椭圆几何性质数学集体备课教案

1 备课时间 备课时间 上课时间 上课时间 2 1 2 椭圆的几何性质 一 一 教学目标 教学目标 1 知识与技能 掌握椭圆的简单的几何性质 学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的 一般方法与步骤 2 过程与方法 通过实际活动培养学生发现 观察 归纳的能力 培养分析 抽象 概括的能 力 加强数形结合等数学能力的培养 3 情感 态度价值观 通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍 激发学生研究椭圆的几何性 质的积极性 二 教学重难点 二 教学重难点 1 1 教学重点 教学重点 椭圆的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 2 2 教学难点 教学难点 学生的发现 观察 归纳能力的培养 三 课时计划 三 课时计划 1 1 课时课时 四 教学过程 四 教学过程 学习目标 1 掌握椭圆的几何性质 2 灵活应用椭圆的几何性质 一 一 课堂导入 课堂导入 为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢 其根本原因是椭球形非常美观 这源于椭圆的美 那么椭圆到底美在何处 它又具有哪些特 性 让我们一起来研究一下 椭圆的几何性质 以方程为研究对象 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 板书板书 12 1 2 椭圆的几何性质 二 讲授新课讲授新课 探究问题 观察发现探究问题 观察发现 问题问题 1 1 教师 教师 你能找到椭圆纸板的中心吗 学生学生 1 1 思考并回答 用手中的纸板折纸 把椭圆纸板折叠 使两部分完全重合 两条折痕的交点 即为椭圆纸板的中心 两条折痕为对称轴 得出结论 椭圆具有对称性 学生活动学生活动 1 1 探究一 椭圆的对称性探究一 椭圆的对称性 命制 文亚妮 校对 高二数学 组 审核 严春香 第二章第二章 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 2 两条折痕为对称轴 椭圆是轴对称图形 它关于轴和轴对称 xy 实物演示 椭圆绕中心旋转后与原椭圆重合 椭圆也是中心对称图形 180 这时坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心 实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成 首先让两椭圆重合 旋转后观察 得出 180 结论 问题问题 2 2 关于 x 轴 y 轴 原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢 学生 2 设 P x y 则 P 点关于 x 轴 y 轴和坐标原点的对称点分别是 x y x y x y 若曲线关于 x 轴对称 则 P 点关于 x 轴对称点也在曲线上 即 x y 满足方 程 同理可以推出另外两种情况 问题问题 3 3 那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件曲线才具有这些对称性 学生 3 结论 以 x 代 x 方程不变 则曲线关于 y 轴对称 以 y 代 y 方程不变 则曲线关于 x 轴对称 同时以 x 代 x 以 y 代 y 方程不变 则曲线关于原点对称 老师 非常正确 问题问题 4 4 那么椭圆是否也具有这种对称性 你能根据方程得到结论吗 此时学生能快速判断 得出结论 同时让学生明白 图形对称性的本质是构成图形的点的对称 性 从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论 板书 板书 椭圆的对称性 椭圆关于 x 轴 y 轴和原点对称 问题问题 5 5 教师 教师 椭圆与它的对称轴有交点吗 若有 那么椭圆与它的对称轴有几个交点 你能求出交点的坐 标吗 学生学生 2 2 椭圆与对称轴有交点 有四个交点 教师 教师 很好 我们把椭圆与它的对称轴的这四个交点分别记作 2121 BBAA 请同学们将这四个点标在自己的椭圆纸板上 并抽象成数学图形将椭圆放在平面直角坐标系内研究 求出的坐标 2121 BBAA 学生活动学生活动 2 2 探究二 椭圆的顶点探究二 椭圆的顶点 学生取点 画图 自己动手亲自体验将椭圆抽象成数学图形的过程 并求出的坐标 2121 BBAA 3 教师 教师 其实 我们把椭圆与坐标轴的交点就叫做 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 0 0 2121 bBbBaAaA 椭圆的顶点 其中线段 A1A2 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴 显然长轴长 A1A2 2a 短轴长 B1B2 2b a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和短半轴长短半轴长 此时长轴在 x 轴上 板书 板书 椭圆的顶点 0 0 0 0 2121 bBbBaAaA 探究探究 3 3 椭圆的范围 椭圆的范围 教师 教师 如果图中虚线所代表的就是你所要制作的椭圆纸板所在矩形纸的四个边缘 那么在平面直角 坐标系中 他们所在直线的直线方程是什么 结论 椭圆位于直线所围成的矩形内 byax 板书板书 