大白菜数学--北京市东城区2012年高三二模试卷(理数)

1 1 11 北京市东城区北京市东城区 2011 20122011 2012 学年度第二学期高三综合练习 二 学年度第二学期高三综合练习 二 数学数学 理科 理科 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考试时长 120 分 钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 本大题共一 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 下列命题中 真命题是 A x R 2 10 x B 0 x R 2 00 1xx C 2 1 0 4 xxx R D 2 000 220 xxx R 2 将容量为n的样本中的数据分成6组 若第一组至第六组数据的频率之比为2 3 4 6 4 1 且前 三组数据的频数之和等于27 则n的值为 A 70 B 60 C 50 D 40 3 4 1 2 x x 的展开式中的常数项为 A 24 B 6 C 6 D 24 4 若一个三棱柱的底面是正三角形 其正 主 视图如图所示 则它的体积为 A 3 B 2 C 2 3 D 4 5 若向量a b满足1 a 2 b 且 aa b 则a与b的夹角为 A 2 B 2 3 C 3 4 D 5 6 6 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是 A 且m B m n 且n C 且m D m n 且n 2 7 若m是2和8的等比中项 则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率为 A 3 2 B 5 C 3 2 或 5 2 D 3 2 或5 8 定义 00 y xy y x F x 已知数列 n a满足 n F nF an 2 2 n N 若对任意正整 数n 都有 kn aa k N成立 则 k a的值为 A 1 2 B 2 C 8 9 D 9 8 第第 卷卷 共 110 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 设a R 且 2 i ia 为正实数 则a的值为 10 若圆C的参数方程为 3cos1 3sin x y 为参数 则圆C的圆心坐标为 圆C与直线 30 xy 的交点个数为 11 在平面直角坐标系xOy中 将点A 3 1 绕原点O逆时针旋转 90到点B 那么点B的坐标为 若直线OB的倾斜角为 则sin2 的值为 12 如图 直线PC与AO相切于点C 割线PAB经过圆心O 弦CD AB于点E 4PC 8PB 则CE 13 已知函数 sin1 1 xx f x x x R的最大值为M 最小值为m 则Mm 的值为 14 已知点 A a b与点 1 0 B在直线34100 xy 的两侧 给出下列说法 34100ab 当0a 时 ab 有最小值 无最大值 22 2ab 当0a 且1a 0b 时 1 b a 的取值范围为 53 24 其中 所有正确说法的序号是 3 B A M D N C 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 sin f xAx 其中 Rx 0A 0 22 的部分图象如图所示 求函数 f x的解析式 已知在函数 f x的图象上的三点 M N P的横坐标分别为1 1 5 求sinMNP 的值 16 本小题共 13 分 某公园设有自行车租车点 租车的收费标准是每小时 2 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 甲 乙两人各租一辆自行车 若甲 乙不超过一小时还车的概率分别为 2 1 4 1 一小时以上且不超过两小时还 车的概率分别为 4 1 2 1 两人租车时间都不会超过三小时 求甲 乙两人所付租车费用相同的概率 设甲 乙两人所付的租车费用之和为随机变量 求 的分布列与数学期望 E 17 本小题共 13 分 如图 矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直 MB NC MNMB 且MCCB 2BC 4MB 3DN 求证 AB平面DNC 求二面角DBCN 的余弦值 18 本小题共 14 分 已知抛物线C 2 4xy M为直线 l1y 上任意一点 过点M作抛物线C的两条切线 MA MB 切点分别为A B 当M的坐标为 0 1 时 求过 M A B三点 的圆的方程 证明 以AB为直径的圆恒过点M y x 2 1 0 1 1 123456 4 19 本小题共 13 分 已知函数 11 lnf xaxx ax 1a 试讨论 f x在区间 0 1 上的单调性 当 3 a 时 曲线 yf x 上总存在相异两点 11 P xf x 22 Q xf x 使得曲线 yf x 在点P Q处的切线互相平行 求证 12 6 5 xx 20 本小题共 14 分 对于数列 n a 1 2 nm 令 k b为 1 a 2 a k a中的最大值 称数列 n b为 n a的 创新数列 例如数列2 1 3 7 5的创新数列为2 2 3 7 7 定义数列 n c 123 m c c cc 是自然数1 2 3 3 m m 的一个排列 当5m 时 写出创新数列为3 4 4 5 5的所有数列 n c 是否存在数列 n c 使它的创新数列为等差数列 若存在 求出所有的数列 n c 若不存在 请 说明理由 5 北京市东城区北京市东城区 2011 20122011 2012 学年度高三综合练习 二 学年度高三综合练习 二 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 理科 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 1 10 1 0 2 11 3 1 3 2 12 12 5 13 2 14 注 两个空的填空题第一个空填对得 3 分 第二个空填对得 2 分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 