2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)

2019 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷 理科 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 若 i 是虚数单位 则复数的实部与虚部之积为 A B C D 2 5 分 设集合 A x x 1 B x 2x 1 则 A A B x x 0 B A B R C A B x x 0 D A B 3 5 分 命题 若 xy 0 则 x 0 的逆否命题是 A 若 xy 0 则 x 0B 若 xy 0 则 x 0C 若 xy 0 则 y 0D 若 x 0 则 xy 0 4 5 分 已知一个算法的程序框图如图所示 当输出的结果为 0 时 输入的 x 的值为 A 3B 3 或 9C 3 或 9D 9 或 3 5 5 分 刘徽是一个伟大的数学家 他的杰作 九章算术注 和 海岛算经 是中国最宝贵的文化遗产 他所提出的割圆术可以估算圆周率 理论上能把 的值计算到任意的精度 割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积 若 在圆内随机取一点 则此点取自该圆内接正六边形的概率是 A B C D 6 5 分 如图所示 网络纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某简单几 何体的三视图 则该几何体的体积为 A B C D 7 5 分 设 x y 满足约束条件 则的最大值是 A 15 B 9C 1D 9 8 5 分 若 4 个人按原来站的位置重新站成一排 恰有一个人站在自己原来 的位置 则共有 种不同的站法 A 4B 8C 12D 24 9 5 分 函数 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x 在的单调递增区间是 A B C D 10 5 分 已知双曲线的一条渐近线与圆 x 4 2 y2 4 相切 则该双曲线的离心率为 A 2B C D 11 5 分 在各项都为正数的等比数列 an 中 若 a1 2 且 a1 a5 64 则数列 的前 n 项和是 A B C D 12 5 分 设函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 且 f x 2 f 2 x 当 x 2 0 时 若在区间 2 6 内关于 x 的方程 f x loga x 2 0 a 0 且 a 1 有且只有 4 个不同的根 则实数 a 的取值范围 是 A B 1 4 C 1 8 D 8 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上 13 5 分 已知随机变量 N 1 2 若 P 3 0 2 则 P 1 14 5 分 在推导等差数列前 n 项和的过程中 我们使用了倒序相加的方法 类比可求得 sin21 sin22 sin289 15 5 分 已知正三角形 AOB O 为坐标原点 的顶点 A B 在抛物线 y2 3x 上 则 AOB 的边长是 16 5 分 已知 ABC 是直角边为 2 的等腰直角三角形 且 A 为直角顶点 P 为平面 ABC 内一点 则的最小值是 三 解答题 共三 解答题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第第 17 21 题题 为必考题 每个试题考生都必须作答为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分分 17 12 分 在 ABC 中 已知内角 A B C 对边分别是 a b c 且 2ccosB 2a b 求 C 若 a b 6 ABC 的面积为 求 c 18 12 分 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD 底面 ABCD 是正方形 且 PA PD APD 90 证明 平面 PAB 平面 PCD 求二面角 A PB C 的余弦值 19 12 分 高中生在被问及 家 朋友聚集的地方 个人空间 三个场所中 感 到最幸福的场所在哪里 这个问题时 从中国某城市的高中生中 随机抽取了 55 人 从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题 中国高中生答题 情况是 选择家的占 朋友聚集的地方占 个人空间占 美国高中生答题 情况是 家占 朋友聚集的地方占 个人空间占 为了考察高中生的 恋 家 在家里感到最幸福 是否与国别有关 构建了如下 2 2 列联表 在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计 请将 2 2 列联表补充完整 试判断能否有 95 的把握认为 恋家 与否与 国别有关 从中国高中生的学生中以 是否恋家 为标准采用分层抽样的方法 随机 抽取了 5 人 再从这 5 人中随机抽取 2 人 若所选 2 名学生中的 恋家 人数为 X 求随机变量 X 的分布列及期望 附 其中 n a b c d P k2 k0 0 0500 0250 0100 001 k03 