河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题

20172017 20182018 学年度第一学期高三十模考试学年度第一学期高三十模考试 数学试卷 理科 数学试卷 理科 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 下列每小题所给选项只有一项符合题意 下列每小题所给选项只有一项符合题意 请将正确答案的序号填涂在答题卡上 请将正确答案的序号填涂在答题卡上 1 设集合 则 2 log 2 Ax yx 2 320 Bx xx A C B A B C D 1 1 2 2 2 在复平面内 复数对应的点的坐标为 则在复平面内对应的点位于 23 32 i z i 2 2 z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知中 则的值是 ABC sin2sincos0ABC 3bc tan A A B C D 3 3 2 3 3 3 4 3 3 4 设 为的展开式的第一项 为自然对数的 0 01 Ax yxmy s 1 ne e 底数 若任取 则满足的概率是 n ms a bA 1ab A B C D 2 e 2 e 2e e 1e e 5 函数的图象大致是 4 lgxx y x A B C D 6 已知一个简单几何体的三视图如图所示 若该几何体的体积为 则该几何体的2448 表面积为 A B C D 2448 24906 41 4848 24666 41 7 已知 则 的大小关系为 1 17 17a 16 log17b 17 log16c abc A B C D abc acb bac cba 8 执行如下程序框图 则输出结果为 A B C D 202005268 5 50505151 9 如图 设椭圆 的右顶点为 右焦点为 为椭圆在第E 22 22 1 0 xy ab ab AFB 二象限上的点 直线交椭圆于点 若直线平分线段于 则椭圆的BOECBFACME 离心率是 A B C D 1 2 2 3 1 3 1 4 10 设函数为定义域为的奇函数 且 当时 f xR 2 f xfx 0 1 x 则函数在区间上的所有零点的和为 sinf xx cos g xxf x 5 9 2 2 A B C D 671314 11 已知函数 其中为函数的导数 求 2 sin 20191 x f xx fx f x 2018 2018 ff 2019 2019 ff A B C D 2201920180 12 已知直线 若存在实数使得一条曲线与直线 有两个不同的l1 yaxa aR al 交点 且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 则称此曲线为直线 的 绝对曲线 al 下面给出的四条曲线方程 21yx 22 1 1 1xy 22 34xy 2 4yx 其中直线 的 绝对曲线 的条数为 l A B C D 1234 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每题小题 每题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 已知实数 满足 且 则实数的取值范围 xy 220 240 1 xy xy yx 34 1 xy m x m 14 双曲线的左右焦点分别为 是双曲线右支上一点 为 22 22 1 xy ab 1 F 2 FPI 的内心 交轴于点 若 且 则双曲线的离心 12 PFF PIxQ 12 FQPF 2 1PI IQ 率的值为 e 15 若平面向量 满足 则在方向上投影的最大值是 1 e 2 e 112 32eee 1 e 2 e 16 观察下列各式 3 11 3 235 3 379 11 3 413 15 1719 若按上述规律展开后 发现等式右边含有 这个数 则的值为 3 m mN 2017m 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤演算步骤 第第 1717 2121 为必考题 每个试题考生都必须作答为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 2222 2323 题为选考题为选考 题 考生根据要求作答 题 考生根据要求作答 17 已知等差数列中 公差 且 成等比数列 n a0d 7 35S 2 a 5 a 11 a 1 求数列的通项公式 n a 2 若为数列的前项和 且存在 使得成立 求实数 n T 1 1 nn a a n nN 1 0 nn Ta 的取值范围 18 