2017中考数学压轴题解题技巧

中考数学压轴题解题技巧中考数学压轴题解题技巧 解中考数学压轴题秘诀 一 解中考数学压轴题秘诀 一 数学综合题关键是第 22 题和 23 题 我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题 一 函数型综合题 是先给定直角坐标系和几何图形 求 已知 函数的解析式 即在求解前已知 函数的类型 然后进行图形的研究 求点的坐标或研究图形的某些性质 初中已知函数有 一次函 数 包括正比例函数 和常值函数 它们所对应的图像是直线 反比例函数 它所对应的图像是双曲 线 二次函数 它所对应的图像是抛物线 求已知函数的解析式主要方法是待定系数法 关键是求点 的坐标 而求点的坐标基本方法是几何法 图形法 和代数法 解析法 此类题基本在第 22 题 满分 12 分 基本分 2 3 小题来呈现 二 几何型综合题 是先给定几何图形 根据已知条件进行计算 然后有动点 或动线段 运动 对应产生线段 面积等的变化 求对应的 未知 函数的解析式 即在没有求出之前不知道函数解析式的 形式是什么 和求函数的定义域 最后根据所求的函数关系进行探索研究 一般有 在什么条件下图形是 等腰三角形 直角三角形 四边形是菱形 梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之 间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x 的值等和直线 圆 与圆的相切时求自变量的值等 求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系 即列出含有 x y 的方程 变形 写成 y f x 的形式 一般有直接法 直接列出含有 x 和 y 的方程 和复合法 列出含有 x 和 y 和第三 个变量的方程 然后求出第三个变量和 x 之间的函数关系式 代入消去第三个变量 得到 y f x 的形 式 当然还有参数法 这个已超出初中数学教学要求 找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理 平行线截得比例线段 三角形相似 面积相等方法 求定义域主要是寻找图形的特殊位置 极限位置 和根据解析式求解 而最后的探索问题千变万化 但少不了对图形的分析和研究 用几何和代数的方法 求出 x 的值 几何型综合题基本在第 23 题做为压轴题出现 满分 14 分 一般分三小题呈现 在解数学综合题时我们要做到 数形结合记心头 大题小作来转化 潜在条件不能忘 化动为静多画图 分类讨论要严密 方程函数是工具 计算推理要严谨 创新品质得提高 解中考数学压轴题秘诀 二 解中考数学压轴题秘诀 二 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目 其特点是知识点多 覆盖面广 条件隐蔽 关系复杂 思路难觅 解法灵活 解数学压轴题 一要树立必胜的信心 二要具 备扎实的基础知识和熟练的基本技能 三要掌握常用的解题策略 现介绍几种常用的解题策略 供初三 同学参考 1 以坐标系为桥梁 运用数形结合思想 纵观最近几年各地的中考压轴题 绝大部分都是与坐标系有关的 其特点是通过建立点与数即坐标 之间的对应关系 一方面可用代数方法研究几何图形的性质 另一方面又可借助几何直观 得到某些代 数问题的解答 2 以直线或抛物线知识为载体 运用函数与方程思想 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数 即一次函数与二次函数所表示的图形 因此 无论是 求其解析式还是研究其性质 都离不开函数与方程的思想 例如函数解析式的确定 往往需要根据已知 条件列方程或方程组并解之而得 3 利用条件或结论的多变性 运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性 常常通过条件的多变性或结论的不确定性来 进行考察 有些问题 如果不注意对各种情况分类讨论 就有可能造成错解或漏解 纵观近几年的中考 压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点 4 综合多个知识点 运用等价转换思想 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想 初中数学中的转换大体包括由已知向未知 由复杂 向简单的转换 而作为中考压轴题 更注意不同知识之间的联系与转换 一道中考压轴题一般是融代数 2 几何 三角于一体的综合试题 转换的思路更要得到充分的应用 中考压轴题所考察的并非孤立的知识 点 也并非个别的思想方法 它是对考生综合能力的一个全面考察 所涉及的知识面广 所使用的数学 思想方法也较全面 因此有的考生对压轴题有一种恐惧感 认为自己的水平一般 做不了 甚至连看也 没看就放弃了 当然也就得不到应得的分数 为了提高压轴题的得分率 考试中还需要有一种分题 分 段的得分策略 5 分题得分 