8415 0246 63510 828 20 12 分 设 O 为坐标原点 动点 M 在椭圆上 过 M 作 x 轴的垂 线 垂足为 N 点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 E 过 F 1 0 的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A B 两点 过 F 1 0 作与 l1垂直的直线 l2与点 P 的轨迹交于 C D 两点 求证 为定值 21 12 分 已知 f x ex ax2 2x a R 求函数 f x 图象恒过的定点坐标 若 f x ax 1 恒成立 求 a 的值 在 成立的条件下 证明 f x 存在唯一的极小值点 x0 且 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则两题中任选一题作答 如果多做 则 按所做的第一题记分按所做的第一题记分 选修选修 4 4 极坐标与参数方程 极坐标与参数方程 22 10 分 设过原点 O 的直线与圆 x 4 2 y2 16 的一个交点为 P M 点为线 段 OP 的中点 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点 M 的轨迹 C 的极坐标方程 设点 A 的极坐标为 点 B 在曲线 C 上 求 OAB 面积的最大 值 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知 a 0 b 0 函数 f x x a x b 当 a 1 b 1 时 解关于 x 的不等式 f x 1 若函数 f x 的最大值为 2 求证 2019 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷 理科 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 若 i 是虚数单位 则复数的实部与虚部之积为 A B C D 解答 解 复数的实部为 虚部为 复数的实部与虚部之积为 故选 B 2 5 分 设集合 A x x 1 B x 2x 1 则 A A B x x 0 B A B R C A B x x 0 D A B 解答 解 集合 A x x 1 B x 2x 1 x x 0 则 A B x x 1 A B x x 0 故选 C 3 5 分 命题 若 xy 0 则 x 0 的逆否命题是 A 若 xy 0 则 x 0B 若 xy 0 则 x 0C 若 xy 0 则 y 0D 若 x 0 则 xy 0 解答 解 命题若 p 则 q 的逆否命题为 若 q 则 p 即命题的逆否命题为 若 x 0 则 xy 0 故选 D 4 5 分 已知一个算法的程序框图如图所示 当输出的结果为 0 时 输入的 x 的值为 A 3B 3 或 9C 3 或 9D 9 或 3 解答 解 输出才结果为零 有 y 0 由程序框图可知 当 y x 8 0 时 解得选 x 3 当 y 2 log3x 0 解得 x 9 综上 有 x 3 或者 9 故选 B 5 5 分 刘徽是一个伟大的数学家 他的杰作 九章算术注 和 海岛算经 是中国最宝贵的文化遗产 他所提出的割圆术可以估算圆周率 理论上能把 的值计算到任意的精度 割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积 若 在圆内随机取一点 则此点取自该圆内接正六边形的概率是 A B C D 解答 解 如图所示 设圆的半径为 R 则圆的面积为 R2 圆内接正六边形的边长为 R 面积为 6 R2 sin 则所求的概率为 P 故选 B 6 5 分 如图所示 网络纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某简单几 何体的三视图 则该几何体的体积为 A B C D 解答 解 由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径 r 2 高为 2 的圆 锥的一半 如图 该几何体的体积为 V 故选 A 7 5 分 设 x y 满足约束条件 则的最大值是 A 15 B 9C 1D 9 解答 解 作出 x y 满足约束条件 对应的平面区域 由 得 y x z 平移直线 y x z 由图象可知当直线 y x z 经过点 A 时 直线 y x z 的截距最大 此时 z 最大 由 得 A 0 1 此时 z 的最大值为 z 1 1 故选 A 8 5 分 若 4 个人按原来站的位置重新站成一排 恰有一个人站在自己原来 的位置 则共有 种不同的站法 A 4B 8C 12D 24 解答 解 根据题意 分 2 步分析 先从 4 个人里选 1 人 其位置不变 其他三人的都不在自己原来的位置 有 C41 4 种选法 对于剩余的三人 因为每个人都不能站在原来的位置上 因此第一个人有 两种站法 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上 因此三个人调换有 2 种调换方法 故不同的调换方法有 4 2 8 故选 B 9 5 分 函数 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x 在的单调递增区间是 