立体几何练习题

E O A C B F D 立体几何练习题立体几何练习题 1 在直四棱住 1111 DCBAABCD 中 1 2AA 底面是边长为1的正方形 E F G分别是棱BB1 DD1 DA的中点 求证 平面EAD1 平面BGF 求证 1 D E 面AEC 2 如图 正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 2 E为AB的中点 1 求证 1 BDDAC平面 2 求点B到平面ECA1的距离 3 如图所示 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 AA 平面 90ABCACB 2AB 1BC 1 3AA 求三棱锥 111 AABC 的体积 若D是棱 1 CC的中点 棱AB的中点为E 证明 11 CABDE平面 4 如图 在棱长均为 2 的三棱柱ABCDEF 中 设侧面四边形FEBC的两对角线相交于O 若BF 平面 AEC ABAE 1 求证 AO 平面FEBC 2 求三棱锥BDEF 的体积 5 如图 在体积为 1 的三棱柱 111 CBAABC 中 侧棱 1 AA底面ABC ABAC 1 1 AAAC E为 线段AB上的动点 求证 CA1PCCA 11 C1E F E A B D C G 1 C 1 A 1 B 1 D 1 B 1 C E DC B A 1 D 1 A A B C A1 B1 C1 D B E C1 A1 C A B1 2 线段AB上是否存在一点E 使四面体 E AB1C1的体积为 6 1 若存在 请确定点E的位置 若不存在 请说 明理由 6 已知三棱柱 ABC A1B1C1的直观图和三视图如图所示 其主视图 BB1A1A 和侧视图 A1ACC1均为矩形 其中 AA1 4 俯视图 A1B1C1中 B1C1 4 A1C1 3 A1B1 5 D 是 AB 的中点 1 求证 AC BC1 2 求证 AC1 平面 CDB1 3 求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 7 如图 在底面为平行四边形的四棱锥ABCDP 中 ACAB ABCDPA面 点E是PD的中点 求证 PBAC 求证 AECPB平面 8 如图 在四棱锥ABCDP 中 ABCD 是矩形 ABCDPA平面 3 1 ABADPA 点F是 PD的中点 点E在CD上移动 1 求三棱锥PABE 体积 2 当点E为CD的中点时 试判断EF与 平面PAC的关系 并说明理由 3 求证 AFPE 9 如图所示 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为正方形 PD 平面ABCD 2PDAB E F G分别为PC PD BC的中点 1 求证 PA 平面EFG 2 求证 GCPEF 平平 3 求三棱锥PEFG 的体积 A B C D P E F E A F CB 图 1 E A F CB 图 2 1010 如图 6 已知四棱锥 ABCDP 中 PA 平面ABCD ABCD是直角梯形 BCAD BAD 90 ADBC2 1 求证 AB PD 2 在线段PB上是否存在一点E 使AE 平面PCD 若存在 指出点E的位置并加以证明 若不存在 请说明理由 11 2 1 2 90 4 1 的距离到平面求点求证 如图上的射影恰为点在平面且位置到达使点折起将中点 的分别是是等腰直角三角形如图 BCAFCAEF EBCEFAAAAEF ABACFEACBBCACABC 1212 如图所示是一个几何体的直观图 正视图 俯视图和侧视图 C 尺寸 如图 所示 求四棱锥PABCD 的体积 若GBC为上的动点 求证 AEPG 1313 如图 四边形ABCD为矩形 DA 平面ABE 2AEEBBC BF 平面ACE于点F 且点F在CE上 求证 AEBE 求三棱锥DAEC 的体积 设点M在线段AB上 且满足2AMMB 试在线段CE上确定一点N 使得 MN平面DAE A C D B P 图 6 A E B F CD 19 题图 M 14 已知四棱柱 1111 ABCDABC D 的三视图如图所示 1 画出此四棱柱的直观图 并求出四棱柱的 体积 2 若E为 1 AA上一点 EB平面 1 ACD 试确定E点位置 并证明EB 平面 11 ABC D 15 如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体 四边形EFGH为截面 且 ABADa BFDHb 证明 截面四边形EFGH是菱形 求三棱锥FABH 的体积 16 正方形 ABCD 中 AB 2 E 是 AB 边的中点 F 是 BC 边上一点 将 AED 及 DCF 折起 如下图 使 A C 点重合于 A 点 1 证明 A D EF 2 当 BF 1 4 BC 时 求三棱锥 A 一 EFD 的体积 17 已知四棱锥PABCD 的三视图如下图所示 E是侧棱PC上的动点 1 求四棱锥PABCD 的体积 2 是否不论点E在何位置 都有BDAE 证明你的结论 3 若点E为PC的中点 