大学物理习题02运动定律与力学中的守恒定律

习题 2 2 1 一个质量为 P 的质点 在光滑的固定斜面 倾角为 上以初速度 v0运动 v0的方 向与斜面底边的水平线 AB 平行 如图所示 题 2 1 图 求该质点的运动轨道 解 物体置于斜面上受到重力 斜面支持力 建立坐标 取方向为轴 平行斜mgN 0 v X 面与轴垂直方向为轴 如图 2 1 XY 题 2 1 图 方向 X0 x Ftvx 0 方向 Y yy mamgF sin 时 0 t0 y0 y v 2 sin 2 1 tgy 由 式消去 得t 2 2 0 sin 2 1 xg v y 2 2 质量为 16 kg 的质点在 xOy 平面内运动 受一恒力作用 力的分量为 fx 6 N fy 7 N 当 t 0 时 x y 0 vx 2 m s 1 vy 0 求当 t 2 s 时质点的位矢和速度 解 2 sm 8 3 16 6 m f a x x 2 sm 16 7 m f a y y 1 2 0 1 0 1 2 0 0 sm 8 7 2 16 7 sm 4 5 2 8 3 2 dtavv dtavv yyy xxx 于是质点在时的速度s2 1 sm 8 7 4 5 jiv 2 m 8 7 4 13 4 16 7 2 1 4 8 3 2 1 22 2 1 2 1 22 0 ji ji jtaitatvr yx 2 3 质点在流体中作直线运动 受与速度成正比的阻力 kv k 为常数 作用 t 0 时质 点的速度为 v0 证明 1 t 时刻的速度为 2 由 0 到 t 的时间内经过的距离为 0 k t m vv e 3 停止运动前经过的距离为 4 证明当时速度减至 0 1 k t m mv xe k 0 m v k m t k v0的 式中 m 为质点的质量 1 e 答 1 t v m kv a d d 分离变量 得 m tk v vdd 即 v v t m tk v v 0 0 dd m kt e v v lnln 0 t m k evv 0 2 t tt m k m k e k mv tevtvx 0 0 0 1 dd 3 质点停止运动时速度为零 即 t 故有 0 0 0 d k mv tevx t m k 4 当 t 时 其速度为 k m e v evevv k m m k 01 00 即速度减至的 0 v e 1 2 4 一质量为 m 的质点以与地面仰角 30 的初速 v0从地面抛出 若忽略空气阻力 求质点落地时相对抛射时的动量的增量 解 依题意作出示意图如题 2 4 图 题 2 4 图 在忽略空气阻力情况下 抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同 与轨道相切斜向 下 而抛物线具有对轴对称性 故末速度与轴夹角亦为 则动量的增量为yx o 30 0 vmvmp 由矢量图知 动量增量大小为 方向竖直向下 0 vm 2 5 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 式中 t 的单位是 s 1 求 4s 102 Ft iN 后 物体的动量和速度的变化 以及力给予物体的冲量 2 为了使冲量为 200 N s 该力 应在这物体上作用多久 试就一原来静止的物体和一个具有初速度 6j m s 1的物体 回 答这两个问题 解 1 若物体原来静止 则 沿轴正向 itittFp t 1 0 4 0 1 smkg56d 210 d x ipI i m p v 1 11 11 1 smkg56 sm6 5 若物体原来具有初速 则6 1 sm 于是 tt tFvmt m F vmpvmp 0 0 0 000 d d t ptFppp 0 102 d 同理 12 vv 12 II 这说明 只要力函数不变 作用时间相同 则不管物体有无初动量 也不管初动量有多大 那么物体获得的动量的增量 亦即冲量 就一定相同 这就是动量定理 2 同上理 两种情况中的作用时间相同 即 t ttttI 0 2 10d 210 亦即 020010 2 tt 解得 舍去 s10 ts20 t 2 6 一颗子弹由枪口射出时速率为 v0 m s 1 当子弹在枪筒内被加速时 它所受的合 力为 F a bt N a b 为常数 其中 t 以 s 为单位 1 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零 试计算子弹走完枪筒全长所需时间 2 求 子弹所受的冲量 3 求子弹的质量 解 1 由题意 子弹到枪口时 有 得0 btaF b a t 2 子弹所受的冲量 t btattbtaI 0 2 2 1 d 将代入 得 b a t b a I 2 2 3 由动量定理可求得子弹的质量 0 2 0 2bv a v I m 2 7 设 F 7i 6jN 1 当一质点从原点运动到 r 3i 4j 16k m 时 求 F 所做的功 2 如果质点到 r 处时需 0 6 s 试求平均功率 3 如果质点的质量为 1 kg 试求动能的变化 解 1 由题知 为恒力 合 F 1643 67 kjijirFA 合 J452421 2 w75 6 0 45 t A P 3 由动能定理 J45 AEk 2 8 如题 2 8 图所示 一物体质量为 2 kg 以初速度 v0 3 m s 1从斜面 A 点处下滑 它与斜面的摩擦力为 8 N 到达 B 点后压缩弹簧 20 cm 后停止 然后又被弹回 求弹簧的劲 度系数和物体最后能回到的高度 题 2 8 图 解 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点 弹簧原 长处为弹性势能零点 则由功能原理 有 37sin 2 1 2 1 22 mgsmvkxsfr 2 2 2 1 37sin 2 1 kx sfmgsmv k r 式中 再代入有关数据 解得m52 08 4 sm2 0 x 1 mN1390 k 再次运用功能原理 求木块弹回的高度 h 2o 2 1 37sinkxsmgsfr 代入有关数据 得 m4 1 s 则木块弹回高度 m84 0 37sin o sh 2 9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞 试证碰后两小球的运动 方向互相垂直 题 2 9 证 