高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 三角函数三角函数 一 三角恒等变换 一 三角恒等变换 3 题 题 1 2015 年年 1 卷卷 2 oooo sin20 cos10cos160 sin10 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 解析解析 原式原式 oooo sin20 cos10cos20 sin10 o sin30 1 2 故选 故选 D 考点 本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式考点 本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式 2 2016 年年 3 卷 卷 5 若 若 则 则 3 tan 4 2 cos2sin2 A B C 1 D 64 25 48 25 16 25 解析解析 由由 得 得或或 所以 所以 3 tan 4 34 sin cos 55 34 sin cos 55 故选 故选 A 2 161264 cos2sin24 252525 考点 考点 1 同角三角函数间的基本关系 同角三角函数间的基本关系 2 倍角公式 倍角公式 3 2016 年年 2 卷卷 9 若 若 则 则 3 cos 45 sin2 A B C D 7 25 1 5 1 5 7 25 解析解析 故选 故选 D 3 cos 45 2 7 sin2cos22cos1 2425 二 三角函数性质 二 三角函数性质 5 题 题 4 2017年年3卷卷6 设函数 设函数 则下列结论错误的是 则下列结论错误的是 cos 3 f xx A 的一个周期为的一个周期为 B 的图像关于直线的图像关于直线对对 f x 2 yf x 8 3 x 称称 C 的一个零点为的一个零点为D 在在单调递减单调递减 f x 6 x f x 2 解析解析 函数函数的图象可由的图象可由向左平移向左平移个单位得到 个单位得到 cos 3 f xx cosyx 3 如图可知 如图可知 在在上先递减后递增 上先递减后递增 D选项错误 故选选项错误 故选D f x 2 6 A x y O 5 2017 年年 2 卷卷 14 函数 函数 的最大值是 的最大值是 2 3 sin3cos 4 f xxx 0 2 x 解析解析 22 31 1 cos3coscos3cos 44 f xxxxx 则 则 当 当时 取得最大值时 取得最大值 1 2 3 cos1 2 x 0 2 x cos0 1x 3 cos 2 x 6 2015 年年 1 卷卷 8 函数 函数 f x cos x 的部分图像如图所示 则的部分图像如图所示 则 f x的单调递减区的单调递减区 间为 间为 A 13 44 kkkZ B 13 2 2 44 kkkZ C 13 44 kkkZ D 13 2 2 44 kkkZ 解析解析 由五点作图知 由五点作图知 1 42 53 42 解得 解得 4 所以 所以 cos 4 f xx 令令22 4 kxkkZ 解得 解得 1 2 4 k x 3 2 4 k kZ 故单调减区间 故单调减区间 为 为 1 2 4 k 3 2 4 k kZ 故选 故选 D 考点 三角函数图像与性质考点 三角函数图像与性质 7 2015 年年 2 卷卷 10 如图 长方形 如图 长方形 ABCD 的边的边 AB 2 BC 1 O 是是 AB 的中点 点的中点 点 P 沿沿 着边着边 BC CD 与与 DA 运动 记运动 记 BOP x 将动点 将动点 P 到到 A B 两点距离之和表示为两点距离之和表示为 x 的函数的函数 f x 则 则 f x 的图像大致为 的图像大致为 的运动过程可以看出 轨迹关于直线的运动过程可以看出 轨迹关于直线 2 x 对称 且对称 且 42 ff 且轨迹非线型 故选 且轨迹非线型 故选 B 8 2016 年年 1 卷卷 12 已知函数 已知函数 为为的零的零 sin 0 24 f xx x f x 点点 为为图像的对称轴图像的对称轴 且且在在单调单调 则则的最大值为的最大值为 4 x yf x f x 5 18 36 A 11 B 9 C 7 D 5 考点 三角函数的性质考点 三角函数的性质 三 三角函数图像变换 三 三角函数图像变换 3 题 题 9 2016 