A B C D 解答 解 函数 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x sin2x 3 2 sin2x cos2x 2 sin 2x 令 2k 2x 2k 求得 k x 故函数的增区间为 k k k Z 结合 可得增区间为 0 故选 C 10 5 分 已知双曲线的一条渐近线与圆 x 4 2 y2 4 相切 则该双曲线的离心率为 A 2B C D 解答 解 双曲线的一条渐近线 y 与圆 x 4 2 y2 4 相切 可得 2 可得 2b c 即 4b2 c2 所以 4c2 4a2 c2 解得 e 故选 B 11 5 分 在各项都为正数的等比数列 an 中 若 a1 2 且 a1 a5 64 则数列 的前 n 项和是 A B C D 解答 解 在各项都为正数的公比设为 q 的等比数列 an 中 若 a1 2 且 a1 a5 64 则 4q4 64 解得 q 2 则 an 2n 可得数列 即为 可得 数列的前 n 项和是 1 故选 A 12 5 分 设函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 且 f x 2 f 2 x 当 x 2 0 时 若在区间 2 6 内关于 x 的方程 f x loga x 2 0 a 0 且 a 1 有且只有 4 个不同的根 则实数 a 的取值范围 是 A B 1 4 C 1 8 D 8 解答 解 对于任意的 x R 都有 f x 2 f 2 x f x 4 f 2 x 2 f x 2 2 f x 函数 f x 是一个周期函数 且 T 4 又 当 x 2 0 时 且函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 若在区间 2 6 内关于 x 的方程 f x loga x 2 0 恰有 4 个不同的实数解 则函数 y f x 与 y loga x 2 a 1 在区间 2 6 上有四个不同的交点 如下图所示 又 f 2 f 2 f 6 1 则对于函数 y loga x 2 由题意可得 当 x 6 时的函数值小于 1 即 loga8 1 由此解得 a 8 a 的范围是 8 故选 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上 13 5 分 已知随机变量 N 1 2 若 P 3 0 2 则 P 1 0 8 解答 解 随机变量 服从正态分布 N 1 2 曲线关于 x 1 对称 P 3 0 2 P 1 P 3 P 1 1 P 3 1 0 2 0 8 故答案为 0 8 14 5 分 在推导等差数列前 n 项和的过程中 我们使用了倒序相加的方法 类比可求得 sin21 sin22 sin289 44 5 解答 解 设 S sin21 sin22 sin289 则 S sin289 sin288 sin21 两式倒序相加 得 2S sin21 sin289 sin22 sin288 sin289 sin21 sin21 cos21 sin22 cos22 sin289 coss289 89 S 44 5 故答案为 44 5 15 5 分 已知正三角形 AOB O 为坐标原点 的顶点 A B 在抛物线 y2 3x 上 则 AOB 的边长是 6 解答 解 由抛物线的对称性可得 AOx 30 直线 OA 的方程为 y x 联立 解得 A 9 3 AO 6 故答案为 16 5 分 已知 ABC 是直角边为 2 的等腰直角三角形 且 A 为直角顶点 P 为平面 ABC 内一点 则的最小值是 1 解答 解 以 BC 为 x 轴 以 BC 边上的高为 y 轴建立坐标系 ABC 是直角边为 2 的等腰直角三角形 且 A 为直角顶点 斜边 BC 2 则 A 0 B 0 C 0 设 P x y 则 2 2x 2y x y 2x2 2y2 2y 2x2 2 y 2 1 当 x 0 y 时 则取得最小值 1 故答案为 1 三 解答题 共三 解答题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第第 17 21 题题 为必考题 每个试题考生都必须作答为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分分 17 12 分 在 ABC 中 已知内角 A B C 对边分别是 a b c 且 2ccosB 2a b 求 C 若 a b 6 ABC 的面积为 求 c 解答 解 由正弦定理得 2sinCcosB 2sinA sinB 又 sinA sin B C 2sinCcosB 2sin B C sinB 2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB 2sinBcosC sinB 0 sinB 0 又 C 0 由面积公式可得 即ab 2 ab 8 c2 a2 b2 2abcosC a2 ab b2 a b 2 ab 36 8 28 18 12 分 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD 底面 ABCD 是正方形 且 PA PD APD 90 证明 平面 PAB 平面 PCD 求二面角 A PB C 的余弦值 解答 证明 底面 ABCD 