微分选择填空题题库

1 方程 0M x y dxN x y dy 有只含x的积分因子的充要条件是 有只含y的积分因子的充要条件是 称为黎卡提方程 它有积分因子 称为伯努利方程 它有积分因子 若12 n X tXtXt 为n阶齐线性方程的n个解 则它们线性 无关的充要条件是 形如 的方程称为欧拉方程 若 t 和 t 都是 xA t x 的基解矩阵 则 t 和 t 具有的 关系是 当方程的特征根为两个共轭虚根是 则当其实部为 时 零解是稳定的 对应的奇点称为 MN yx x N MN yx y M 2 dy p x yQ x yR x dx y yz n dy p x yQ x y dx 1 np x dx n u x yye 12 0 n w x t x tx t 1 11 1 0 nn n nn nn d yddy xaaa y dxdxdx tt C 零 稳定中心 1 形如 的方程 称为变量分离方程 这里 yxf 分别为 x y 的连续函数 2 形如 的方程 称为伯努利方程 这里 xxQxP为 的连续函数 n 可化为线性方程 是常数 引入变量变换 1 0 3 如果存在常数 使得不等式 0 L 对于所有 称为利普希兹常数 都成立 LRyxyx 21函数 yxf 称为在 R 上关于y满足利普希兹条件 4 形如 的方程 称为欧拉方程 这里 是常数 21 aa 5 设 是的基解矩阵 是 tAxxt tfxtAx 的某一解 则它的任一解 可表为 t 1 yxf dx dy 2 n yxQyxP dx dy z n y 1 3 21 yxfyxf 21 yyL 4 0 1 1 1 1 1 ya dx dy xa dx yd xa dx yd x nn n n n n n n 5 ttt 1 称为变量分离方程 它有积分因子 当 时 方程 0 dyyxNdxyxM 称为恰 当方程 或称全微分方程 函数 yxf 称为在矩形域 上关于y满足利普希兹条件 如果 对毕卡逼近序列 1 xx kk 解线性方程的常用方法有 若 2 1 nitXi 为齐线性方程的n个线性无关解 则这一齐线 性方程的所有解可表为 方程组 xtAx 若 t 和 t 都是 xtAx 的基解矩阵 则 t 和 t 具有关系 当方程组的特征根为两个共轭虚根时 则当其实部 时 零解是稳定的 对应的奇点称为 当方程组的特征方程有两个相异的特征根时 则当 时 零解是渐近稳定的 对应的奇点称为 当 时 零解是不稳定的 对应的奇点称为 若 t 是 xtAx 的基解矩阵 则 xtAx tf 满足 0 tx 的解 形如 xgxf dx dy 的方程 1 yg u x N y M 存在常数 0 对于所有 Ryxyx 2 211 都有使得不等式 212 211 yyLyxfyxf 成立 k k h k ML 1 常数变异法 待定系数法 幂级数解法 拉普拉斯变换法 1 txctx i n i i 其中 n ccc 2 1 是任意常数 n个线性无关的解 21 txtxtx n 称之为 xtAx 的一个基 本解组 t t c bta c为非奇异常数矩阵 等于零稳定中心 1 xQyxP dx dy 称为一阶线性方程 它有积分因子 dxxP e 其 通解为 2 函数 yxf 称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件 如果 3 若 x 为毕卡逼近序列 x n 的极限 则有 xx n 4 方程 22 yx dx dy 定义在矩形域 22 22 yxR 上 则经过点 0 0 的解的存在区间是 5 函数组 ttt eee 2 的伏朗斯基行列式为 6 若 2 1 nitxi 为齐线性方程的一个基本解组 tx 为非齐线性 方程的一个特解 则非齐线性方程的所有解可表为 7 若 t 是 xtAx 的基解矩阵 则向量函数 t 是 tfxtAx 的满足初始条件 0 0 t 的解 向量函数 t 是 tfxtAx 的满足初始条件 0 t 的解 8 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量 n vvv 21 它们对应的特 征值分别为 n 21 那么矩阵 t 是常系数线性方程 组 Axx 的一个基解矩阵 9 满足 的点 yx 称为驻定方程组 1 cdxexQey dxxPdxxP 2 yxf 在R上连续 存在0 L 使 2121 yyLyxfyxf 对于任意 Ryxyx 21 3 1 1 n n h n ML 4 4 1 4 1 x 5 ttt ttt ttt eee eee eee 2 2 2 4 2 6 1 txtxctx i n i i 7 dssfst t t 1 0 dssfsttt t t 0 1 