概率统计实验

13 6概率统计实验 学习目标 1 会用 Mathematica 求概率 均值与方差 2 能进行常用分布的计算 3 会用 Mathematica 进行期望和方差的区间估计 4 会用 Mathematica 进行回归分析 概率统计是最需要使用计算机的领域 过去依靠计算器进行统计计算 由于计算机的普 及得以升级换代 本节介绍 Mathematica 自带的统计程序包 其中有实现常用统计计算的各 种外部函数 一 一 样本的数字特征样本的数字特征 1 一元的情况 Mathematica 的内部没有数理统计方面的功能 但是带有功能强大的数理统计外部程序 由多个程序文件组成 它们在标准扩展程序包集的 Statistic 程序包子集中 位于目录 D Mathematica 4 0 AddOns StandardPackages Statistics 下 通过查看 Help 可以找到包含所需外部函数的程序文件名 在程序文件 DescriptiveStatistics m 中 含有实现一元数理统计基本计算的函数 常用的 有 SampleRange data 求表 data 中数据的极差 最大数减最小数 Median data 求中值 Mean data 求平均值 n i i x n 1 1 Variance data 求方差 无偏估计 n i i xx n 1 2 1 1 StandardDeviation data 求标准差 无偏估计 n i i xx n 1 2 1 1 VarianceMLE data 求方差 n i i xx n 1 2 1 StandardDeviationMLE data 求标准差 n i i xx n 1 2 1 实际上程序文件中的函数很多 这里只列出了最常用的函数 其它计算函数可以通过 Help 浏览 例 1给出一组样本值 6 5 3 8 6 6 5 7 6 0 6 4 5 3 计算样本个数 最大值 最小值 均值 方差 标准差等 解 In 1 Statistics DescriptiveStatistics In 2 data 6 5 3 8 6 6 5 7 6 0 6 4 5 3 7777 In 3 Length data Out 3 7 In 4 Min data Out 4 3 8 In 5 Max data Out 5 6 6 In 6 SampleRange data Out 6 2 8 In 7 Median data Out 7 6 In 8 Mean data Out 8 5 75714 In 9 Variance data Out 9 0 In 10 StandardDeviation data Out 10 0 In 11 VarianceMLE data Out 11 0 In 12 StandardDeviationMLE data Out 12 0 说明 在上例中 In 1 首先调入程序文件 求数据个数 最大值和最小值使用内部函数 2 多元的情况 在程序文件 MultiDescriptiveStatistics m 中 含有实现多元数理统计基本计算的函数 常 用的有 SampleRange data 求表 data 中数据的极差 Median data 求中值 Mean data 求平均值 Variance data 求方差 无偏估计 StandardDeviation data 求标准差 无偏估计 VarianceMLE data 求方差 StandardDeviationMLE data 求标准差 Covariance xlist ylist 求 x y 的协方差 无偏估计 n i ii yyxx n 1 1 1 CovarianceMLE xlist ylist 求 x y 的协方差 7878 n i ii yyxx n 1 1 Correlation xlist ylist 求 x y 的相关系数 n i n i n i iiii yyxxyyxx 111 22 实际上程序文件中的函数很多 这里只列出了最常用的函数 其它计算函数可以通过 Help 浏览 例 2给出 4 个样本值 1 1 2 0 3 2 1 3 2 2 3 1 1 15 2 05 3 35 1 22 2 31 3 33 计算样本个数 均值 方差 标准差等 解 In 1 Statistics MultiDescriptiveStatistics In 2 data 1 1 2 0 3 2 1 3 2 2 3 1 1 15 2 05 3 35 1 22 2 31 3 33 Length data Out 3 4 In 4 SampleRange data Out 4 0 2 0 31 0 25 In 5 Median data Out 5 1 185 2 125 3 265 In 6 Mean data Out 6 1 1925 2 14 3 245 In 7 Variance data Out 7 0 0 0 In 8 VarianceMLE data Out 8 0 0 01505 0 In 9 CentralMoment data 2 Out 9 0 0 01505 0 In 10 x data All 1 y data All 2 z data All 3 In 11 Covariance x y Out 11 0 0093 In 12 Covariance z z Out 12 0 In 13 CovarianceMLE y y Out 13 0 01505 In 14 Correlation y z Out 14 0 7979 In 15 Correlation x x Out 15 1 二 二 常用分布的计算常用分布的计算 在计算机出现以前 统计计算总是依赖一堆函数表 使用本节介绍的函数可以取代查表 为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作 1 离散分布 程序文件 DiscreteDistributions m 中 含有用于离散分布计算的函数 其中常用的离散分 布有 BernoulliDistribution p 贝努利分布 BinomialDistribution n p 二项分布 GeometricDistribution p 几何分布 HypergeometricDistribution n M N 超几何分布 