一元二次方程知识点总结及典型习题

第 1 页 共 13 页 一元二次方程一元二次方程 一 本章知识结构框图一 本章知识结构框图 实际问题实际问题 数学问题 0 0 2 acbxax 设未知数 列方程 实际问题的答案实际问题的答案 数学问题的解 a acbb x 2 4 2 解解 方方 程程 降降 次次 开平方法 配方法 公式法 分解因式法 检 验 二 具体内容二 具体内容 一 一元二次方程的概念 1 理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1 未知数的最高次数为 2 整式方程 可化为一般形式 2 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 1 明确只有当二次项系数时 整式方程才是一元二次方程 0 a0 2 cbxax 2 各项的确定 包括各项的系数及各项的未知数 3 熟练整理方程的过程 3 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4 列出实际问题的一元二次方程 二 一元二次方程的解法 1 明确一元二次方程是以降次为目的 以配方法 开平方法 公式法 因式分解法等方法为手段 从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解 2 根据方程系数的特点 熟练地选用配方法 开平方法 公式法 因式分解法等方法解一元二次方程 3 体会不同解法的相互的联系 4 值得注意的几个问题 1 开平方法 对于形如或的一元二次方程 即一元二次方程的一边是含有nx 2 0 2 anbax 未知数的一次式的平方 而另一边是一个非负数 可用开平方法求解 形如的方程的解法 nx 2 第 2 页 共 13 页 当时 0 nnx 当时 0 n0 21 xx 当时 方程无实数根 0 n 2 配方法 通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程 再运用开平方法求解 nmx 2 配方法的一般步骤 移项 把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边 常数项移到方程的右边 系数化 1 根据等式的性质把二次项的系数化为 1 配方 将方程两边分别加上一次项系数一半的平方 把方程变形为的形式 nmx 2 求解 若时 方程的解为 若时 方程无实数解 0 nnmx 0 n 3 公式法 一元二次方程的根 0 0 2 acbxax a acbb x 2 4 2 当时 方程有两个实数根 且这两个实数根不相等 04 2 acb 当时 方程有两个实数根 且这两个实数根相等 写为 04 2 acb a b xx 2 21 当时 方程无实数根 04 2 acb 公式法的一般步骤 把一元二次方程化为一般式 确定的值 代入中计算其值 cba acb4 2 判断方程是否有实数根 若代入求根公式求值 否则 原方程无实数根 04 2 acb 因为这样可以减少计算量 另外 求根公式对于任何一个一元二次方程都适用 其中也包括不完全的 一元二次方程 4 因式分解法 因式分解法解一元二次方程的依据 如果两个因式的积等于 0 那么这两个因式至少有一个为 0 即 若 则 0 ab00 ba或 因式分解法的一般步骤 若方程的右边不是零 则先移项 使方程的右边为零 把方程的左边分解因式 令每一个因式都为零 得到两个一元一次方程 解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解 5 选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程 可选用因式分解法 较之别的方法可能要简便的多 只不过应注意二 次根式的化简问题 方程若含有未知数的因式 选用因式分解较简便 若整理为一般式再解就较为麻烦 6 解含有字母系数的方程 1 含有字母系数的方程 注意讨论含未知数最高项系数 以确定方程的类型 2 对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解 不能用因式分解的可选用别的方法 此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论 第 3 页 共 13 页 三 三 根的判别式 根的判别式 1 了解一元二次方程根的判别式概念 能用判别式判定根的情况 并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围 1 acb4 2 2 根的判别式定理及其逆定理 对于一元二次方程 0 2 cbxax0 a 当方程有实数根 时0 0a 当方程有两个不相等的实数根 当方程有两个相等的实数根 时0 0a 时0 0a 当方程无实数根 时0 0a 从左到右为根的判别式定理 从右到左为根的判别式逆定理 2 常见的问题类型 1 利用根的判别式定理 不解方程 判别一元二次方程根的情况 2 已知方程中根的情况 如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 