由图可知 1A 最小正周期4 28T 由 2 8T 得 4 3 分 又 1 sin 1 4 f 且 22 所以 42 即 4 5 分 所以 sin sin 1 444 f xxx 6 分 因为 1 0 1 1 ff 5 sin 5 1 1 4 f 所以 1 0 1 1 5 1 MNP 7 分 所以5 20 37MNPNMP 由余弦定理得 520373 cos 52 520 MNP 11 分 因为 0 MNP 所以 4 sin 5 MNP 13 分 其它解法酌情给分 16 共 13 分 解 甲 乙两人所付费用相同即为2 4 6元 2 分 都付2元的概率为 1 111 428 P y x 2 1 0 1 1 123456 6 x y z A D B M C N 都付4元的概率为 2 111 248 P 都付6元的概率为 3 111 4416 P 故所付费用相同的概率为 123 1115 881616 PPPP 6 分 依题意 的可能取值为4 6 8 10 12 8 分 1 4 8 P 11115 6 442216 P 1111115 8 44242416 P 11113 10 442416 P 111 12 4416 P 故 的分布列为 4681012 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 11 分 所求数学期望 1553115 4681012 8161616162 E 13 分 17 共 13 分 证明 因为MB NC MB 平面DNC NC 平面DNC 所以MB 平面DNC 2 分 因为AMND为矩形 所以MA DN 又MA 平面DNC DN 平面DNC 所以MA 平面DNC 4 分 又MAMBM 且MA MB 平面AMB 所以平面AMB 平面DNC 5 分 又AB 平面AMB 所以 AB平面DNC 6 分 解 由已知平面AMND 平面MBCN 且平面AMND 平面MBCNMN DNMN 所以DN 平面MBCN 又MNNC 故以点N为坐标原点 建立空间直角坐标系 Nxyz 7 分 由已知得2 3 30MCMCN 易得 3MN 3NC 7 则 0 0 3 D 0 3 0 C 3 4 0 B 0 3 3 DC 3 1 0 CB 8 分 设平面DBC的法向量 1 x y z n 则 1 1 0 0 DC CB n n 即 330 30 yz xy 令1x 则3y 3z 所以 1 1 3 3 n 10 分 又 2 n 0 0 1 是平面NBC的一个法向量 所以 12 2 1 12 321 cos 77 n n n n n n 故所求二面角DBCN 的余弦值为 21 7 13 分 18 共 14 分 解 当M的坐标为 0 1 时 设过M点的切线方程为1ykx 由 2 4 1 xy ykx 消y得 2 440 xkx 1 令 2 4 4 40k 解得1k 代入方程 1 解得 2 1 2 1 AB 3 分 设圆心P的坐标为 0 a 由PMPB 得12a 解得1a 故过 M A B三点的圆的方程为 22 1 4xy 5 分 证明 设 0 1 M x 由已知得 2 4 x y 1 2 yx 设切点分别为 2 1 1 4 x A x 2 2 2 4 x B x 所以 1 2 MA x k 2 2 MB x k 切线MA 的方程为 2 11 1 42 xx yxx 即 2 11 11 24 yx xx 8 切线MB的方程为 2 22 2 42 xx yxx 即 2 22 11 24 yx xx 7 分 又因为切线MA过点 0 1 M x 所以得 2 011 11 1 24 x xx 又因为切线MB也过点 0 1 M x 所以得 2 022 11 1 24 x xx 所以 1 x 2 x是方程 2 0 11 1 24 x xx 的两实根 由韦达定理得 120 2 xxx 12 4x x 9 分 因为 2 1 10 1 4 x MAxx 2 2 20 1 4 x MBxx 所以 22 12 1020 1 1 44 xx MA MBxxxx 22 222 12 12012012 1 1 164 x x x xx xxxxx 22 22 12 1201201212 1 21 164 x x x xx xxxxxx x 将 120 2 xxx 12 4x x 代入 得0MA MB 13 分 所以以AB为直径的圆恒过点M 14 分 19 共 13 分 解 由已知0 x 2 222 111 1 1 1 axaxxa x aaa fx xxxx 2 分 由 0fx 得 1 1 x a 2 xa 4 分 因为1a 所以 1 01 a 且 1 a a 所以在区间 1 0 a 上 0fx 在区间 1 1 a 上 0fx 故 f x在 1 0 a 上单调递减 在 1 1 a 上单调递增 6 分 证明 由题意可得 当 3 a 时 12 fxfx 12 0 xx 且 12 xx 即 22 1122 11 11 11 aa aa xxxx 9 所以 12 1212 111xx a axxx x 3 a 8 分 因为 12 0 xx 且 12 xx 所以 2 12 12 2 xx x x 恒成立 所以 2 1212 14 x xxx 又 12 0 xx 所以 12 12 1xx a ax x 12 4 xx 整理得 12 4 1 xx a a 11 分 令 g a 4 1 a a 因为 3 a 所以 g a在 3 上单调递减 所以 g a 4 1 a a 在 3 上的最大值为 6 3 5 g 所以 12 6 5 xx 13 分 20 共 14 分 解 由题意 创新数列为3 4 4 5 5的所有数列 n c有两个 即数列3 4 1 5 2 数列3 4 2 5 1 4 分 存在数列 n c 使它的创新数列为等差数列 数列 n c的创新数列为 n e 1 2 3 nm 因为 m e是 12 m c cc 中的最大值 所以 m em 由题意知 k e为 12 k c cc 中最大值 1k e 为 121 kk c cc c 中的最大值 所以 k e 1k e 且 1 2 k em 若 n e为等差数列 设其公差为d 则 1kk dee 0 且d N 当0d 时 n e