意义和研究函数性质工 具性 是高考的热点问题 应引起注意的问题有6 导数 定积分的 定义 几何意义 例如中国西南方正经历着百年不遇的旱灾 为缓 解西南方部分地区用水紧张的局面 某运输公司提出五种运输水的 方案 据预测 这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0 各种方案的运水总量Q与时间t的函数关系如下图所示 在这五种 方案中 运水效率 单位时间的运水量 逐步提高 的是 填写所有正确的图象的编号 Q提示注意运水效率的几何特 征 利用导数定义解决问题 7 导数在研究函数图象与性质中的运 用 例如已知函数的定义域为 且 xf 32 6 f ba 为的导 函数 的图像如右图所示 若正数满足 xf xf xf 22fab TQ O0t TQO0Qt TQO0Qt OT Q0Qt TQO0t Q 则23 ab的取值范围是 A 3 3 2 B 9 32 C 9 3 2 D 3 32 提示利用题目条件转化为可行域 然后用23 ab的几何意义解决问题 8 导数在研究函数单调性 极 值 最值问题常规问题 例如已知函数 a为实常数 xaxxfln 2 1 若 求证函数在 1 上是增函数 2 a xf 2 求函数在 1 e 上的最小值及相应的 xfx值 3 若存在 使得 1 ex xaxf 2 成立 求实数a的取值范围 解 1 当时 当2 axxxfln2 2 1 x 0 1 2 2 xxxf 故函数在上是增函数 xf 1 2 0 2 2 xxaxxf 当 1 ex 2 2 222eaaax 若 在上非负 仅当2 a xf 1 e2 a x 1时 0 xf 故函数在上是增 函数 此时 xf 1 e min xf1 1 f 若 当222 ae2ax 时 0 xf 当21ax 时 此时0 xf xf是减函数 当exa 2时 0 xf 此时是增函数 故 xf min xf 2 af 2 2ln 2aa a 若 在上非正 仅当 x e时 22ea xf 1 e2e2 a0 xf 故函数在上是减函数 此时 xf 1 e efx fmin2e a综上可知 当 2 a时 的最小值为1 相应的x值为1 当时 x f222 ae xf的最小值为2 2ln 2aaa 相应的x值为2a 当时 的最小值为 22ea xf2ea 相应的x值为e 3 不等式xaxf 2 可化为 xxxxa2 ln 2 且等号不 能同时取 所以 1 ex xx 1lnxx ln 即0ln xx 因而xxxxaln22 1 ex 令xxxxxgln2 2 又 1 ex 2 ln ln22 1 xxxxxxg 当时 1 ex 1ln 01 xx0ln22 xx 从 而 仅当x 1时取等号 所以在上为增函数 0 xg xg 1 e故 的最小值为 所以a的取值范围是 xg1 1 g 1 9 关注导 数在研究含参问题中有关恒成立的应用 注意提示 存在性 与 任意性 恒成立的处理差异 例如已知函数 xaxxfln xxxgln 它们的定义域都是 e 0 Ra I 当时 求函数的单调区间 1 a xf II 当时 对任意1 a 0 exx 21 求证2717 21 xgx f III 令 问是否存在实数使得的最小值是3 如果存在 求出的 值 如果不存在 说明理由 a xgxxfxh a xh解 I 当时 1 axxxfln 0 ex xxxxf111 令 令0 xfex 1 0 xf 10 x 的单调增区间为 减区间为 xf 1 e 1 0 II 由 I 知在 的最小值为 xf e 01 1 f 又2ln1 xxxg 0 x g在区间 e 0上成立 在单调递增 故在区间 xg e 0 xg e 01 7上有最大值eeg1 要证对任意 0 exx 21 27 21 xgxf即证 2717 max2min1 xgxf即证271711 e 即证故命题成立7 2 e I II xaxxxgxfxhln2 0 ex xaxxaxh22 1 当时 在0 a0 xh xh e 0单调递减 故的最小值为 舍去 xh2 eh 2 当时 由 得0 a0 xhax20 当ea20 时 ea 2 在单 调递减 故的最小值为 xh e 02时 xh32 aeeh eea25 舍去 当ea ea 2 在 xh a2 0单调递减 在 2 ea单 调递增 故的最小值为 xh32ln22 2 