3 应用判别式 证明一元二次方程根的情况 先计算出判别式 关键步骤 用配方法将判别式恒等变形 判断判别式的符号 总结出结论 例 求证 方程无实数根 0 4 2 1 222 aaxxa 4 分类讨论思想的应用 如果方程给出的时未指明是二次方程 后面也未指明两个根 那一定要对方 程进行分类讨论 如果二次系数为 0 方程有可能是一元一次方程 如果二次项系数不为 0 一元二次方 程可能会有两个实数根或无实数根 5 一元二次方程根的判别式常结合三角形 四边形 不等式 组 等知识综合命题 解答时要在全面 分析的前提下 注意合理运用代数式的变形技巧 6 一元二次方程根的判别式与整数解的综合 7 判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 四 四 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用 1 数字问题 解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数 奇偶数 连续整数等形式 2 几何问题 这类问题要结合几何图形的性质 特征 定理或法则来寻找等量关系 构建方程 对结果要 结合几何知识检验 第 4 页 共 13 页 3 增长率问题 下降率 在此类问题中 一般有变化前的基数 增长率 变化的次数 axn 变化后的基数 这四者之间的关系可以用公式表示 bbxa n 1 4 其它实际问题 都要注意检验解的实际意义 若不符合实际意义 则舍去 五 新题型与代几综合题 五 新题型与代几综合题 1 有 100 米长的篱笆材料 想围成一矩形仓库 要求面积不小于 600 平方米 在场地的北面有一堵 50 米的旧墙 有人用这个篱笆围成一个长 40 米 宽 10 米的仓库 但面积只有 400 平方米 不合要求 问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢 2 读诗词解题 列出方程 并估算出周瑜去世时的年龄 大江东去浪淘尽 千古风流数人物 而立之年督东吴 英年早逝两位数 十位恰小个位三 个位平方与 寿符 哪位学子算得准 多少年华属周瑜 36 岁 3 已知 分别是的三边长 当时 关于的一元二次方程cba ABC 0 mx 有两个相等的实数根 求证 是直角三角形 02 22 axmmxbmxcABC 4 已知 分别是的三边长 求证 方程没有实数根 cba ABC 0 222222 cxacbxb 5 当是什么整数时 关于的一元二次方程与的mx044 2 xmx05444 22 mmmxx 根都是整数 1 m 第 5 页 共 13 页 6 已知关于的方程 其中为实数 1 当为何值时 方程没有实x0 22 1 2 2 2 2 mxx m xxmm 数根 2 当为何值时 方程恰有三个互不相等的实数根 求出这三个实数根 m 答案 1 2 2 m21 1 x 六 相关练习 六 相关练习 一 一元二次方程的概念 1 一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式 再写出二次项 一次项 常数项 1 xx325 2 2 3 5 2 xx 2 01562 2 xx 2 15 6 2 xx 3 5 2 7 1 3 yyy 9 4 3 2 yy 4 mmmmmm57 2 2 3 0 2 2 m 5 22 3 4 15 aa 5 2 3 2 aa 2 应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 1 为何值时 关于的方程是一元二次方程 mxmxmxm m 4 3 2 2 2 m 2 若分式 则 0 1 87 2 x xx x8 x 3 由方程的根的定义求字母或代数式值 1 关于的一元二次方程有一个根为 0 则 x01 1 22 axxa a1 a 2 已知关于的一元二次方程有一个根为 1 一个根为 则 x 0 0 2 acbxax1 cba 0 0 cba 第 6 页 共 13 页 3 已知 c 为实数 并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程x03 2 cxx 的一个根 求方程的根及 c 的值 0 3 c 0 03 2 cxx03 2 cxx 二 一元二次方程的解法 1 开平方法解下列方程 1 2 01255 2 x5 5 21 xx289 3 169 2 x 13 22 13 56 21 xx 3 原方程无实根 4 0361 2 y0 31 2 m0 21 mm 5 8 5 13 2 2 x 3 521 x 2 配方法解方程 1 2 052 2 xx61 x015 2 yy 2 215 x 3 342 2 yy 2 10 1 y 第 7 页 共 13 页 3 公式法解下列方程 1 2 263 2 xx 3 33 xpp323 2 3 21 pp 3 4 原方程无实数根 yy117 2 0 7 11 21 yy259 2 nn 5 3 12 2 2 xxx 2 153 x 4 因式分解法解下列方程 