求二面角DAEB 的大小 俯视图 正视图侧视图 2 2 22 1 B A AA B D C 1 A 1 D 1 B 1 A D G F C A D B H E 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 1 2 1 1 2 1 AB C D P E 18 如图 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 2ADDEAB F为 CD的中点 1 求证 AF平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 3 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 19 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面四边形 ABCD 是正方形 侧面 PDC 是边长为a的正三角形 且平面 PDC 底 面 ABCD E 为 PC 的中点 I 求异面直线 PA 与 DE 所成的角 II 求点 D 到面 PAB 的距离 20 如图 在三棱锥 A BCD 中 侧面 ABD ACD 是全等的直角三角形 AD 是公共的斜边 且 AD 3 BD CD 1 另一个侧面是正三角形 1 求证 AD BC 2 在直线 AC 上是否存在一点 E 使 ED 与面 BCD 成 30 角 若存在确定 E 的位置 若不存在 说明理由 立体几何参考答案立体几何参考答案 1 证明 FE 分别是棱 11 DD BB中点 11 BED FBED F 且 四边 形 1 BED F为平行四边形 BFED 1 又 111 D EAD E BFAD E 平面平面 BF 平面EAD1 3 分 又G是棱DA的中点 1 ADGF 又 111 ADAD EGFAD E 平面 平面 A B CD E F A B D C F E A B D C G 1 C 1 A 1 B 1 D GF 平面EAD1 5 分 又BFGFF 平面EAD1 平面BGF 6 分 1 2AA 22 1111 5ADA AAD 同理 1 2 3AED E 222 11 ADD EAE 1 D EAE 9 分 1 ACBD ACD D AC 面 1 BD 又 11 D EBD 平面 1 ACD E 又ACAEA AC 面AEC AE 面AEC 1 D E 面AEC 12 分 2 1 连接 BD 由已知有ABCDDD平面 1 得DDAC 1 又由 ABCD 是正方形 得 BDAC DD1与BD相交 1 BDDAC平面 2 CBEAEA 1 5 1 CEEA 又 32 1 CA 点 E 到CA1的距离 235 d 有 6 2 1 1 1 dCAS ECA 1 2 1 1 1 AAEBS EBA 又由 EBACECAB VV 11 设点 B 到平面ECA1的距离为h 则 CBShS EBAECA 11 3 1 3 1 有26 h 3 6 h 所以点 B 到平面ECA1的距离为 3 6 3 解 在Rt ABC 中 2AB 1BC 3AC 1 3AA 四边形 11 ACC A为正 方形 11 11 1 11 1 1 1111 3 13 3322 AAB CA A B CABC A B C VVV 6 分 当点E为棱AB的中点时 DE 平面 11 ABC 8 分 证明如下 如图 取 1 BB的中点F 连EF FD DE D E F分别为 1 CC AB 1 BB的中点 1 EFAB 1 AB 平面 11 ABC EF 平面 11 ABC EF 平面 11 ABC 10 分 同理可证FD 平面 11 ABC EFFDF 平面EFD 平面 11 ABC DE 平面EFD DE 平面 11 ABC 12 分 4 1 证明 BF 平面AEC 而 AO 平面SEC BF AO 2 分 AEAB ABAC AEAC 而 BCFE 为菱形 则O为EC中点 AO EC 且BFECO AO 平面BCFE 6 分 2 DA BE BEBCFE DA 平面BCFE A1 A 点D A到面BCFE的距离相等 8 分 B DEFD BEFA BEF VVV AEAB AO AO AOE AOB 得 OE OB 即 EC FB 而 BCFE 为菱形 则 BCFE 是正方形 计算得 AO 2 EFB 的面积等于正方形 BCFE 的一半2 12 分 因此 12 222 33 B DEF V 14 分 5 解 证明 连结 1 AC 侧棱 1 AA 底面 ABC 1 AAAB 又ABAC AB 平面 11 A ACC 又 1 CA 平面 11 A ACC 1 ABCA 3 分 1 1ACAA 四边形 11 A ACC为正方形 11 ACCA 1 ACABA 1 CA 平面 1 AC B 5 分 又 1 C P 平面 1 AC B 11 CAC P 6 分 设在线段AB上存在一点P 使 1 1 1 6 P AB C V 1 1 1 1 1 11 2 ABC A B C VAB 2AB 7 分 又 1 