中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题 难易程度是第 1 小题较易 第 2 小题中等 第 3 小题偏难 在解答时要把第 1 小题的分数一定拿到 第 2 小题的分数要力争拿 到 第 3 小题的分数要争取得到 这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性 6 分段得分 一道中考压轴题做不出来 不等于一点不懂 一点不会 要将片段的思路转化为得分点 因此 要强调分段得分 分段得分的根据是 分段评分 中考的评分是按照题目所考察的知识点分段 评分 踏上知识点就给分 多踏多给分 因此 对中考压轴题要理解多少做多少 最大限度地发挥自己 的水平 把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广 综合性最强的题型 综合近年来各地中考的实际情况 压轴题多以函数和几何综合题的形式出现 压轴题考查知识点多 条件也相当隐蔽 这就要求学生有较 强的理解问题 分析问题 解决问题的能力 对数学知识 数学方法有较强的驾驭能力 并有较强的创 新意识和创新能力 当然 还必须具有强大的心理素质 下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧 先以 2009 年河南中考数学压轴题为例 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 4 0 C 8 0 D 8 8 抛物线 y ax2 bx 过 A C 两点 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向终点 B 运动 同时点 Q 从点 C 出发 沿 线段 CD 向终点 D 运动 速度均为每秒 1 个单位长度 运动时间为 t 秒 过 点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 过点 E 作 EF AD 于点 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 线段 EG 最长 连接 EQ 在点 P Q 运动的过程中 判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三 角形 请直接写出相应的 t 值 解 1 点 A 的坐标为 4 8 1 分 将 A 4 8 C 8 0 两点坐标分别代入 y ax2 bx 8 16a 4b 得 0 64a 8b 解 得 a 1 2 b 4 抛物线的解析式为 y 1 2 x2 4x 3 分 2 在 Rt APE 和 Rt ABC 中 tan PAE PE AP BC AB 即 PE AP 4 8 3 PE 1 2 AP 1 2 t PB 8 t 点 的坐标为 4 1 2 t 8 t 点 G 的纵坐标为 1 2 4 1 2 t 2 4 4 1 2 t 1 8 t2 8 5 分 EG 1 8 t2 8 8 t 1 8 t2 t 1 8 0 当 t 4 时 线段 EG 最长为 2 7 分 共有三个时刻 8 分 t1 16 3 t2 40 13 t3 8 5 25 11 分 压轴题的做题技巧如下 1 对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识 根据自己的情况考试的时候重心定位准确 防止 捡芝麻丢西瓜 所以 在心中一定要给压轴题或几个 难点 一个时间上的限制 如果超过你设置的 上限 必须要停止 回头认真检查前面的题 尽量要保证选择 填空万无一失 前面的解答题尽可能的 检查一遍 2 解数学压轴题做一问是一问 第一问对绝大多数同学来说 不是问题 如果第一小问不会解 切 忌不可轻易放弃第二小问 过程会多少写多少 因为数学解答题是按步骤给分的 写上去的东西必须要 规范 字迹要工整 布局要合理 过程会写多少写多少 但是不要说废话 计算中尽量回避非必求成分 尽量多用几何知识 少用代数计算 尽量用三角函数 少在直角三角形中使用相似三角形的性质 3 解数学压轴题一般可以分为三个步骤 认真审题 理解题意 探究解题思路 正确解答 审题要 全面审视题目的所有条件和答题要求 在整体上把握试题的特点 结构 以利于解题方法的选择和解题 步骤的设计 解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想 如转化思想 数形结合 思想 分类讨论思想及方程的思想等 认识条件和结论之间的关系 图形的几何特征与数 式的数量 结构特征的关系 确定解题的思路和方法 当思维受阻时 要及时调整思路和方法 并重新审视题意 注意挖掘隐蔽的条件和内在联系 既要防止钻牛角尖 又要防止轻易放弃 压轴题解题技巧练习 一 对称翻折平移旋转 1 1 如图 12 把抛物线 虚线部分 向右平移 1 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 得到抛 2 yx 物线 抛物线与抛物线关于轴对称 点 分别是抛物线 与轴的交点 分 1 l 