PoissonDistribution 泊松分布 DiscreteUniformDistribution n 离散的均匀分布 NegativeBinomialDistribution n p 负二项分布 以上函数中的参数 既可以是数值的 也可以是符号的 使用这些函数只能按用户给出 的参数建立一个表达式 并不能返回任何其它结果 真正进行计算的是下面的求值函数 它 们使用以上的分布表达式作为一个参数 常用的求值函数有 Domain dist 求 dist 的定义域 PDF dist x 求点 x 处的分布 dist 的密度值 CDF dist x 求点 x 处的分布函数值 Quantile dist q 求 x 使 CDF dist x 达到 q Mean dist 求分布 dist 的期望 Variance dist 求方差 StandardDeviation dist 求标准差 ExpectedValue f dist x 求 Ef x CharacteristicFunction dist t 求特征函数 t Random dist 求具有分布 dist 的伪随机数 RandomArray dist dims 求维数为 dims 的伪随机数的数组 例 3观察下面二项分布的各种基本计算 In 1 Statistics DiscreteDistributions In 2 b BinomialDistribution n p Out 2 BinomialDistribution n p In 3 Mean b Out 3 np 8080 In 4 Variance b Out 4 n 1 p p In 5 CharacteristicFunction b t Out 5 1 p e it p n In 6 b BinomialDistribution 10 0 3 Out 6 BinomialDistribution 10 0 3 In 7 Domain b Out 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 In 8 PDF b 4 Out 8 0 In 9 CDF b 3 9 Out 9 0 In 10 CDF b 4 Out 10 0 In 11 Variance b Out 11 2 1 说明 在上例中 首先调入程序文件 In 2 用 b 表示具有符号参数的二项分布 这一步 只是为了后面输入时方便 并非必需的 也可以使用嵌套省略这一步 In 3 In 5 进行的是 符号运算 可以得到期望 方差等的一般公式 这是本程序与一般统计软件的不同之处 充 分体现了 Mathematica 的特色 接下来给出具体的参数值 进行数值计算 这些计算取代了 查表 以下是一些更广泛 深入的例子 例 4观察下面离散分布的各种计算 In 1 Statistics DiscreteDistributions In 2 h HypergeometricDistribution n M N Mean h Out 3 N Mn In 4 Variance h Out 4 NN Nn N M Mn 1 1 In 5 p PoissonDistribution 5 PDF p 2 Out 6 5 2 25 e 8181 In 7 N Out 7 0 In 8 PDF p 20 N Out 8 2 64121 10 7 In 9 N CDF p 20 20 Out 9 0 In 10 ExpectedValue x 2 p x Out 10 30 In 11 RandomArray p 2 10 Out 11 3 4 6 10 2 5 7 2 5 5 4 3 2 11 5 4 2 2 4 6 说明 在上例中表明 超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示 这里求出的期望 和方差公式就与教科书上的相同了 In 5 中给出的参数是准确数 5 Mathematica 在下面进 行的仍是符号计算 得到准确结果 如果参数改为 5 0 则计算结果就都是近似值了 In 10 是求 E 2 ExpectedValue 是一个很有用的函数 务必注意 除了以上介绍的内容外 还有些不常用的函数本书没有列出 有兴趣的读者可以浏览 Help 2 连续分布 程序文件 ContinuousDistributions m 中 含有用于连续分布计算的函数 其中常见的连 续分布有 NormalDistribution 正态分布 UniformDistribution min max 均匀分布 ExponentialDistribution 指数分布 StudentTDistribution n t 分布 ChiSquareDistribution n 2分布 常用的求值函数与离散分布相同 这里不再列出 例 5计算 1 N 0 1 求 P 1 96 P 1 96 P 1 2 2 N 8 0 5 求 P 10 P 7 9 解 In 1 Statistics ContinuousDistributions In 2 n NormalDistribution 0 1 In 3 CDF n 1 96 Out 3 0 In 4 CDF n 1 96 Out 4 0 In 5 CDF n 2 CDF n 1 Out 5 0 8282 In 6 n NormalDistribution 8 0 5 In 7 CDF n 10 Out 7 0 In 8 CDF n 9 CDF n 7 Out 8 0 9545 说明 在上例中 由于 In 2 没有使用小数点 这时在 In 5 中需要使用小数点才能得到 近似值 否则得到符号解 反之 由于 In 6 使用了小数点 后面的计算则不必再使用小数 点了 如果使用人工查表的方法求 In 7 还需要首先转换成标准正态分布 这里就显得方 便了 例 6绘制 2分布在 n 分别为 1 5 15 时的分布密度函数图 解 In 1 Statistics ContinuousDistributions In 2 Plot PDF ChiSquareDistribution 1 x PDF ChiSquareDistribution 5 x PDF ChiSquareDistribution 15 x x 0 30 PlotRange 0 0 2 得到如图 