椭圆的范围 a x a a x a b y b b y b 学生活动学生活动 4 4 问题问题 7 7 请同学们举起手中的椭圆 大家观察它们的形状有何不同 请同学们举起手中的椭圆 大家观察它们的形状有何不同 有的同学手中的椭圆形纸板扁长 有的同学手中的椭圆形纸板稍圆 有的同学手中的椭圆更接近 于圆形 在同学们参与到课堂活动中的时候 在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想与大 家交流 同时 在其他同学们举起手中的椭圆的时候 他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的 形状 进而与自己手中的椭圆进行比较 在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化 引起思考 问题问题 8 8 圆的形状都是相同的 而椭圆却有些比较 圆的形状都是相同的 而椭圆却有些比较 扁扁 有些比较 有些比较 圆圆 用什么样的量来刻画椭圆 用什么样的量来刻画椭圆 扁扁 的程度呢 的程度呢 带着疑问进入探究四 带着疑问进入探究四 学生活动学生活动 5 5 探究四 离心率问题探究四 离心率问题 阅读课本 39 页内容 自习观察 2 1 10 图 当 a 不变时 c 改变时 椭圆的扁与平与什么有关 学生在老师的启发下而提出离心率这一概念 进 4 而得出可以用来表示离心率 1 概念 椭圆焦距与长轴长之比 2 定义式 老师 那么离心率这一概念的引入到底是用来刻划椭圆的哪一个几何性质呢 再一次演示几何 画板 学生发现不变时 c 变大 即离心率变大时 椭圆越扁 c 变小即离心率变小时 椭圆越圆 学生 10 离心率是用来刻划椭圆的扁平程度的一个量 离心率越大 椭圆越扁 离心率越小 椭圆 越圆 1 范围 2 考察椭圆形状与 e 的关系 椭圆变圆 直至成为极限位置圆 此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁 直至成为极限位置线段 此时也可认为圆为椭圆在时的特例 老师 进一步拓展 除了用可以来刻划椭圆的扁平程度 还可以用什么来刻划呢 学生指出 也可以 老师再问 那是否也可以呢 它们分别是怎样来刻划的呢 留给大家课后思考 3 反思构建 性质应用反思构建 性质应用 例例 1 1 求椭圆 9x9x2 2 25y25y2 2 225225 的长轴和短轴的长 离心率 交点和顶点的坐标 例例 2 2 下列各组椭圆中 哪一个更接近于圆 4 4 课堂小结 竞争合作 课堂小结 竞争合作 请你谈谈通过这节课的学习 你学习到了什么 并且请各组成员互相评价 6 6 当堂检测 当堂检测 课本 41 页 2 3 4 1 1612 3649 2 1 2025 3694 1 22 22 22 22 yx yx yx yx 与 与 5 2 2 2 直线与椭圆的综合 1 教学目标 教学目标 1 1 知识与技能 类比点与圆 直线与圆的位置关系 知识与技能 类比点与圆 直线与圆的位置关系 理解点与椭圆 直线与椭圆的位置关系 并会判断其位置关系 2 2 过程与方法 类比学习 过程与方法 类比学习点与椭圆 直线与椭圆的位置关系 3 3 情感态度与价值观 渗透数形结合思想 情感态度与价值观 渗透数形结合思想 二 教学重难点 二 教学重难点 1 1 教学重点 教学重点 点与椭圆 直线与椭圆的位置关系 2 2 教学难点 教学难点 当直线与椭圆联立时 准确运算的能力 三 课时计划 三 课时计划 1 1 课时课时 四 教学过程 四 教学过程 学习目标 判断点与椭圆 直线与椭圆的位置关系 知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 1 判断点P 1 2 与椭圆 y2 1 的位置关系 x2 4 答案 当x 1 时 得y2 故y 而 2 故点在椭圆外 3 4 3 2 3 2 思考 2 类比点与圆的位置关系的判定 你能给出点P x0 y0 与椭圆 1 a b 0 的位置关系 x2 a2 y2 b2 的判定吗 答案 当P在椭圆外时 1 x2 0 a2 y2 0 b2 当P在椭圆上时 1 x2 0 a2 y2 0 b2 当P在椭圆内时 b 0 则点P与椭圆的位置关系如下表所示 x2 a2 y2 b2 位置关系满足条件 命制 文亚妮 校对 高二数学 组 审核 张雪梅 第二章第二章 直线与椭圆的综合 直线与椭圆的综合 1 1 6 P在椭圆外 1 x2 0 a2 y2 0 b2 P在椭圆上 1 x2 0 a2 y2 0 b2 P在椭圆内 b 0 的位置关系 x2 a2 y2 b2 答案 联立Error Error 消去y得关于x的一元二次方程 位置关系解的个数 的取 值 相交两解 0 相切一解 0 相离无解 1 k2 9 1 4 解得k 33 2 33 2 引申探究 若将本例中P点坐标改为 P 1 k 呢 答案 42 3 42 3 解析 依题 1 解得k2 1 9 k2 4 32 9 即k 42 3 42 3 7 反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时 紧扣判定条件 然后转化为解不等式等问题 注意求 解过程与结果的准确性 跟踪训练 1 已知点 3 2 在椭圆 1 a b 0 上 则 x2 a2 y2 b2 A 点 3 2 不在椭圆上 B 点 3 2 不在椭圆上 C 点 3 2 在椭圆上 D 以上都不正确 答案 C 解析 由已知得 1 只有选项 C 符合该条件 9 a2 4 