为了解学生寒假期间学习情况 学校对某班男 女学生学习时间进行调查 学习时间按 整小时统计 调查结果绘成折线图如下 1 已知该校有名学生 试估计全校学生中 每天学习不足小时的人数 4004 2 若从学习时间不少于小时的学生中选取人 设选到的男生人数为 求随机变44X 量的分布列 X 3 试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小 只需写出结论 2 1 S 2 2 S 19 如图所示 四棱锥的底面为矩形 已知 PABCD 1PAPBPCBC 过底面对角线作与平行的平面交于 2AB ACPBPDE 1 试判定点的位置 并加以证明 E 2 求二面角的余弦值 EACD 20 在平面直角坐标平面中 的两个顶点为 平面内两点 ABC 0 1 B 0 1 CP 同时满足 Q0PAPBPC QAQBQC PQBC 1 求顶点的轨迹的方程 AE 2 过点作两条互相垂直的直线 直线 与的轨迹相交弦分别 2 0 F 1 l 2 l 1 l 2 lAE 为 设弦 的中点分别为 11 AB 22 A B 11 AB 22 A BMN 求四边形的面积的最小值 1212 A A B BS 试问 直线是否恒过一个定点 若过定点 请求出该定点 若不过定点 请说明理MN 由 21 已知函数 ln 1 1 x f x ax 1 当 求函数的图象在处的切线方程 1a yf x 0 x 2 若函数在上单调递增 求实数的取值范围 f x 0 1 a 3 已知 均为正实数 且 求证xyz1xyz 31 ln 1 31 ln 1 11 xxyy xy 31 ln 1 0 1 zz z 请考生在请考生在 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线的极坐标方程是 以极点为原点 极轴为 1 C 24 4cos3sin O 轴正半轴 两坐标系取相同的单位长度 的直角坐标系中 曲线的参数方程为 xxOy 2 C 为参数 cos sin x y 1 求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程 1 C 2 C 2 将曲线经过伸缩变换后得到曲线 若 分别是曲线和曲 2 C 2 2 2 xx yy 3 CMN 1 C 线上的动点 求的最小值 3 CMN 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 21 f xxaxaR 1 当时 解不等式 1a 2f x 2 若不等式对恒成立 求实数的取值范围 2 1 1 2 f xxxa xR a 十模数学答案 理 十模数学答案 理 一 选择题一 选择题 1 5 BDACD 6 10 DACCA 11 12 AC 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 2 7 3 2 4 2 3 45 三 解答题三 解答题 17 解 1 由题意可得 即 1 2 111 7 6 735 2 4 10 ad adad ad 1 2 1 35 2 ad da d 又因为 所以 所以 0d 1 2 1 a d 1 n an 2 因为 所以 1 11 1 2 nn a ann 11 12nn 1111 2334 n T 11 12nn 11 222 2 n nn 因为存在 使得成立 所以存在 使得 nN 1 0 nn Ta nN 成立 2 0 2 2 n n n 即存在 使得成立 nN 2 2 2 n n 又 当且仅当时取等号 2 1 4 2 2 2 4 n n n n 11 4 16 2 4 n n 2n 所以 即实数的取值范围是 1 16 1 16 18 解 1 由折线图可得共抽取了人 其中男生中学习时间不足小时的有人 女2048 生中学习时间不足小时的有人 44 可估计全校中每天学习不足小时的人数为 人 4 12 400240 20 2 学习时间不少于本的学生共人 其中男学生人数为人 故的所有可能取值484X 为 01234 由题意可得 4 4 4 8 0 C P X C 1 70 13 44 4 8 1 C C P X C 168 7035 22 44 4 8 2 C C P X C 3618 7035 31 44 4 8 3 C C P X C 168 7035 4 4 4 8 4 C P X C 1 70 所以随机变量的分布列为X X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 均值 116 01 7070 EX 3616 23 7070 1 42 70 3 由折线图可得 22 12 ss 19 解 1 为的中点 证明如下 EPD 连接 