中线倍长法和截长补短法学

几何证明 常用辅助线 一 中线倍长法 例 1 求证 三角形一边上的中线小于其他两边和的一半 已知 如图 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 求证 AD AB AC 2 1 分析 要证明 AD AB AC 就是证明 AB AC 2AD 也就是证明两条线 2 1 段之和大于第三条线段 而我们只能用 三角形两边之和大于第三边 但题中 的三条线段共点 没有构成一个三角形 不能用三角形三边关系定理 因此应 该进行转化 待证结论 AB AC 2AD 中 出现了 2AD 即中线 AD 应该加倍 证明 延长 AD 至 E 使 DE AD 连 CE 则 AE 2AD 在 ADB 和 EDC 中 AD DE ADB EDC BD DC ADB EDC SAS AB CE 又 在 ACE 中 AC CE AE AC AB 2AD 即 AD AB AC 2 1 小结 1 涉及三角形中线问题时 常采用延长中线一倍的办法 即中线倍长法 它可以将分居中线两旁的两条边 AB AC 和两个角 BAD 和 CAD 集中于同 一个三角形中 以利于问题的获解 课题练习 中 AD 是的平分线 且 BD CD 求证 AB ACABC BAC B C D A E C D A B 例 2 中线一倍辅助线作法 ABC 中 方式 1 延长 AD 到 E AD 是 BC 边中线 使 DE AD 连接 BE 方式 2 间接倍长 作 CF AD 于 F 延长 MD 到 N 作 BE AD 的延长线于 E 使 DN MD 连接 BE 连接 CN 例 3 ABC 中 AB 5 AC 3 求中线 AD 的取值范围 例 4 已知在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 的延长线上 DE 交 BC 于 F 且 DF EF 求证 BD CE 课堂练习 已知在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E 是 AD 上一点 且 BE AC 延长 BE 交 AC 于 F 求证 AF EF 例 5 已知 如图 在中 D E 在 BC 上 且 DE EC 过 D 作ABC ACAB 交 AE 于点 F DF AC BADF 求证 AE 平分BAC D A BC E D A BC F E D CB A N D CB A M F E D A B C F E C A B D 图 1 图图 A B F D E C 课堂练习 已知 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中线 求证 C BAE 作业 1 在四边形 ABCD 中 AB DC E 为 BC 边的中点 BAE EAF AF 与 DC 的延长线 相交于点 F 试探究线段 AB 与 AF CF 之间的数量关系 并证明你的结论 2 已知 如图 ABC 中 C 90 CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D 交 BC 于 T 过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 求证 CT BE 3 已知在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E 是 AD 上一点 且 BE AC 延长 BE 交 AC 于 F 求证 AF EF 4 已知 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中线 求证 C BAE 5 在四边形 ABCD 中 AB DC E 为 BC 边的中点 BAE EAF AF 与 DC 的延长线 相交于点 F 试探究线段 AB 与 AF CF 之间的数量关系 并证明你的结论 ED A BC F E A B C D D A B C M T E F E D A B C ED A BC F E A B C D A D B C E 图 2 1 二 截长补短法二 截长补短法 例例 1 1 已知 如图 1 1 在四边形ABCD中 BC AB AD DC BD平分 ABC 求证 BAD BCD 180 分析 分析 因为平角等于 180 因而应考虑把两个不在一起的通过全等 转化成为平角 图中缺少全等的三角形 因而解题的关键在于构造直角三 角形 可通过 截长补短法 来实现 证明 证明 过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E 作DF BC于点F 如图 1 2 BD平分 ABC DE DF 在Rt ADE与Rt CDF中 CDAD DFDE Rt ADE Rt CDF HL DAE DCF 又 BAD DAE 180 BAD DCF 180 即 BAD BCD 180 例例 2 2 如图 2 1 AD BC 点E在线段AB上 ADE CDE DCE ECB 求证 CD AD BC 例例 3 3 已知 如图 3 1 1 2 P为BN上一点 且PD BC于点D AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180 A BC D 图 1 1 F E D CB A 图 1 2 A BC D P 1 2 N 图 3 1 例例 4 4 已知 如图 4 1 在 ABC中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 作业 1 已知 如图 ABCD是正方形 FAD FAE 求证 BE DF AE 2 五边形ABCDE中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 AD平分 CDE C E D B A 三 三 有角平分线时 通常在角的