2 l 1 lyAOB 1 l 2 lxDC 别是抛物线 的顶点 线段交轴于点 1 l 2 lCDyE 1 分别写出抛物线与的解析式 1 l 2 l 2 设是抛物线上与 两点不重合的任意一点 点是点关于轴的对称点 试判断以 P 1 lDOQPyP 为顶点的四边形是什么特殊的四边形 说明你的理由 QCD 4 A PO B E C x y 3 在抛物线上是否存在点 使得 如果存在 求出点的坐标 1 lM ABMAOED SS 四边形 M 如果不存在 请说明理由 2 2 如图 已知抛物线C1 的顶点为P 与 x 轴相交于A B两点 点A在点B的左边 52 2 xay 点B的横坐标是 1 1 求P点坐标及a的值 4分 2 如图 1 抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称 将抛物线C2向右平移 平移后的抛物线记为 C3 C3的顶点为M 当点P M关于点B成中心对称时 求C3的解析式 4 分 3 如图 2 点Q是x轴正半轴上一点 将抛物线C1绕点Q旋转 180 后得到抛物线C4 抛物线 C4的顶点为N 与x轴相交于E F两点 点E在点F的左边 当以点P N F为顶点的三角形是直角三 角形时 求点Q的坐标 5 分 二 动态 动点 动线 3 3 如图 抛物线与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 且x1 x2 与y轴交于点C 0 4 其中x1 x2 是方程x2 2x 8 0 的两个根 1 求这条抛物线的解析式 2 点P是线段AB上的动点 过点P作 PE AC 交BC于点E 连接CP 当 CPE 的面积最大时 求点P的坐标 3 探究 若点Q是抛物线对称轴上的点 是否存在这样的点Q 使 QBC成为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标 若不存在 请说明理由 4 4 已知 如图 在 Rt ACB 中 C 90 AC 4cm BC 3cm 点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速 运动 速度为 1cm s 点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 速度为 2cm s 连接 PQ 若设运动的时 间为 t s 0 t 2 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ BC 2 设 AQP 的面积为 y 求 y 与 t 之间的函数关系式 2 cm 3 是否存在某一时刻 t 使线段 PQ 恰好把 Rt ACB 的周长和面积同时平分 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 说明理由 4 如图 连接 PC 并把 PQC 沿 QC 翻折 得到四边形 PQP C 那么是否存在某一时刻 t 使四边 形 PQP C 为菱形 若存在 求出此时菱形的边长 若不存在 说明理由 A CDE B O 2 l 1 l 12 题 题 图 12 y x y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 2 1 y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q EF 2 2 5 C xx yy A O B E D ACB C D G 图 1图 2 P 图 AQ C P B 图 A Q C P B 5 5 如图所示 菱形ABCD的边长为 6 厘米 B 60 从初始时刻开始 点P Q同时从A点出发 点 P以 1 厘米 秒的速度沿A C B的方向运动 点Q以 2 厘米 秒的速度沿A B C D的方向运动 当点 Q运动到D点时 P Q两点同时停止运动 设P Q运动的时间为x秒时 APQ与 ABC重叠部分的面 积为y平方厘米 这里规定 点和线段是面积为 0 的三角形 解答下列问题 1 点P Q从出发到相遇所用时间是 秒 2 点P Q从开始运动到停止的过程中 当 APQ是等边三角形时x的值是 秒 3 求y与x之间的函数关系式 6 6 如图 已知A B是线段MN上的两点 4 MN 1 MA 1 MB 以A为中心顺时针旋转点M 以 B为中心逆时针旋转点N 使M N两点重合成一点C 构成 ABC 设xAB 1 求x的取值范围 2 若 ABC为直角三角形 求x的值 3 探究 ABC的最大面积 三 圆 7 7 如图 10 已知点 A 3 0 以 A 为圆心作 A 与 Y 轴切于原点 与 x 轴的另一个交点为 B 过 B 作 A 的切线 l 1 以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C 0 9 求此抛物线的解析式 2 抛物线与 x 轴的另一个交点为 D 过 D 作 A 的切线 DE E 为切点 求此切线长 3 点 F 是切线 DE 上的一个动点 当 BFD 与 EAD 相似时 求出 BF 的长 8 8 如图 1 