ACAB AAAC 且 11 C A 平面 11 ABB A BBAB 由 1 111 1 6 P AB CCPAB VV 知 1 111 111111 1 332326 PAB SC APA BBPA 解得1PA 存在AB的中点P 使 1 1 1 6 P AB C V 12 分 6 解 1 证明 因为主视图和侧视图均为矩形 所以该三棱柱为直三棱柱 1 分 又 俯视图中 A1C1 3 B1C1 4 A1B1 5 A1C12 B1C12 A1B12 A1C1B1 ACB 90 AC BC 又 AC CC1 CC1 BC C AC 平面 BCC1B1 又 BC1 平面 BCC1B1 AC BC1 4 分 2 证明 设 CB1与 C1B 的交点为 E 连结 DE D 是 AB 的中点 E 是 BC1的中点 DE AC1 又 DE 平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 8 分 3 DE AC1 CED 为 AC1与 B1C 所成的角 在 CED 中 ED 1 2 AC1 5 2 CD 1 2 AB 5 2 CE 1 2 CB1 2 2 cos CED 82 2 5 5 2 2 2 2 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 2 2 5 12 分 7 ABCDACABCDPA面面 ACPA 又PABABPABPAAACPAACAB面面 PABAC面 PABPB面 PBAC 2 连结BD交AC于点O 并连结EO 四边形ABCD为平行四边形 O为BD的中点 又E 为PD的中点 在PDB 中 EO 为中位线 PBEO AECEOAECPB面面 AECPB面 12 8 解 1 ABCDPA平面 6 3 131 2 1 3 1 3 1 PASVV ABEABEPPABE 2 当点E为BC的中点时 PACEF平面 理由如下 点FE 分别为CD PD 的中点 PCEF PACPC平面 PACEF平面 PACEF平面 3 ABCDPA平面 ABCDCD平面 PACD 是矩矩形ABCD ADCD AADPA PADCD平面 PADAF平面 DCAF ADPA 点F是PD的中点 PDAF 又DPDCD PDCAF平面 PDC PE平面 AFPE 9 解 1 证法 1 如图 取AD的中点H 连接 GH FH 1 分 E F分别为 PC PD的中点 EFCD 2 分 G H分别为 BC AD的中点 GHCD EF GH E F H G四点共面 4 分 F H分别为 DP DA的中点 PAFH PA 平面EFG FH 平面EFG PA 平面EFG 6 分 2 解 PD 平面ABCD GC 平面ABCD GCPD ABCD为正方形 GCCD PD CDD GC 平面PCD 10 分 A BC D E FG P H F E A D B C P 3 1 1 2 PFPD 1 1 2 EFCD 11 22 PEF SEFPF 1 1 2 GCBC 1111 1 3326 P EFGG PEFPEF VVSGC 14 分 10 解 1 PA 平面ABCD AB 平面ABCD PA AB AB AD PA ADA AB 平面PAD PD 平面PAD AB PD 2 取线段PB的中点E PC的中点F 连结 DFEFAE 则EF是 PBC中位线 EF BC BCEF 2 1 BCAD BCAD 2 1 EFADEFAD 四边形EFDA是平行四边形 10 分 DFAE AE 平面PCD DF 平面PCD AE 平面PCD 线段PB的中点E是符合题意要求的点 11 解 分 平面 平面 平面平面又 中在四棱锥 且 的中点分别是中在等腰直角 证明 6 1 CAEF ECACA ECAEF ECAECECAEAEECEA ECEFEAEFBCEFA ACEFACBCBCEF ABACFEABC 4 2222 1 2 2222 BCECEACACBARt ECEA BCEFEACABC EFBC 中在 平面由已知得得由 解 分的距离为到平面所以点 分得由的距离为到平面设点 分 14 2 2 24 224 2 1 3 1 3 1 9 8 24422 2 1 2 1 BCAF S EAS d EASdS VVdBCAF BCCAS BCA FBC FBCBCA FBCABCAF BCA 12 12 解 I 由几何体的三视图可知 低面 ABCD 是边长为 4 的正方形 PAABCDPAEB 面 且4 2 2 2 4PABEABADCDCB 1164 2 4 24 4 333 P ABCDABCD VPA S 连BP 1 2 EBBA ABPA 90EBABAP PBABEA 90PBABAEBEABAE PBAE 10 分 又BCAPEBBCAE 平面 AEPBG 平面 AEPG 13 解 证明 由AD 平面ABE及 ADBC得BC 平面ABE 则AEBC 而BF 平面ACE 则BFAE 又BCBFB 则AE 平面BCE 又BE 平面BCE 故AEBE 在ABE 中 过点E作EHAB 于点H 