年年 2 卷卷 7 若将函数 若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移的图像向左平移个单位长度 则平移后图象的个单位长度 则平移后图象的 12 对称轴为对称轴为 A B 26 k xk Z 26 k xk Z C D 212 Z k xk 212 Z k xk 解析解析 平移后图像表达式为平移后图像表达式为 令 令 得对称轴方程 得对称轴方程 2sin2 12 yx 2 122 xk 故选 故选 B 26 Z k xk 10 2016 年年 3 卷卷 14 函数 函数的图像可由函数的图像可由函数的图的图 sin3cosyxx sin3cosyxx 像至少向右平移像至少向右平移 个单位长度得到 个单位长度得到 考点 考点 1 三角函数图象的平移变换 三角函数图象的平移变换 2 两角和与差的正弦函数 两角和与差的正弦函数 11 2017 年年 1 卷卷 9 已知曲线已知曲线 C1 y cos x C2 y sin 2x 2 3 则下面结论正确的是 则下面结论正确的是 A 把 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度 得到曲线个单位长度 得到曲线 C2 B 把 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度 得到曲线个单位长度 得到曲线 C2 C 把 把 C1上各点的横坐标缩短到原来的上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度 得到曲线个单位长度 得到曲线 C2 D 把 把 C1上各点的横坐标缩短到原来的上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度 得到曲线个单位长度 得到曲线 C2 解析解析 熟悉两种常见的三角函数变换 先变周期和先变相位不一致 熟悉两种常见的三角函数变换 先变周期和先变相位不一致 先变周期 先变周期 2 cossinsin 2sin 2sin 2 223122 yxxyxyxx 先变相位 先变相位 22 cossinsinsinsin 2 22633 yxxyxxyx 选选 D 考点考点 三角函数的变换 三角函数的变换 解三角形 解三角形 8 题 题 3 小小 5 大 大 一 解三角形 知一求一 知二求最值 知三可解 一 解三角形 知一求一 知二求最值 知三可解 1 2016 年年 2 卷卷 13 的内角的内角 A B C 的对边分别为的对边分别为 a b c 若 若 ABC 4 cos 5 A 则 则 5 cos 13 C 1a b 解析解析 4 cos 5 A 5 cos 13 C 3 sin 5 A 12 sin 13 C 由正弦定理得 由正弦定理得 解解 63 sinsinsincoscossin 65 BACACAC sinsin ba BA 得得 21 13 b 2 2017 年年 2 卷卷 17 ABC 的内角的内角 A B C的对边分别为的对边分别为 a b c 已知 已知 2 sin8sin 2 B AC 1 求求cosB 2 若若6ac ABC 的面积为的面积为 2 求 求 b 解析解析 1 依题得 依题得 2 1cos sin8sin84 1cos 22 BB BB 因为因为 22 sincos1BB 所以 所以 22 16 1cos cos1BB 所以 所以 17cos 15 cos1 0BB 得得cos 1B 舍去 或 舍去 或 15 cos 17 B 2 由 由 可知可知 8 sin 17 B 因为 因为 2 ABC S 所以 所以 1 sin2 2 acB 即 即 18 2 217 ac 得 得 17 2 ac 因为因为 15 cos 17 B 所以 所以 222 15 217 acb ac 即 即 222 15acb 从而 从而 22 215acacb 即即 2 361715b 解得 解得 2b 3 2016 年年 1 卷卷 17 的内角的内角 A B C 的对边分别为的对边分别为 a b c 已知已知ABC 2cos coscos C aB bAc I 求 求 C II 若 若的面积为的面积为 求求的周长 的周长 7 cABC 3 3 2 ABCA 解解析析 1 2cosC acosB bcosA c 