13 46 所示的函数图形 图 13 46 2分布的分布密度图 说明 上例中的绘图语句使用了函数嵌套 其中的函数名较长 最好自制统计函数模板 因为这些统计计算都可以是符号的 所以能用于查询各种公式 以下是一个实例 In 1 Statistics ContinuousDistributions In 2 PDF NormalDistribution 0 1 x Out 2 2 2 2 x e In 3 n NormalDistribution Mean n Out 4 In 5 Variance n 8383 Out 5 2 In 6 e ExponentialDistribution Mean e Out 7 1 In 8 Variance e Out 8 2 1 In 9 ExpectedValue x 2 e x Out 9 2 2 三 三 区间估计区间估计 1 总体数学期望的区间估计 程序文件 ConfidenceIntervals m 中 含有用于总体参数区间估计的函数 其中用于总体 数学期望的区间估计的函数是 MeanCI data KnownVariance var 已知方差 var 由数据表 data 求总体 数学期望的置信区间 基于正态分布 MeanCI data 由数据表 data 求总体数学期望的置 信区间 方差未知 基于 t 分布 其中参数 KnownVariance 也可以改为 KnownStandardDeviation 即已知标准差 以上两个函数由样本数据表 data 直接求置信区间 但有时已知的是样本平均值 这时x 改用以下函数 NormalCI mean sd 标准差 已知 且 sd 由样本 n 平均值 mean 求总体数学期望的置信区间 基于正态分布 StudentTCI mean se dof 用于方差未知 由样本平均值 mean 求总体数学期望的置信区间 基于 t 分布 其中 se 而 dof 是自由度 等于 n 1 n S 以上函数都有可选参数 ConfidenceLevel 置信度 默认值为 0 95 例 7已知某炼铁厂的铁水含碳量 服从正态分布 现测得 5 炉铁水的含碳量分 别是 4 28 4 4 4 42 4 35 4 37 如果已知标准差为 0 108 求铁水平均含碳量的置 信区间 置信度为 0 95 解 In 1 Statistics ConfidenceIntervals In 2 data 4 28 4 4 4 42 4 35 4 37 8484 MeanCI data KnownVariance 0 108 2 Out 3 4 26934 4 45866 例 8假定新生男婴的体重服从正态分布 随机抽取 12 名男婴 测得体重分别是 单 位 g 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 试求新生 男婴平均体重的置信区间 置信度为 0 95 解 In 4 data 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 MeanCI data Out 5 2818 2 3295 13 例 9在例 7 中如果改为已知测得 9 炉铁水的含碳量的平均值是 4 484 其余条件不变 再求铁水平均含碳量的置信区间 置信度为 0 95 解 In 6 NormalCI 4 484 0 108 9 Out 6 4 41344 4 55456 例 10铅的比重测量值服从正态分布 测量 16 次算出 2 705 S 0 029 试求铅的比x 重的置信区间 置信度为 0 95 解 In 7 StudentTCI 2 705 0 029 Sqrt 16 15 Out 7 2 68955 2 72045 当调入程序文件 ConfidenceIntervals m 时 为了计算各种统计量 这个程序会自动调入 程序文件 DescriptiveStatistics m 因此 也可以首先由数据计算函数 StudentTCI 的各个参数 如下所示 In 1 Statistics ConfidenceIntervals In 2 data 2 1 1 2 0 7 1 0 1 1 3 2 3 2 3 3 2 1 0 3 m Mean data Out 3 1 82 In 4 se StandardErrorOfSampleMean data Out 4 0 In 5 StudentTCI m se Length data 1 ConfidenceLevel 0 9 Out 5 1 17057 2 46943 说明 上例中 In 4 利用数据直接求出 se 而不是像教科书上先求 S In 5 示范了设置 置信度为 0 9 的方法 2 总体方差的区间估计 对总体的方差进行区间估计的函数是 VarianceCI data 由数据表 data 求总体方差的置信区间 基于 2 分布 ChiSquareCI variance dof 由无偏估计样本方差 variance 求总体方差 8585 的置信区间 其中 dof 是自由度 等于 n 1 例 11 试求例 8 的新生男婴体重方差的置信区间 置信度为 0 95 解 In 1 Statistics ConfidenceIntervals In 2 VarianceCI 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 Out 2 70687 2 例 12设炮弹速度服从正态分布 取 9 发炮弹测得无偏估计样本方差 S2 11 m s 2 求炮弹速度方差的置信区间 置信度为 0 9 解 In 3 ChiSquareCI 11 8 ConfidenceLevel 0 9 Out 3 5 67474 32 2033 四 四 回归分析回归分析 对于线性回归 如果只想得到回归方程 只要使用函数 Fit 就行了 例 13 已知某种商品的价格与日销售量的数据 价格 元 1 0 2 0 2 0 2 3 2 5 2 6 2 8 3 0 3 3 3 5 销量 斤 5 0 3 5 3 0 2 7 2 4 2 5 2 0 1 5 1 2 1 2 试求线性回归方程 再求价格为 4 时的日销售量 解 In 1 data 1 0 5 0 2 0 3 5 2 0 3 0 2 3 2 7 2 5 2 4 2 6 2 5 2 8 2 0