两小球碰撞过程中 机械能守恒 有 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mvmvmv 即 2 2 2 1 2 0 vvv 题 2 9 图 a 题 2 9 图 b 又碰撞过程中 动量守恒 即有 210 vmvmvm 亦即 210 vvv 由 可作出矢量三角形如图 b 又由 式可知三矢量之间满足勾股定理 且以为斜边 0 v 故知与是互相垂直的 1 v 2 v 2 10 一质量为 m 的质点位于 x1 y1 处 速度为 质点受到一个沿 xjvivv yx 负方向的力 f 的作用 求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩 解 由题知 质点的位矢为 jyixr 11 作用在质点上的力为 i ff 所以 质点对原点的角动量为 vmrL 0 11 jvivmiyix yx kmvymvx xy 11 作用在质点上的力的力矩为 k fyi fjyixfrM 1110 2 11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆 它离太阳最近距离为 r1 8 75 1010 m 时 的速率是 v1 5 46 10 4 m s 它离太阳最远时的速率是 v2 9 08 10 2 m s 这时它离太阳的 距离 r2是多少 太阳位于椭圆的一个焦点 解 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 即有心力的作用 所以角动量守恒 又由 于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直 故有 2211 mvrmvr m1026 5 1008 9 1046 5 1075 8 12 2 410 2 11 2 v vr r 2 12 物体质量为 3 kg t 0 时位于 r 4i m v i 6j m s 如一恒力 f 5j N 作用在 物体上 求 3 s 后 1 物体动量的变化 2 相对 z 轴角动量的变化 解 1 3 0 1 smkg15d5djtjtfp 2 解 一 734 00 tvxx x jattvy y 5 253 3 5 2 1 36 2 1 22 0 即 ir 4 1 jir 5 257 2 1 0 xx vv 113 3 5 6 0 atvv yy 即 jiv 6 11 jiv 11 2 kjiivmrL 72 6 34 111 kjijivmrL 5 154 11 3 5 257 222 12 12 smkg 5 82 kLLL 解 二 dt dz M tt tFrtML 00 d d 3 0 1 3 0 2 smkg 5 82d 4 5 d5 3 5 2 1 6 4 2 ktkt tjjttit 2 13 飞轮的质量 m 60 kg 半径 R 0 25 m 绕其水平中心轴 O 转动 转速为 900 现利用一制动的闸杆 在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 F 可使飞轮减速 已 1 minr 知闸杆的尺寸如题 2 13 图所示 闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 0 4 飞轮的转动惯量可按 匀质圆盘计算 试求 1 设 F 100 N 问可使飞轮在多长时间内停止转动 在这段时间里飞轮转了几转 2 如果在 2 s 内飞轮转速减少一半 需加多大的力 F 题 2 13 图 解 1 先作闸杆和飞轮的受力分析图 如图 b 图中 是正压力 是摩N N r F r F 擦力 和是杆在点转轴处所受支承力 是轮的重力 是轮在轴处所受支承 x F y FARPO 力 题 2 13 图 a 题 2 13 图 b 杆处于静止状态 所以对点的合力矩应为零 设闸瓦厚度不计 则有A F l ll NlNllF 1 21 121 0 对飞轮 按转动定律有 式中负号表示与角速度方向相反 IRFr NFr N N F l ll NFr 1 21 又 2 1 2 mRI F mRl ll I RFr 1 21 2 以等代入上式 得N100 F 2 srad 3 40 100 50 0 25 0 60 75 0 50 0 40 0 2 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 s06 7 4060 32900 0 t 这段时间内飞轮的角位移为 rad2 1 53 4 9 3 40 2 1 4 9 60 2900 2 1 22 0 tt 可知在这段时间里 飞轮转了转 1 53 2 要求飞轮转速在内减少一半 可知 1 0 srad 60 2 900 2 ts 20 0 0 srad 2 15 2 2 tt 用上面式 1 所示的关系 可求出所需的制动力为 N ll mRl F 177 2 75 0 50 0 40 02 1550 025 0 60 2 21 1 2 14 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 OO 转动 设大小圆 柱体的半径分别为 R 和 r 质量分别为 M 和 m 绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1和 m2相 连 m1和 m2则挂在圆柱体的两侧 如题 2 14 图所示 设 R 0 20 m r 0 10 m m 4 kg M 10 kg m1 m2 2 kg 且开始时 m1 m2离地均为 h 2 m 求 1 柱体转动时的角加速度 2 两侧细绳的张力 题 2 14 图 解 设 和 分别为 和柱体的加速度及角加速度 方向如图 如图 b 1 a 2 a 1 m 2 m 题 2 14 a 图 题 2 14 b 图 1 和柱体的运动方程如下 1 m 2 m 2222 amgmT 1111 amTgm IrTRT 21 式中 RaraTTTT 122211 而 22 2 1 2 1 mrMRI 由上式求得 2 2222 2 2 2 1 21 srad13 6 8 9 10 0 220 0 210 0 4 2 1 20 0 10 2 1 21 022 0 g rmRmI rmR