初一数学思维培训班讲义(八)

初一数学思维培训班讲义 八 初一数学思维培训班讲义 八 周佩如 主要内容 主要内容 1 1 简单证明 简单证明 2 2 多边形的内角和与外角和 多边形的内角和与外角和 3 3 用正多边形铺地 用正多边形铺地 目标 目标 1 学会初步说理 训练说理能力 学会初步说理 训练说理能力 2 能运用多边形的内角和与外角和公式解决一些计算问题 能运用多边形的内角和与外角和公式解决一些计算问题 3 理解正多边形能够铺满地面的道理 理解正多边形能够铺满地面的道理 知识点 知识点 1 三角形的内角和是 三角形的内角和是 三角形的外角和是三角形的外角和是 2 多边形 多边形 n边形 的内角和是边形 的内角和是 多边形的外角和是多边形的外角和是 3 用正多边形铺地的条件是 当围绕 用正多边形铺地的条件是 当围绕 点拼在一起的几个多边形的点拼在一起的几个多边形的 角加在一起恰好组成角加在一起恰好组成 时 就能拼成一个平面图形 时 就能拼成一个平面图形 4 用正多边形铺地的图形只有 用正多边形铺地的图形只有 三种 三种 5 5 正 正n n边形的每个内角都边形的每个内角都 每个内角度数为 每个内角度数为 例 1 如图 oo DAOEDBC20 27 于 求 与B ACB 分析 是的内角 在中 B ABC ABC 与都是所要求的角 B ACB 而又是的外角 根据 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 可求 ACB COD ACB 从而根据三角形内角和定理可求 B 本题也可从是的一个内角 而是的外角入手解得 B BEO BEO AED 解 是的外角EDBO 90 DOCACB COD 1102090 DCODACB 在中 ABC 4311027180180 ACBAB 注意 求三角形的角与角的数量关系时 一般可以把所求角看作某一三角形的一个内角进行分析 如果图中出注意 求三角形的角与角的数量关系时 一般可以把所求角看作某一三角形的一个内角进行分析 如果图中出 现了外角 或所求角本身是另一个三角形的外角时 通常还要考虑三角形外角性质 这些结合起来 就现了外角 或所求角本身是另一个三角形的外角时 通常还要考虑三角形外角性质 这些结合起来 就 容易使问题得到解决 容易使问题得到解决 例 2 如图 BE 平分交 CD 于 F CE 平分交 AB 于 G AB CD 交于 O 点 且ABD ACD 求的度数 46 48 DAE 分析 由于所求分析 由于所求与已知与已知均不在同一个均不在同一个E DA 三角形中 但三角形中 但分别在分别在与与EA AGC EGB 中 此两三角形有一组角是对顶角 则中 此两三角形有一组角是对顶角 则 1 同理 同理 21 EA 2 而由角平分线 而由角平分线34 ED 定义可知定义可知故 故 1 2 得 得 42 31 3 2 4 1 EEDA 所以 所以 EDA 2 2 1 DAE 解 1 15 A 25 E31 EA 同理 2 34 ED 1 2 得 32241 EDA ACDCEABDBE 平分平分 31 42 EDA 2 47 4648 2 1 2 1 DAE 注意 上述说理解题的分析方式叫做恒等变形方法 根据图形写出几个包括求解一方的等式 然后依据等式性注意 上述说理解题的分析方式叫做恒等变形方法 根据图形写出几个包括求解一方的等式 然后依据等式性 质进行恒等变换 从而求得题解 质进行恒等变换 从而求得题解 例 3 已知 求的度数 ABC CBA 分析 由实践可知这三个角拼起来可得一个平角 分析 由实践可知这三个角拼起来可得一个平角 要从理论上推导这个结论 可以延长一边要从理论上推导这个结论 可以延长一边 BC 得一个平角得一个平角 然后以 然后以 CA 为边 在为边 在BCD 的外部画的外部画 再证明 再证明即可 即可 ABC AACE BECD 解 作 BC 的延长线 CD 在 的外部 以 CA 为一边 CE 为另一边画 依据内错角相等 ABC A 1 两直线平行 所以得 再根据两直线平行 同位角相等 所以 CEAB2 B 18021 ACB 180 ACBBA 说明 为了解题需要 在原来的图形上添画的线叫辅助线 一般画成虚线 说明 为了解题需要 在原来的图形上添画的线叫辅助线 一般画成虚线 例 4 已知一个多边形 它的内角和等于外角和的 2 倍 求这个多边形的边数 分析 由多边形的内角和 外角和公式可依题意列出有关等式 即可解之分析 由多边形的内角和 外角和公式可依题意列出有关等式 即可解之 解 设多边形的边数为 因为它的内角和等于 外角和等于 n 180 2 n 360 故由题意得 解得 180 2 n 3602 6 n 例 5 多边形的内角和除一个内角外是 求这个多边形的边数 除外的这个内角度数 2570 分析 可设除外的内角为分析 可设除外的内角为则则是小于是小于的角 再由多边形内角和公式列出等式解之 的角 再由多边形内角和公式列出等式解之 180 解 设多边形有一内角为度 边数为 n 由题意得 2570180 2 n 180 50 14 180 2570 n 时 130 当15 n 答 此多边形为十五边形 除外的一个内角为 130 习题精练 习题精练 一 求解题 1 如图 1 求的度数 30 96 27 CCBEAADE 2 如图 2 已知 O 是三条高的交点 求的度数 ABC 70 BACBOC 3 如图 3 已知求各内角的度数 43 64 DEFFDEACFCBEBADABC 4 已知中 的平分线与的外角平分线交于点 则与关系如何 ABC B C PP A 5 已知 PB QD 分别是的平分线 说理 等式ODAOBC 21 2 1 BPD D 1 2 3 4 5 二 多边形的内角和与外角和 1 一个多边形的对角线的条数与边数相等 这个多边形的边数是 A 7 B 6 C 5 D 4 2 一个凸多边形的外角和等于它的内角和的一半 那么这个多边形的边数为 A 4 B 5 C 6 D 7 3 一个正多边形的内角和是 这个多边形是 720 A 正方形 B 正五边形 C 正六边形 D 正八边形 4 若正边形的一个外角为 则的值等于 n 60n A 3 B 5 C 6 D 8 5 凸边形的个内角与某一外角的总和为 则等于 nn 1350n A 6 B 7 C 8 D 9 6 已知一个多边形的外角和等于内角和 则这个多边形是 A 三角形 B 四边形 C 正五边形 D 六边形 7 从边形的一个顶点引对角线 把边形分成三角形的个数是 3 nnn A B C D 1 n2 n3 n4 n 8 若多边形的边数由 3 增加到为正整数 且大于 3 则其外角和的度数为 nn A 增加 B 减少 C 不变 D 不确定 9 如果把一个多边形的边数增加一倍 它的内角和是 那么原来多边形的边数为 2520 A 6 B 7 C 8 D 9 10 如果一个多边形中有三个内角相等 其余各角的外角都等于 则这个多边形的边数不可能是 30 A 4 B 6 C 15 D 10 11 一个多边形除一个内角外 其余各内角和为 其外角和的度数为 2570 A B C D 90 105 120 130 12 下列命题中 正确的有 七边形有 14 条对角线 外角和大于内角和的只有三角形 若一个多边形的内角和与外角和是 4 1 则它是九边形 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 13 若正多边形的一个外角等于 那么这个正