在平面直角坐标系xOy 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象顶点为D 与y轴交于点C 与x轴交于点A B 点A在原点的左侧 点B的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 1 3 1 求这个二次函数的解析式 2 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M N 且以MN为直径的圆与x轴相切 求该圆的半径长 度 3 如图 2 若点G 2 y 是该抛物线上一点 点P是直线AG下方的抛物线上的一动点 当点P运动 到什么位置时 AGP的面积最大 求此时点P的坐标和 AGP的最大面积 四 比例比值取值范围 C ABNM 第 24 题 D BA Q C P 6 1111 图 9 是二次函数的图象 其顶点坐标为 M 1 4 kmxy 2 1 求出图象与轴的交点 A B 的坐标 x 2 在二次函数的图象上是否存在点 P 使 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 MABPAB SS 4 5 请说明理由 3 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折 图象的其余部分保持不变 得到一个新的图象 xx 请你结合这个新的图象回答 当直线与此图象有两个公共点时 的取值范围 1 bbxyb 1212 如图 在平面直角坐标系中 矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上 cm OC 8cm 现8 2OA 有两动点P Q分别从O C同时出发 P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm 的速度匀速运动 Q在2 线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动 设运动时间为t秒 1 用t的式子表示 OPQ的面积S 2 求证 四边形OPBQ的面积是一个定值 并求出这个定值 3 当 OPQ与 PAB和 QPB相似时 抛物线经过B P两点 过线段BP上一动点 2 1 4 yxbxc M作轴的平行线交抛物线于N 当线段MN的长取最大值时 求直线MN把四边形OPBQ分成两部分y 的面积之比 五 探究型 1414 如图 抛物线与轴交于两点 与轴交于点 2 230ymxmxm m xAB yC 1 请求出抛物线顶点的坐标 用含的代数式表示 两点的坐标 MmAB 2 经探究可知 与的面积比不变 试求出这个比值 BCM ABC 3 是否存在使为直角三角形的抛物线 若存在 BCM 请求出 如果不存在 请说明 理由 图 9 图 1 A B C E D x y o 题图26 B A P x C Q O y 第 26 题图 7 A D B C E Ox y 1515 如图 已知抛物线与y轴相交于 C 与x轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 0 cbxxy 2 2 1 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说 明理由 1616 如图 抛物线经过的三个顶点 已知轴 点在轴上 点在 2 54yaxax ABC BCx AxC 轴上 且 yACBC 1 求抛物线的对称轴 2 写出三点的坐标并求抛物线的解析式 ABC 3 探究 若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点 是否存在是等腰三角形 若存在 PxPAB 求出所有符合条件的点坐标 不存在 请说明理由 P 1717 如图 已知抛物线y 3 4 x2 bx c与坐标轴交于A B C三点 A点的坐标为 1 0 过 点C的直线y 3 4t x 3 与x轴交于点Q 点P是线段BC上的一个动点 过P作PH OB于点H 若 PB 5t 且 0 t 1 1 填空 点C的坐标是 b c 2 求线段QH的长 用含t的式子表示 3 依点P的变化 是否存在t的值 使以P H Q为顶点的三角形与 COQ相似 若存在 求出所有 t的值 若不存在 说明理由 1818 0909 年重庆市 年重庆市 已知 如图 在平面直角坐标系xOy中 矩形OABC的边OA在轴的正半轴上 OCy 在轴的正半轴上 OA 2 OC 3 过原点O作 AOC的平分线交AB于点D 连接DC 过点D作x DE DC 交OA于点E 1 求过点E D C的抛物线的解析式 AB x y O Q H P C A CB y x 0 1 1 8 2 将 EDC绕点D按顺时针方向旋转后 角的一边与轴的正半轴交于点F 另一边与线段OC交于y 点G 如果DF与 1 中的抛物线交于另一点M 点M的横坐标为 那么EF 2GO是否成立 5 6 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 对