由由正正弦弦定定理理得得 2cosC sinA cosB sinB cosA sinC 2cosC sin A B sinC 因因为为 A B C A B C 0 所所以以 sin A B sinC 0 所所以以 2cosC 1 cosC 因因为为 C 0 所所以以 C 1 2 3 2 由由余余弦弦定定理理得得 c2 a2 b2 2ab cosC 7 a2 b2 2ab a b 2 3ab 7 1 2 S ab sinC ab 所所以以 ab 6 所所以以 a b 2 18 7 a b 5 1 2 3 4 3 3 2 所所以以 ABC 的的周周长长为为 a b c 5 7 4 2017 年年 1 卷卷 17 的内角的内角A B C的对边分别为的对边分别为a b c 已知 已知ABC ABC 的面积为的面积为 2 3sin a A 1 求 求sin sinBC的值 的值 2 若 若6cos cos1BC 3a 求 求ABC 的周长的周长 解析解析 1 因为 因为 ABC 的面积的面积 2 3sin a S A 且且 1 sin 2 SbcA 所以 所以 2 1 sin 3sin2 a bcA A 即 即 22 3 sin 2 abcA 由正弦定理得由正弦定理得 22 3 sinsinsinsin 2 ABCA 由 由sin 0A 得 得 2 sinsin 3 BC 2 由 由 1 得 得 2 sinsin 3 BC 又 又 1 coscos 6 BC 因为 因为 ABC 所以所以 1 coscos cossinsinC coscos 2 ABCBCBBC 又因为又因为 0 A 所以 所以 60A 3 sin 2 A 1 cos 2 A 由余弦定理得由余弦定理得 222 9abcbc 由正弦定理得由正弦定理得 sin sin a bB A sin sin a cC A 所以 所以 2 2 sinsin8 sin a bcBC A 由由 得 得 33bc 所以 所以 333abc 即 即 ABC 周长为周长为3 33 5 2015 年年 1 卷卷 16 在平面四边形 在平面四边形 ABCD 中中 A B C 75 BC 2 则则 AB 的取值范围的取值范围 解析解析 1 如图所示 延长如图所示 延长 BA CD 交于交于 E 平移 平移 AD 当 当 A 与与 D 重合与重合与 E 点时 点时 AB 最长 在最长 在 BCE 中 中 B C 75 E 30 BC 2 由正弦定理可得 由正弦定理可得 sinsin BCBE EC 即 即 oo 2 sin30sin75 BE 解得 解得BE 6 2 平移 平移 AD 当 当 D 与与 C 重合时 重合时 AB 最短 此时与最短 此时与 AB 交于交于 F 在 在 BCF 中 中 B BFC 75 FCB 30 由正弦定理知 由正弦定理知 sinsin BFBC FCBBFC 即 即 oo 2 sin30sin75 BF 解得 解得 BF 62 所以 所以 AB 的取值范围为 的取值范围为 62 6 2 考点 正余弦定理 数形结合思想考点 正余弦定理 数形结合思想 二 分割两个三角形的解三角形问题二 分割两个三角形的解三角形问题 6 2016 年年 3 卷卷 8 在 在中 中 边上的高等于边上的高等于 则则 ABC 4 B BC 1 3 BC cos A A B C D 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 解析解析 设设边上的高线为边上的高线为 则 则 所以 所以 BCAD3BCAD 22 5ACADDCAD 由余弦定理 知 由余弦定理 知 2ABAD 故选 故选 C 考点 余弦定 考点 余弦定 222222 25910 cos 210225 ABACBCADADAD A AB ACADAD 理 理 7 2017 年年 3 卷卷 17 ABC 的内角的内角 A B C的对边分别为的对边分别为 a b c 已知 已知 sin3cos0AA 2 7a 2b 1 求 求c 2 设 设D为为BC边上一点 且边上一点 且 ADAC 求求ABD 的面积 的面积 解析解析 1 由 由sin 3cos0AA 得 得 2sin0 3 A 即 即 3 Akk Z 又又 0 A 所以 所以 3 A 得 得 2 3 A 由余弦定理得由余弦定理得 222 2cosabcbcA 又因为又因为 1 2 7 2 cos