aah ea2 满足要求 3 当时 在上成立 0 a0 xh e 0 在单调递减 故的最小 值为 xh e 0 xh32 aeeh eea25 舍去综合上述 满足要 求的实数ea2 三 数列 xx xx两年没有在大题中考查数列 应予充分重视 除继续关注等 差 等比数列的基本量计算外 应着力处理好其与其他知识的交汇 和实际应用问题 10 等差 等比数列的基本量研究 例如设数列 为等差数列 其前n项和为S n an 已知93 99852741 aaaaaa 若对任意 都有成立 则k的 值为 NnknSS A 22B 21C 20D 1911 数列与其他知识的交 汇考查 例如已知函数21 0 fx 1 1 0 xxf xx g 把函数 f xxx 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列 则该数列的通项公 式为 1 2 C D A nn nan N N B 1 nannN 1 nan nnN 22 nnan 12 数列背景的实际应用题 例如某研究所xx年 有6名员工 每名员工的年薪为2 42万元 研究所每年为每个新员 工买劳保用品18000元 从xx年起 每年的员工数是上年员工数的1nn 倍 每名员工的年薪为上年年薪的1 1倍 以xx年为第一年 1 分别求出第n年的员工数 第n年的每名员工的年薪及研究所第 n年的总支出nanbnc 2 当地政府为了鼓励研究所的研究工作 每年给研究所员工交通 补贴 xx年每员工200元 从xx年起 每年递增20元 证明从xx年开 始 当地政府每年给研究所的工交通补贴总额不会超过上年研究所 总支出的1 解 1 依题意 知道11211114316 2 63311322nnnnnnnnnanaaaannnnn n 所以 为等差数列 公差为3na12 42 2 1 1nbnb 1nbnb1n n 所以 为等比数列 公比为1 1 所以12 42 1 1 2 1 1 nnb 第n年的总支出万元131 8 6 1 1 1 5 4nnnncabn 2 第n年政府给每位员工的人生意外保险为11 200 2 20nnd dndd 为等差数列 公差为20 所以元n d1 1 18020naand n要证明当地政府每年给研究所的保险金总额不 会超过上年研究所总支出的1 只要证明 恒成立33 18020 6 1 1 n5 4 100000 01 nnn 只要证明 恒成立1 9 10 1 1 n9nnn 只要证明恒成立1010 1 1 n n 构造 则 f n10 1 1 10 nn 1 1 10 1 1 11 nf nn 则所以 为递增数列 1 f n1 11nf n 0 f n10 1 1 10 nn 所以 所以 f n 1 0f f n10 1 1 10 0nn 恒成立所以恒成立 33 18020 6 1 1 n5 4 100000 01 nnn 13 函数 导数背景下的 数列 或数列背景下的函数 导数 问题仍应是高考的焦点问题 例如已知函数 且函数f x g x 有一个零点为5 数列满足2 1 xxf 1 xkxg n a2k1naa 1a 1 nnnn1 nnnnn1 nnn1n 且 n ag n afn0 1 求数列通项公式 2 试证明 n anaini 11 3 设 试探究数列是否存在最大项和最小项 若存在求出最大项和 最小项 若不存在 说明理由 3 agafb b解 1 函数f x g x 有一个零点为5 即方程 有一个根为5 0 1 1 2 xkx将x 5代入方程得16 4k 0 k 4 a 1 2由得gaann 1 0 nnafa 411aan 0 1 1 2 nnaa0 144 1 aaaa或01 a0144 aaa但 不合舍 去2 a01 a由得即 nnaa44101 n a1341 nnaa11 n a 1 43 n a 数列是首项为 公比为 1 n a111 a43的等比数列1 n a1 43 n n a1 43 1 n 2 由 1 知inia 12 43 431 1 43 n 1 4nnn 43 对 有 N n 43 43 n 1 43 1 n4143 43 1 4n nn 1 即nani 1 11 3 由得 3nnafb 1 n ag2 1 3 nnab 1 41 n a21 43 3 nn b n 43 421 43 3 n 43 1 n 令1 4