0 1 8 n ttt veveve n 21 21 9 0 0 yxYyxX 1 当 时 方程 M x y dx N x y dy 0 称为恰当 方程 或称全 微分方程 2 称为齐次方程 3 求 dx dy f x y 满足 00 yx 的解等价于求积分方程 的连续解 4 若函数 f x y 在区域 G 内连续 且关于 y 满足利普希兹条件 则方程 yxf dx dy 的解 y 00 yxx 作为 00 yxx 的函数在它的存在 范围内是 5 若 321 txtxtx 为 n 阶齐线性方程的 n 个解 则它们线性无关 的充要条件是 6 方程组 xtAx 的 称之为 xtAx 的一个基 本解组 7 若 t 是常系数线性方程组 Axx 的基解矩阵 则 expAt 8 满足 的点 y x 称为方程组的奇点 9 当方程组的特征根为两个共轭虚根时 则当其实部 时 零解是稳定 的 对应的奇点称为 1 x yxN y yxM 2 x y f dx dy 3 y 0 y dxyxf x x 0 4 连续的 5 w 0 21 txtxtx n 6 n 个线性无关解 7 0 1 t 8 X x y 0 Y x y 0 9 为零 稳定中心 1 1 n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 个 个 A A n B B n 1 1 C C n 1 1 D D n 2 2 2 2 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条 条 件 件 A A 充分 充分 B B 必要 必要 C C 充分必要 充分必要 D D 必要非充分 必要非充分 3 3 方程方程 2 1 d d y x y 过点过点 1 2 共有 共有 个解 个解 A A 一 一 B B 无数 无数 C C 两 两 D D 三 三 4 4 方程 方程 xxy x y d d 奇解 奇解 A A 有一个 有一个 B B 有两个 有两个 C C 无 无 D D 有无数个 有无数个 5 5 方程 方程 y x y d d 的奇解是 的奇解是 A A xy B B 1 y C C 1 y D D 0 y 1 A1 A 2 B2 B 3 B3 B 4 C4 C 5 D5 D 1 1 称为一阶线性方程 它有积分因子 其通解为 2 2 函数 yxf 称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件 如果 3 3 若 21 txtxtx n 为n阶齐线性方程的n个解 则它们线性无关 的充要条件是 4 4 形如 的方程称为欧拉方 程 5 5 若 t 和 t 都是 xtAx 的基解矩阵 则 t 和 t 具有的关系 6 6 若向量函数 ytg 在域R上 则方程组 0000 yyttytg dt dy 的解 存在且惟一 7 7 当方程组的特征根为两个共轭虚根时 则当其实部 零解是稳定的 对应的奇点称为 1 1 形如 xQyxP dx dy 的方程 dxxP e cdxexQey dxxPdxxP 2 2 存在常数0 L 使得 Ryxyx 2211 有 2121 yyLyxfyxf 3 3 0 21 txtxtxw n 4 4 n n n dx yd x 1 1 1 1 n n n dx yd xa0 1 ya dx dy xa nn 5 5 Ctt C 为非奇异方程 6 6 连续且关于 y 满足利普希兹条件 7 7 等于零 稳定中心 1 方程 x xy x y esin d d 的任一解的最大存在区间必定是 2 方程 04 yy 的基本解组是 3 向量函数组 21 xxx n YYY 在区间 I 上线性相关的 条件是在区间 I 上它们的朗斯基行列式 0 xW 4 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件 5 n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空 间 6 向量函数组 21 xxx n YYY 在其定义区间I上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式 0 xW Ix 1 2 xx2cos 2sin 3 必要 4 充分 5 n 6 必要 1 x y g dx dy 称为齐次方程 2 xRyxQyxP dx dy 称为黎卡提方 程 2 如果 yxf 在R上连续且关于y满足利普希兹条件 则方程 yxf dx dy 存在唯一的解 xy 定义于区间 hxx 0 上 连续且 满足初始条件 00 yx 其中 min M b ah max yxfM