七年级数学整式的乘法(教师讲义带答案)

1 第第 2 2 章 整式的乘除与因式分解章 整式的乘除与因式分解 一 基础知识一 基础知识 1 1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 mnm n aaa A m nm n 都是正整数 都是正整数 即同底数幂相乘 底数 即同底数幂相乘 底数 不变 指数相加 不变 指数相加 2 2 幂的乘方 幂的乘方 mnmn aa m nm n 都是正整数 都是正整数 即幂的乘方 底数不变 指数相 即幂的乘方 底数不变 指数相 乘 乘 3 3 积的乘方 积的乘方 n nn aba b n n 为正整数 为正整数 即积的乘方 等于把积的每一个因 即积的乘方 等于把积的每一个因 式分别乘方 再把所式分别乘方 再把所得的幂相乘 4 4 整式的乘法 整式的乘法 1 1 单项式的乘法法则 一般地 单项式相乘 把它们的系数 相同字母的单项式的乘法法则 一般地 单项式相乘 把它们的系数 相同字母的 幂分别相乘 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一幂分别相乘 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一 个因式 个因式 2 2 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘 就是根据乘法分配律 用单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘 就是根据乘法分配律 用 单项式乘多项式的每一项 再把所得的积相加 单项式乘多项式的每一项 再把所得的积相加 可用下式表示 可用下式表示 m m a a b b c c mama mbmb mcmc a a b b c c都表示单项式都表示单项式 3 3 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 5 5 乘法公式 乘法公式 1 1 平方差公式 平方差公式 平方差公式可以用语言叙述为平方差公式可以用语言叙述为 两个数的和与这两个的差两个数的和与这两个的差 积等于这两个数的平方差积等于这两个数的平方差 即用字母表示为 即用字母表示为 a a b b a a b b a a2 2 b b2 2 其结构特 其结构特 征是 公式的左边是两个一次二项式的乘积 并且这两个二项式中有一项是完征是 公式的左边是两个一次二项式的乘积 并且这两个二项式中有一项是完 全相同的 另一项则是互为相反数 右边是乘式中两项的平方差全相同的 另一项则是互为相反数 右边是乘式中两项的平方差 2 2 完全平方公式 完全平方公式 完全平方公式可以用语言叙述为完全平方公式可以用语言叙述为 两个数和 或差 的两个数和 或差 的 平方 等于第一数的平方加上 或减去 第一数与第二数乘积的平方 等于第一数的平方加上 或减去 第一数与第二数乘积的 2 2 倍 加上第倍 加上第 二数的平方二数的平方 即用字母表示为 即用字母表示为 a a b b 2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2 a a b b 2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2 其结 其结 构特征是 左边是构特征是 左边是 两个数的和或差两个数的和或差 的平方 右边是三项 首末两项是平方的平方 右边是三项 首末两项是平方 项 且符号相同 中间项是项 且符号相同 中间项是 2 2abab 且符号由左边的 且符号由左边的 和和 或或 差差 来确定来确定 在在 完全平方公式中 字母完全平方公式中 字母a a b b都具有广泛意义 它们既可以分别取具体的数 也都具有广泛意义 它们既可以分别取具体的数 也 可以取一个单项式 一个多项式或代数式可以取一个单项式 一个多项式或代数式 如如 3 3x x y y 2 2 2 2 3 3x x y y 2 2 2 32 3x x y y 2 2 2 22 2 9 9x x2 2 6 6xyxy 1212x x y y2 2 4 4y y 4 4 或者 或者 3 3x x y y 2 2 2 2 3 3x x 2 2 2 3 2 3x x y y 2 2 y y 2 2 2 2 9 9x x2 2 6 6xyxy 1212x x y y2 2 4 4y y 4 4 前者是把前者是把 3 3x x y y看成是完全平方公式中的看成是完全平方公式中的 a a 2 2 看成是看成是b b 后者是把 后者是把 3 3x x看成是完全平方公式中的看成是完全平方公式中的a a y y 2 2 看成是看成是b b 2 3 3 添括号时 如果括号前面是正号 括到括号里的各项都不变号 如果括 添括号时 如果括号前面是正号 括到括号里的各项都不变号 如果括 号前面是负号 括到括号里的各项都变号 号前面是负号 括到括号里的各项都变号 乘法公式的几种常见的恒等变形有 乘法公式的几种常见的恒等变形有 1 1 a a2 2 b b2 2 a a b b 2 2 2 2abab a a b b 2 2 2 2abab 2 2 abab 2 1 