三角形的各个心总结与归纳

三角形的心三角形的心 三角形只有五种心 重心 三中线的交点 三角形的三条中线交于一点 这点到顶点的距离是它到对边中 点距离的 2 倍 垂心 三高的交点 内心 三内角平分线的交点 是三角形的内切圆的圆心的简称 外心 三中垂线的交点 旁心 一条内角平分线与其它二外角平分线的交点 共有三个 是三角形的旁切圆 的圆心的简称 当且仅当三角形是正三角形的时候 四心合一心 称做正三角形的中心 1 三角形重心三角形重心 重心是三角形三边中线的交点 三线交一可用 燕尾定理证明 十分简单 证明过 程又是塞瓦定理的特例 已知 ABC 中 D 为 BC 中点 E 为 AC 中点 AD 与 BE 交于 O CO 延长 线交 AB 于 F 求证 F 为 AB 中点 证明 根据燕尾定理 S AOB S AOC 又 S AOB S BOC S AOC S BOC 再应用燕尾定理即得 AF BF 命题得证 重心的几条性质 1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 1 2 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等 3 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小 4 在平面直角坐标系中 重心的坐标是顶点坐标的算术平均 即其坐标为 X1 X2 X3 3 Y1 Y2 Y3 3 空间直角坐标系 横坐标 X1 X2 X3 3 纵坐标 Y1 Y2 Y3 3 竖坐标 z1 z2 z3 3 5 三角形内到三边距离之积最大的点 重 心 三条中线定相交 交点位置真奇巧 交点命名为 重心 重心性质要明了 重心分割中线段 数段之比听分晓 长短之比二比一 灵活运用掌握好 2 三三角角形形垂垂心心的的性性质质 设 ABC 的三条高为 AD BE CF 其中 D E F 为垂足 垂心为 H 角 A B C 的对边分别为 a b c p a b c 2 1 锐角三角形 的垂心在三角形内 直角三角形 的垂心在直角顶点上 钝角三角 形的垂心在三角形外 2 三角形的垂心是它垂足三角形的内心 或者说 三角形的内心是它旁心三角形 的垂心 3 垂心 H 关于三边的对称点 均在 ABC 的外接圆上 4 ABC 中 有六组四点共圆 有三组 每组四个 相似的直角三角形 且 AH HD BH HE CH HF 5 H A B C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 并称这样的 四点为一 垂心组 6 ABC ABH BCH ACH 的外接圆是等圆 7 在非直角三角形中 过 H 的直线交 AB AC 所在直线分别于 P Q 则 A B AP tanB AC AQ tanC tanA tanB tanC 8 三角形任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的2 倍 9 设 O H 分别为 ABC 的外心和垂心 则 BAO HAC ABH OBC BCO HCA 10 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2 倍 11 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 锐角三角形的内接三角形 顶点 在原三角形的边上 中 以垂足三角形的周长最短 12 西姆松 Simson 定理 西姆松线 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接 圆上 3 三角形内心三角形内心 定定义义 在三角形中 三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切 圆的圆心就叫做 三三角角形形的的内内心心 三三角角形形内内心心的的性性质质 设 ABC 的内切圆为 I r 角 A B C 的对边分别为 a b c p a b c 2 1 三角形的三条 角平分线交于一点 该点即为三角形的内心 2 三角形的内心到三边的距离相等 都等于内切圆半径r 3 r S p 4 在 Rt ABC 中 C 90 r a b c 2 5 BIC 90 A 2 6 点 O 是平面 ABC 上任意一点 点 I 是 ABC 内心的充要条件是 a 向量 OA b 向量 OB c 向量 OC 向量 0 7 点 O 是平面 ABC 上任意一点 点 I 是 ABC 内心的充要条件是 向量 OI a 向量 OA b 向量 OB c 向量 OC a b c 8 ABC 中 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 那么 ABC 内心 I 的坐标 是 ax1 a b c bx2 a b c cx3 a b c ay1 a b c by2 a b c cy3 a b c 9 欧拉定理 ABC 中 R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径 O 和 I 分别 为其外心和内心 则 OI 2 R 2 2Rr 10 内角平分线分三边长度关系 ABC 中 0 为内心 A B C 的内角平分线分别交 BC AC AB 于 Q P R 则 BQ QA a b CP PA a c BR RC c b 三角形外心三角形外心 定定义义 三角形外接圆的圆心叫做 三三角角形形的的外外心心 三三角角形形外外心心的的性性质质 设 ABC 的外接圆为 G R 角 A B C 的对边分别为 a b c p a b c 2 1 三角形三条边的 垂直平分线 的交于一点 该点即为三角形外接圆的圆心 2 锐角三角形的外心在三角形内 钝角三角形的外心在三角形外 直角三角形的 外心在斜边上 与斜边中点重合 3 GA GB GC R 3 BGC 2 A 或 BGC 2 180 A 4 R abc 4S ABC 5 点 G 是平面 ABC 上一点 那么点 G 是 ABC 外心的充要条件是 向量 GA 向量 GB 向量 AB 向量 GB 向量 GC 向量 BC 向量 GC 向量 G A 向量 CA 向量 0 6 点 G 是平面 ABC 上一点 点 P 是平面 ABC 上任意一点 那么点 G 是 AB C 外心的充要条件是 向量 PG tanB tanC 向量 PA tanC tanA 向量 PB tanA tanB 向量 PC 2 t anA tanB tanC 7 点 G 是平面 ABC 上一点 点 P 是平面 ABC 上任意一点 那么点 G 是 AB C 外心的充要条件是 向量 PG cosA 2sinBsinC 向量 PA cosB 2sinCsin