为正方形 CD AD 又 平面 PAD 平面 ABCD CD 平面 PAD 又 AP 平面 PAD CD AP PD AP CD PD D AP 平面 PCD AP 平面 PAB 平面 PAB 平面 PCD 解 取 AD 的中点为 O BC 的中点为 Q 连接 PO OQ 可得 PO 底面 ABCD OQ AD 以 O 为原点 以的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间 直角坐标系 如图 不妨设正方形的边长为 2 可得 A 1 0 0 B 1 2 0 C 1 2 0 P 0 0 1 设平面 APB 的一个法向量为 而 则 即 取 x1 1 得 设平面 BCP 的一个法向量为 而 则 即 取 y2 1 得 由图知所求二面角为钝角 故二面角 A PB C 的余弦值为 19 12 分 高中生在被问及 家 朋友聚集的地方 个人空间 三个场所中 感 到最幸福的场所在哪里 这个问题时 从中国某城市的高中生中 随机抽取了 55 人 从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题 中国高中生答题 情况是 选择家的占 朋友聚集的地方占 个人空间占 美国高中生答题 情况是 家占 朋友聚集的地方占 个人空间占 为了考察高中生的 恋 家 在家里感到最幸福 是否与国别有关 构建了如下 2 2 列联表 在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计 请将 2 2 列联表补充完整 试判断能否有 95 的把握认为 恋家 与否与 国别有关 从中国高中生的学生中以 是否恋家 为标准采用分层抽样的方法 随机 抽取了 5 人 再从这 5 人中随机抽取 2 人 若所选 2 名学生中的 恋家 人数为 X 求随机变量 X 的分布列及期望 附 其中 n a b c d P k2 k0 0 0500 0250 0100 001 k03 8415 0246 63510 828 解答 解 根据题意 填写列联表如下 在家其他合计 中国223355 美国93645 合计3169100 根据表中数据 计算 有 95 的把握认为 恋家 与否与国别有关 依题意得 5 个人中 2 人来自于 在家中 是幸福 3 人来自于 在其他场 所 是幸福 X 的可能取值为 0 1 2 计算 X 的分布列为 X013 P 数学期望为 20 12 分 设 O 为坐标原点 动点 M 在椭圆上 过 M 作 x 轴的垂 线 垂足为 N 点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 E 过 F 1 0 的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A B 两点 过 F 1 0 作与 l1垂直的直线 l2与点 P 的轨迹交于 C D 两点 求证 为定值 解答 解 设 P x y 则 N x 0 又 由 M 在椭圆上 得 即 证明 当 l1与 x 轴重合时 AB 6 当 l1与 x 轴垂直时 CD 6 当 l1与 x 轴不垂直也不重合时 可设 l1的方程为 y k x 1 k 0 此时设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 把直线 l1与曲线 E 联立 得 8 9k2 x2 18k2x 9k2 72 0 可得 18k2 2 4 8 9k2 9k2 72 0 把直线 l2与曲线 E 联立 同理可得 为定值 21 12 分 已知 f x ex ax2 2x a R 求函数 f x 图象恒过的定点坐标 若 f x ax 1 恒成立 求 a 的值 在 成立的条件下 证明 f x 存在唯一的极小值点 x0 且 解答 解 要使参数 a 对函数值不发生影响 必须保证 x 0 此时 f 0 e0 a 02 2 0 1 所以函数的图象恒过点 0 1 依题意得 ex 2ax 2 ax 1 恒成立 ex ax 1 恒成立 构造函数 g x ex ax 1 则 g x ex ax 1 恒过 0 0 g x ex a 若 a 0 时 g x 0 g x 在 R 上递增 ex ax 1 不能恒成立 若 a 0 时 g x 0 x lna x lna 时 g x 0 函数 g x ex ax 1 单调递减 x lna 时 g x 0 函数 g x ex ax 1 单调递增 g x 在 x lna 时为极小值点 g lna a alna 1 要使 ex 2ax 2 ax 1 恒成立 只需 a alna 1 0 设 h a a alna 1 则函数 h a 恒过 1 0 h a 1 lna 1 lna a 0 1 h a 0 函数 h a 单调递增 a 1 h a 0 函数 h a 单调递减 h a 在 a 1 取得极大值 0 要使函数 h a 0 成立 只有在 a 1 时成立 证明 f x ex 2x 2 设 m x ex 2x 2 m x ex 2 令 m x 0 x ln2 m x 在 ln2 单调递减 在 ln2 单调递增 m ln2 2ln2 0 f x m x ex 2x 2 在 x ln2 处取得极小值 可得 f x 一定有 2 个零点 分别为 f x 的一个极大值点和一个极小值点 设 x0为函数 f x 的极小值点 则 x0 0 2 f