Ryx 3 若 txi i 1 2 n 是齐线性方程的n个解 tw 为其伏朗 斯基行列式 则 tw 满足一阶线性方程 0 1 twtatw 4 对逼卡逼近序列 k k kk xx k ML xx 0 1 1 5 若 t 和 t 都是 xtAx 的基解矩阵 则 t 和 t 具有关系 Ctt 6 方程 0 dyyxNdxyxM 有只含x的积分因子的充要条件是 x N x N y M 有只含y的积分因子的充要条件是 y M x N y M 7 方程2 1 2 y dx dy 经过 0 0 点的解在存在区间是 1 称为一阶线性方程 它有积分因子 其通解为 2 称为黎卡提方程 若 它有一个特解 y x 则经过变换 可化为伯努利方程 3 若 x 为毕卡逼近序列 x n 的极限 则有 x x n 4 若 txi i 1 2 n 是齐线形方程的 n 个解 w t 为其伏朗 斯基行列式 则 w t 满足一阶线性方程 5 若 txi i 1 2 n 是齐线形方程的一个基本解组 x t 为 非齐线形方程的一个特解 则非齐线形方程的所有解可表为 6 如果 A t 是 n n 矩阵 f t 是 n 维列向量 则它们在 a t b 上满足 时 方程组 x A t x f t 满足初始条件 x t0 的解在 a t b 上存在唯一 7 若 t 和 t 都是 x A t x 的 基解矩阵 则 t 与 t 具有关系 8 若 t 是常系数线性方程组x Ax 的 基解矩阵 则该方程满 足初始条件0 t 的解 t 9 满足 的点 x y 称为方程组的奇点 10 当方程组的特征根为两个共轭虚根时 则当其实部 时 零解是稳定的 对应的奇点称为 1 dy p x yQ x dx p x dx e p x dxp x dx eQ x edxc 2 2 dy p x yQ x yR x dx y yz 3 1 1 nn ML h n 4 1 0wa t w 5 1 n i i i x tc x tx t 6 A t f t 连续 7 det0tt cc 8 0 ttt 9 dx X x y dt dy Y x y dt 中 X x y 0 Y x y 0 10 为 0 稳定中心 1 若y y1 x y y2 x 是一阶线性非齐次方程的两个不同解 则用 这两个解可把其通解表示为 2 方程 22 d d yx x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3 yxfy 连续是保证方程 d d yxf x y 初值唯一的 条件 一条积分曲线 4 线性齐次微分方程组 YA Y d d x x 的一个基本解组的个数不能 多于 个 其中R x n RY 5 二阶线性齐次微分方程的两个解 1 xy 2 xy 成为其基 本解组的充要条件是 6 方程 yx x y cossin d d 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7 方程 yx x y tan d d 2 的所有常数解是 8 方程 0dcosdsin yxyxyx 所有常数解是 9 线性齐次微分方程组的解组 21 xxx n YYY 为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 0 xW 10 n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个 1 1211 xyxyxyC 2 xoy平面 3 充分 4 n 5 线性无关 6 xoy平面 7 ky 2 1 0 k 8 2 1 0 kky 或 2 1 0 2 kkx 9 充分必要 10 n 1 方程 M x y dx N x y dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件 是 xN x N y M 有只含 y 的积分因子的充要条件是 yM x N y M 2 求dx dy f x y 满足 00 yx 的解等价于求积分方程 y y0 x x dxyxf 0 3 方程 22 yx dx dy 定义在矩形域 R 2 22 2 yx 上 则经过 点 0 0 的即位存在区间是 4 1 4 1 x 4 若 Xi t I 1 2 n 是齐线性方程的 n 个解 W t 为伏朗斯 基行列式 则 W t 满足一阶线性方程 W t a1 t W t 0 5 若 X1 t X2 t Xn t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解 则它 们线性无关的充要条件是 W X1 t X2 t Xn t 0 6 在用皮卡逐步逼近法求方程组 X A