则EH 平面ACD 由已知及 得 1 2 2 2 2 ADC EHABS 故 14 2 22 33 D AECE ADC VV 在ABE 中过点M作 MGAE交BE于点G 在BEC 中过点G作 GNBC交BC于点 N 连接MN 则由 1 3 CNBGMB CEBEAB 得 1 3 CNCE 由平面 ADE AE 平面ADE 则 MG平面ADE 再由 GNBC BCAD得 GN平面ADE 又MN 平面MGN 则 MN平面ADE 故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时 MN平面ADE 14 本小题主要考查空间中线面关系 空间想象能力 逻辑推理能力和运算求解能力本小题主要考查空间中线面关系 空间想象能力 逻辑推理能力和运算求解能力 1 1 参考右下图 参考右下图 图略 图略 3 分 1 6 2 ABCD VSAA 6 分 2 2 作 作 EFAD交交 1 AD于于F 连 连CF 则 则BCFE共面共面 EB 平面平面 1 ACD BECF 又 又 EFBC BCFE 为平行四边形为平行四边形 1 2 EFBCAD E 为为 1 AA的中点的中点 10 分 在矩形在矩形 11 AAB B中 中 2AB 2AE 1 AEAB ABBB 1 AB BABE 1 AB BABE 1 BEAB 又又 1 ADAA ADAB 1 AAABA AD 平面平面 11 AAB B BE 平面平面 11 AAB B ADBE 1 ABADA BE 平面平面 11 ABC D 14 分 15 解 证明 因为平面ABEF 平面CDHG 且平面EFGH分别交平面ABFE 平面CDHG于 直线EF GH 所以EF GH 同理 FG EH 因此 四边形EFGH为平行四边形 1 因为BDAC 而AC为EG在底面ABCD上的射影 所以EGBD 4 分 因为BFDH 所以FH BD 因此 FHEG 2 由 1 2 可知 四边形EFGH是菱形 6 分 II 因为DA 平面ABFE HD AE 所以H到平面ABF的距离为DAa 于是 由等体积法得所求体积 2 1111 3326 FABHHABFABF VVSDAabaa b 12 分 16 1 证明 A D A E A D A F A D 平面 A EF A D EF 5 2 J 解 A D 平面 A EF A D 是三棱锥 D A EF 的高 7 又由 BE 1 BF 1 2 推出 EF 5 2 可得 A EF 5 4 S A EFDA EFA EF 1155 A D 2 3346 D VVS 12 17 解 解 1 由三视图可知 四棱锥PABCD 的底面是边长为 1 的正方形 侧棱PC 底面 ABCD 且2PC 2 112 12 333 P ABCDABCD VSPC 正方形 即四棱锥PABCD 的体积为 2 3 4 分 2 不论点E在何位置 都有BDAE 5 分 证明如下 连结AC ABCD是正方形 BDAC 6 分 PC 底面ABCD 且BD 平面ABCD BDPC 7 分 又 ACPCC BD 平面PAC 8 分 不论点E在何位置 都有AE 平面PAC 不论点E在何位置 都有BDAE 9 分 3 解 解 在平面DAE内过点D作DFAE 于F 连结BF 1ADAB 22 112DEBE 3AEAE Rt ADE Rt ABE 从而 ADF ABF BFAE DFB 为二面角DAEB 的平面角 12 分 在 Rt ADE中 12 3 AD DE DFBF AE AB C D P E F 又2BD 在 DFB中 由余弦定理得 222 2 22 1 3 cos 2 22 2 3 DFBFBD DFB DF BF 13 分 120DGB 即二面角DAEB 的大小为120 14 分 18 1 证法一证法一 取CE的中点G 连FGBG F为CD的中点 GFDE且 1 2 GFDE 1 分 AB 平面ACD DE 平面ACD ABDE GFAB 2 分 又 1 2 ABDE GFAB 四边形GFAB为平行四边形 则 AFBG 4 分 AF 平面BCE BG 平面BCE AF平面BCE 5 分 证法二证法二 取DE的中点M 连AMFM F为CD的中点 FMCE 1 分 AB 平面ACD DE 平面ACD DEAB 2 分 又 1 2 ABDEME 四边形ABEM为平行四边形 则 AMBE 3 分 FMAM 平面BCE CEBE 平面BCE FM平面BCE AM平面BCE 又FMAMM 平面 AFM平面BCE 4 分 AF 平面AFM AF平面BCE 5 分 2 证证 ACD 为等边三角形 F为CD的中点 AFCD 6 分 DE 平面ACD AF 平面ACD DEAF 7 分 又CDDED 故AF 平面CDE BGAF BG 平面CDE 9 分 BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 10 分 3 解解 在平面CDE内 过F作FHCE 于H 连BH 平面BCE 平面CDE FH 平面BCE FBH 为BF和平面BCE所成的角