b2 命题角度 2 直线与椭圆位置关系判断 例 2 1 直线y kx k 1 与椭圆 1 的位置关系是 x2 2 y2 3 A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定 答案 A 解析 直线y kx k 1 k x 1 1 过定点 1 1 且该点在椭圆内部 因此必与椭圆相交 2 在平面直角坐标系xOy中 经过点 0 且斜率为k的直线l与椭圆 y2 1 有两个不同的 2 x2 2 交点P和Q 求k的取值范围 解 由已知条件知直线l的方程为y kx 代入椭圆方程得 kx 2 1 整理得 2 x2 22 x2 2kx 1 0 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 1 2 k2 2 8k2 4 4k2 2 0 1 2 k2 解得k 或k 2 2 2 2 即k的取值范围为 2 2 2 2 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程 消元得到一元二次方程 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 跟踪训练 2 1 已知直线l过点 3 1 且椭 8 圆C 1 则直线l与椭圆C的公共点的个数为 x2 25 y2 36 A 1 B 1 或 2 C 2 D 0 2 若直线y kx 2 与椭圆 1 相切 则斜率k的值是 x2 3 y2 2 A B C D 6 3 6 3 6 3 3 3 答案 1 C 2 C 解析 1 因为直线过定点 3 1 且 0 且m 1 只有一个公共点 则该椭圆的长轴长为 6 y2 m2 A 1 B C 2 D 2 55 3 直线y kx 1 与焦点在x轴上的椭圆 1 总有公共点 则m的取值范围是 x2 5 y2 m 命制 文亚妮 校对 高二数学 组 审核 张雪梅 第二章第二章 直线与椭圆的综合 直线与椭圆的综合 2 2 9 备课时间备课时间 上课时间上课时间 2 2 2 直线与椭圆的综合 直线与椭圆的综合 2 2 教学目标 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 会求直线与椭圆相交弦的弦长 会解决椭圆中的最值问题 2 2 过程与方法 过程与方法 联立方程组的思想 利用韦达定理求弦长 掌握点差法 3 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养严谨思维能力 认真计算的能力 二 教学重难点 二 教学重难点 1 1 教学重点 教学重点 求直线与椭圆相交弦的弦长 2 2 教学难点 教学难点 点差法 三 课时计划 三 课时计划 1 1 课时课时 四 教学过程 四 教学过程 学习目标 1 会求直线与椭圆相交弦的弦长 2 椭圆中的最值问题和范围问题 一 直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交 如何求相交弦弦长 答案 有两种方法 一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标 利用两点间距离公式可求 得 另一种方法是利用弦长公式可求得 梳理 弦长公式 1 AB x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 21 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 AB y1 y2 1 1 k2 1 1 k2 y1 y2 2 4y1y2 直线与椭圆的交点A x1 y1 B x2 y2 k为直线的斜率 其中 x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 可通过由直线方程与椭圆方程联立 消去y或x后得到关 于x或y的一元二次方程得到 二 弦长及中点问题 例 1 已知椭圆 1 和点P 4 2 直线l经过点P且与椭圆交于A B两点 x2 36 y2 9 1 当直线l的斜率为 时 求线段AB的长度 1 2 2 当P点恰好为线段AB的中点时 求l的方程 解 1 由已知可得直线l的方程为y 2 x 4 1 2 即y x 由Error Error 消去y可得x2 18 0 若设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 0 x1x2 18 1 2 10 于是 AB x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 1 4 x1 x2 2 5 2 x1 x2 2 4x1x2 6 3 所以线段AB的长度为 3 5 221010 2 方法一 当直线l的斜率不存在时 不合题意 所以直线l的斜率存在 设l的斜率为k 则其方程为y 2 k x 4 联立Error Error 消去y得 1 4k2 x2 32k2 16k x 64k2 64k 20 0 若设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 32k2 16k 1 4k2 由于AB的中点恰好为P 4 2 所以 4 解得k 且满足 0 x1 x2 2 16k2 8k 1 4k2 1 2 这时直线的方程为y 2 x 4 1 2 即x 2y 8 0 方法二 设A x1 y1 B x2 y2 则有Error Error 两式相减得 0 x2 2 x2 1 36 