1 2 09 4 1 2 x6 x0454 2 yy5 9 21 yy 3 4 03108 2 xx 2 3 4 1 21 xx0217 2 xx3 0 21 xx 5 6 622336 2 xxx 3 2 2 3 21 xx1 5 2 5 2 xx6 21 xx 7 08 3 2 3 222 xxx1 4 1 2 4321 xxxx 第 8 页 共 13 页 5 解法的灵活运用 用适当方法解下列方程 1 2 128 72 2 2 x2 2 7 x 222 2 212mmmm 2 62 m 3 3 2 2 6 xxxx 5 3 2 21 xx 4 3 13 2 23 3 3 2 yyyyy 2 2 3 21 yy 5 22 3 144 52 81 xx 2 3 10 27 21 xx 6 解含有字母系数的方程 解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 1 02 222 nmmxxnmxnmx 21 2 1243 22 aaxax1 13 21 axax 3 nmnxxnm 2 2 0 nm nm nm xx 21 1 第 9 页 共 13 页 4 讨论 a xaxaxxa 1 1 1 2222 三 一元二次方程的根的判别式 1 不解方程判别方程根的情况 1 4 有两个不等的实数根 2 无实数根 xxx73 2 xx4 2 3 2 3 有两个相等的实数根 xx5454 2 2 为何值时 关于 x 的二次方程k096 2 xkx 1 有两个不等的实数根 01 kk且 2 有两个相等的实数根 1 k 3 无实数根 1 k 3 已知关于 的方程有两个相等的实数根 求 的值和这个方程的根 mxmx 1 2 4 2 或 2 1 2 21 xxm 2 3 10 21 xxm 4 若方程有实数根 求 正整数 a 054 1 2 22 aaxax3 2 1 aaa 第 10 页 共 13 页 5 对任意实数 m 求证 关于 x 的方程无实数根 042 1 222 mmxxm 6 为何值时 方程有实数根 k0 3 32 1 2 kxkxk 当时 原方程有一个实数根 01 k 5 4 x 当时 解得 所以当且时方程有两个实数根 0 01k 4 21 1 k k 4 21 k1 k 综上所述 当时 方程有实数根 4 21 k 7 设为整数 且时 方程有两个相异整数根 求m404 m08144 32 2 22 mmxmx 的值及方程的根 当 12 时 方程的根为 当 24 时 方程的根为mm26 16 21 xxm 52 38 21 xx 第 11 页 共 13 页 四 一元二次方程的应用 四 一元二次方程的应用 1 已知直角三角形三边长为三个连续整数 求它的三边长和面积 3 4 5 面积为 6 2 一个两位数 个位上的数字比十位上的数字少 4 且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 4 求这个两位数 84 3 某印刷厂在四年中共印刷 1997 万册书 已知第一年印刷了 342 万册 第二年印刷了 500 万册 如果 以后两年的增长率相同 那么这两年各印刷了多少万册 550 605 4 某人把 5000 元存入银行 定期一年到期后取出 300 元 将剩余部分 包括利息 继续存入银行 定 期还是一年 且利率不变 到期如果全部取出 正好是 275 元 求存款的年利率 不计利息税 10 第 12 页 共 13 页 5 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可以售出 20 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售增加盈利 尽快 减少库存 商场决定采取适当降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价 1 元 商场每天可多售出 2 件 若商场平均每天要盈利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 20 元 6 已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B C 同时出发 甲由 C 向 D 运动 乙由 B 向 C 运动 甲的速度为每分钟 1 千米 乙的速度每分钟 2 千米 若正方形广场周长为 40 千米 问几分钟后 两人相 距千米 2 分钟后 102 7 某科技公司研制一种新产品 决定向银行贷款 200 万元资金 用于生产这种产品 签订的合同上约定 两年到期时一次性还本付息 利息为本金的 8 该产品投放市场后由于产销对路 使公司在两年到期时除还 清贷款的本金和利息外 还盈余 72 万元 若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同 试求 这个百分数 20 第 13 页 共 13 页 8 如图 东西和南北向两条街道交于 O 点 甲沿东西道由西向东走 速度是每秒 4 米 乙沿南北道由南向北走 速度是每秒 3 米 当乙通