因为平面 平面平面 平面 所OE PBAECPBD AECOE PB AEC 以 又为的中点 所以为的中点 OEPBOBDEPD 2 连接 因为四边形为矩形 所以 因为 所以POABCDOAOC PAPC 同理 得 所以平面 以为原点 为轴 过POAC POBD PO ABCDOOPz 平行于的直线为轴 过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系 如图所OADxOCDy 示 易知 12 0 22 A 12 0 22 B 12 0 22 C 12 0 22 D 1 0 0 2 P 12 1 444 E 则 12 1 444 EA 12 0 22 OA 显然 是平面的一个法向量 设是平面的一个法向量 OP ACD 1 nx y z ACE 则 即 取 1 1 0 0 n EA n OA 121 0 444 12 0 22 xyz xy 1y 则 1 2 1 2 2 n 所以 1 cos n OP 1 1 n OP n OP 2 22 11 所以二面角的余弦值为 EACD 2 22 11 20 1 2 的最小值的 直线恒过定点 2 2 1 0 3 x yx S 3 2 MN 3 2 0 4 试题解析 1 2PAPBPO 由 知 2PCPO 为的重心 PABC 设 则 由 知是的外心 A x y 3 3 x y P QABC 在轴上由 知 由 得 化简Qx 0 3 x Q QCQA 22 2 1 33 xx xy 整理得 2 2 1 0 3 x yx 2 解 恰为的右焦点 2 0 F 2 2 1 3 x y 当直线 的斜率存且不为时 设直线的方程为 1 l 2 l0 1 l2myx 由 22 2 330 myx xy 22 3 2 210mymy 设 则 111 A x y 122 B xy 12 2 2 2 3 m yy m 12 2 1 3 y y m 根据焦半径公式得 1112 2 2 3 3 ABxx 又 1212 22xxmymy 12 2 2m yy 2 2 2 2 2 2 3 m m 2 6 2 3m 所以 同理 11 2 4 3 2 3 3 AB m 2 2 2 3 1 3 m m 2 22 2 1 2 31 1 3 m A B m 2 2 2 3 1 31 m m 则 22 22 1 6 3 31 m S mm 22 2 2 1 6 4 1 2 m m 3 2 当 即时取等号 22 331mm 1m 根据中点坐标公式得 同理可求得 22 3 22 33 m M mm 2 22 3 22 31 31 mm N mm 则直线的斜率为 MN 22 2 22 22 333 3 23 2 313 MN mm mm k m mm 2 4 3 1 m m 直线的方程为 MN 2 2 3 m y m 22 43 2 3 1 3 m x mm 整理化简得 43 33 24ymx m 2 63 3 2490ymx my 令 解得 0y 3 2 4 x 直线恒过定点 MN 3 2 0 4 当直线 有一条直线斜率不存在时 另一条斜率一定为 直线即为轴 过 1 l 2 l0MNx 点 3 2 0 4 综上 的最小值的 直线恒过定点 S 3 2 MN 3 2 0 4 21 1 当时 则 1a ln 1 1 x f x x 0 0f 则 2 1 ln 1 1 x fx x 0 1f 函数的图象在时的切线方程为 yf x 0 x yx 2 函数在上单调递增 在上无解 f x 0 1 10ax 0 1 当时 在上无解满足 0a 10ax 0 1 当时 只需 0a 1010aa 1a 2 1 ln 1 1 1 ax ax x fx ax 函数在上单调递增 在上恒成立 f x 0 1 0fx 0 1 即在上恒成立 1 ln 1 1axxx 0 1 设 1 ln 1 xxx ln 1 1 xxxx 1 1ln 1 1 x x 则在上单调递增 0 1 x 0 x x 0 1 在上的值域为 x 0 1 0 2ln2 1 在上恒成立 则 1 1 ln 1 a xxx 0 1 1 2ln2 1 a 综合 得实数的取值范围为 a 1 1 2ln2 1 3 由 2 知 当时 在上单调递增 1a ln 1 1 x f x x 0 1 于是当时 1 0 3 x ln 1 1 x f x x 134 ln 323 f 当时 1 1 3 x ln 1 1 x f x x 134 ln 323 f 即 31 xf x 34 31 ln 23 x 31 ln 1 1 xx x 33 31 ln 24 x 同理有 31 ln 1 1 yy y 33 31 ln 24 y 31 ln z 1 1 z z 33 31 ln 24 z 三式相加得 31 ln