y2 2 y2 1 9 整理得kAB y2 y1 x2 x1 9 x2 x1 36 y2 y1 由于P 4 2 是AB的中点 x1 x2 8 y1 y2 4 于是kAB 9 8 36 4 1 2 于是直线AB的方程为y 2 x 4 1 2 即x 2y 8 0 反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程 利用根与系数 的关系或中点坐标公式解决 涉及弦的中点 还可使用点差法 设出弦的两端点坐标 代入椭圆方 程 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 跟踪训练 1 已知椭圆ax2 by2 1 a 0 b 0 且 11 a b 与直线x y 1 0 相交于A B两点 C是AB的中点 若 AB 2 OC的斜率为 求椭 2 2 2 圆的方程 解 方法一 设A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程并作差 得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 A B为直线x y 1 0 上的点 1 y1 y2 x1 x2 由已知得 kOC 代入 式可得b a y1 y2 x1 x2 2 22 直线x y 1 0 的斜率k 1 又 AB x2 x1 x2 x1 2 1 k222 x2 x1 2 联立ax2 by2 1 与x y 1 0 可得 a b x2 2bx b 1 0 且由已知得x1 x2是方程 a b x2 2bx b 1 0 的两根 x1 x2 x1x2 2b a b b 1 a b 4 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2 2 4 2b a b b 1 a b 将b a代入 式 解得a b 2 1 3 2 3 所求椭圆的方程是 1 x2 3 2y2 3 方法二 由Error Error 得 a b x2 2bx b 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 2b a b b 1 a b 且直线AB的斜率k 1 AB k2 1 x1 x2 2 k2 1 x1 x2 2 4x1x2 2 4b2 4 a b b 1 a b AB 2 2 2 2 4b2 4 a b b 1 a b2 1 a b ab a b 12 设C x y 则x y 1 x x1 x2 2 b a b a a b OC的斜率为 2 2 将其代入 式得 a b y x a b 2 2 1 3 2 3 所求椭圆的方程为 1 x2 3 2y2 3 类型三 椭圆中的最值 或范围 问题 例 4 已知椭圆 4x2 y2 1 及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解 1 由Error Error 得 5x2 2mx m2 1 0 因为直线与椭圆有公共点 所以 4m2 20 m2 1 0 解得 m 5 2 5 2 2 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 由 1 知 5x2 2mx m2 1 0 所以x1 x2 x1x2 m2 1 2m 5 1 5 所以 AB x1 x2 2 y1 y2 2 2 x1 x2 22 x1 x2 2 4x1x2 2 4m2 25 4 5 m2 1 2 510 8m2 所以当m 0 时 AB 最大 此时直线方程为y x 引申探究 在例 4 中 设直线与椭圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 求 AOB面积的最大值及 AOB面积最 大时的直线方程 解 可求得O到AB的距离d m 2 又 AB 2 510 8m2 S AOB AB d 1 2 1 2 2 510 8m2 m 2 13 2 5 5 4 m2 m2 2 5 5 4 m2 m2 2 1 4 当且仅当 m2 m2时 上式取 5 4 此时m 10 4 5 2 5 2 所求直线方程为x y 0 10 4 反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多 而且可与很多知识联系在一起出题 例如不等式 三 角函数 平面向量以及函数的最值问题等 解决这类问题需要正确地应用转化思想 函数与方程思想 和数形结合思想 其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式 这其中要注 意利用根的判别式来确定参数的限制条件 跟踪训练 4 已知椭圆C x2 2y2 4 1 求椭圆C的离心率 2 设O为原点 若点A在直线y 2 上 点B在椭圆C上 且OA OB 求 AB 的最小值 解 1 椭圆C x2 2y2 4 化为标准方程为 1 x2 4 y2 2 a 2 b c 22 椭圆C的离心率e c a 2 2 2 设A t 2 B x0 y0 x0 0 OA OB 0 OA OB tx0 2y0 0 t 2y0 x0 又 x 2y 4 0 x 4 2 02 02 0 AB 2 x0 t 2 y0 2 2 4 4 4 8 x2 0 2 8 x2 0 当且仅当 即x 4 时等号成立 x2 0 2 8 x2 02 0 AB 的最小值为 2 2 三 当堂检测 1 过点P 1 1 的直线交椭圆 1 于A B两点 若线段AB的中点恰为点P 则AB所在