t X f x X t0 的近 似解时 则 dssfssAt t t kk 0 1 1 微分方程 0 22 xy dx dy dx dy n 的阶数是 2 若 yxM 和 yxN 在矩形区域R内是 yx 的连续函数 且有连续的 一阶偏导数 则方程 0 dyyxNdxyxM 有只与y有关的积分因子 的充要条件是 3 称为齐次方程 4 如果 yxf 则 yxf dx dy 存在唯一的解 xy 定义于区间 hxx 0 上 连续且满 足初始条件 00 xy 其中 h 5 对于任意的 1 yx 2 yx R R为某一矩形区域 若存在常数 0 NN 使 则称 yxf 在R上关于y满足 利普希兹条件 6 方程 22 yx dx dy 定义在矩形区域R 22 22 yx 上 则经过点 0 0 的解的存在区间是 7 若 2 1 nitxi 是齐次线性方程的n个解 tw 为其伏朗斯基行列 式 则 tw 满足一阶线性方程 8 若 2 1 nitxi 为齐次线性方程的一个基本解组 tx 为非齐 次线性方程的一个特解 则非齐次线性方程的所有解可表为 9 若 x 为毕卡逼近序列 x n 的极限 则有 xx n 10 称为黎卡提方 程 若它有一个特解 xy 则经过变换 可化为伯努利方程 11 1 2 1 y Mx N y M 3 形如 x y g dx dy 的方程 4 在R上连续且关于y满足利普希兹条件 min m b ah 5 2121 yyNyxfyxf 6 4 1 4 1 x 7 0 1 wtaw 8 xxcx n i ii 1 9 1 1 n n h n ML 10 形如 2 xryxqyxp dx dy 的方程 yzy 1 辨别题 指出下列方程的阶数 是否是线性方程 12 1 22 d d xy x y 2 yxx x y sin d d 3 0 d d d d 2 d d 2 2 3 3 4 4 x y x y x y 4 txxxx 5 2 2 3 d d 1 d d s r s r 6 0dd 22 xyyx 2 填空题 8 1 方程 yx x y tan d d 的所有常数解是 2 若y y1 x y y2 x 是一阶线性非齐次方程的两个不同解 则用这两个解可把其通解表示为 3 若方程M x y dx N x y dy 0 是全微分方程 同它 的通积分是 4 设M x0 y0 是可微曲线y y x 上的任意一点 过该点的 切线在x轴和y轴上的截距分别是 3 单选题 14 1 方程 0d ln dln yyxxyy 是 A 可分离变量方程 B 线性方程 C 全微分方程 D 贝努利方程 2 方程 0 d d yy x y 过点 0 0 有 A 一个解 B 两个解 C 无数个解 D 三个解 3 方程x y2 1 dx y x2 1 dy 0 的所有常数解是 A y 1 x 1 B y 1 C x 1 D y 1 x 1 4 若函数y x 满足方程 0ln 2 xyyyx 且在x 1 时 y 1 则在x e 时y A e 1 B 2 1 C 2 D e 5 n阶线性齐次方程的所有解构成一个 线性空间 A n维 B 1 n维 C 1 n维 D 2 n维 6 方程 2 d d yx x y 奇解 A 有三个 B 无 C 有一个 D 有 两个 7 方程 3 2 3 d d y x y 过点 0 0 A 有无数个解 B 只有三个解 C 只有解 0 y D 只有两个解 1 辨别题 1 一阶 非线性 2 一阶 非线性 3 四阶 线性 4 三阶 非线性 5 二阶 非线性 6 一阶 非线性 2 填空题 1 2 1 0 kky 2 1211 xyxyxyC 3 y y x x yyxNxyxM 00 0d d 0 4 yxy y y x 00 0 0 3 单选题 1 B 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 A 1 形如 称为变量可分离方程 它有积分因子 2 当 时 方程 0 dyyxNdxyxM 称为恰当方 程 或全微分方程 且它只含x的积分因子的充要条件是 有只含y的积分因子的充要条件是 3 称为伯努利方程 它有积分因子 4 方程 222 111 xcxbxa xcxbxa dx dy 当 0 11 11 dc ba 时 通过 可 化为奇次方程 当 0 11 11 dc ba 时 令 u 化为变量 分离方程 5 称为黎卡提方程 若它有一个特解 xy 则经过变换 可化为伯努利方程 6 函数 yxf 称为在矩形域 R 上关于y满足利普希兹条件 如果存在 常数 L 0 使 Ryxyx 21 使不等式 7 如果 yxf 则 yxf dx dy 存在唯 一解 xy 定义于区间 hxx 0 上 连续且满足初始条件