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 4 1 a a b b 2 2 a a b b 2 2 22 22 baba 3 3 a a b b 2 2 a a b b 2 2 2 2a a2 2 2 2b b2 2 4 4 a a b b c c 2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2bcbc 2 2caca 利用上述的恒等变形 我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题 利用上述的恒等变形 我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题 并且还会收到事半功倍的效果并且还会收到事半功倍的效果 6 6 整式的除法 整式的除法 mnm n aaa 0a m n 都是正整数 并且mn 即同即同 底数幂相除 底数不变 指数相减 底数幂相除 底数不变 指数相减 1 1 0 1 0 aa 任何不等于 任何不等于 0 0 的数的的数的 0 0 次幂都等于次幂都等于 1 1 2 2 单项式相除 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式 对于只在被除式 单项式相除 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式 对于只在被除式 里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 3 3 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得 的商相加 的商相加 7 7 因式分解概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 这就叫做把这个因式分解概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 这就叫做把这个 多项式因式分解 也可称为将这个多项式分解因式 它与整式乘法互为逆运算 多项式因式分解 也可称为将这个多项式分解因式 它与整式乘法互为逆运算 8 8 常用的因式分解方法 常用的因式分解方法 1 1 提公因式法 把 提公因式法 把mambmc 分解成两个因式乘积的形式 其中一个因 分解成两个因式乘积的形式 其中一个因 式是各项的公因式式是各项的公因式 m m 另一个因式 另一个因式 abc 是是mambmc 除以除以 m m 所得的商 所得的商 像这种分解因式的方法叫做提公因式法 像这种分解因式的方法叫做提公因式法 i i 多项式各项都含有的相同因式 叫做这个多项式各项的公因式 多项式各项都含有的相同因式 叫做这个多项式各项的公因式 iiii 公因式的构成 公因式的构成 系数 各项系数的最大公约数 系数 各项系数的最大公约数 字母 各项都含有的相同字母 字母 各项都含有的相同字母 指数 相同字母的最低次幂 指数 相同字母的最低次幂 2 2 公式法 公式法 1 1 常用公式 常用公式 平平 方方 差 差 ba ba ba 22 完全平方 完全平方 222 ba b2aba 2 2 常见的两个二项式幂的变号规律 常见的两个二项式幂的变号规律 3 22 nn abba 2121 nn abba n为正整数 为正整数 3 3 十字相乘法 十字相乘法 二次项系数为二次项系数为 1 1 的二次三项式的二次三项式 qpxx 2 中 如果能把常数项中 如果能把常数项q分解成分解成 两个因式两个因式 ba 的积 并且的积 并且 ba 等于一次项系数中等于一次项系数中 p 那么它就可以分解成 那么它就可以分解成 bxaxabxbaxqpxx 22 二次项系数不为二次项系数不为 1 1 的二次三项式的二次三项式 cbxax 2 中 如果能把二次项系数中 如果能把二次项系数 a分解成两个因数 分解成两个因数 21 a a 的积 把常数项的积 把常数项c分解成两个因数分解成两个因数 21 c c 的积 并且的积 并且 1221 caca 等于一次项系数等于一次项系数b 那么它就可以分解成 那么它就可以分解成 211221 2 21 2 ccxcacaxaacbxax 221 cxaaxa 4 4 分组分解法 分组分解法 定义 分组分解法 适用于四项以上的多项式 例如定义 分组分解法 适用于四项以上的多项式 例如 22 abab 没有没有 公因式 又不能直接利用分式法分解 但是如果将前两项和后两项分别结合 公因式 又不能直接利用分式法分解 但是如果将前两项和后两项分别结合 把原多项式分成两组 再提公因式 即可达到分解因式的目的 例如 把原多项式分成两组 再提公因式 即可达到分解因式的目的 例如 22 abab 22 1 ababab ababab ab 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法 原则 分组后可直接提取公因式或可直接运用公式 但必须使各组之间原则 分组后可直接提取公因式或可直接运用公式 但必须使各组之间 能继续分解 能继续分解 有些多项式在用分组分解法时 分解方法并不唯一 无论怎样分组 只有些多项式在用分组分解法时 分解方法并不唯一 无论怎样分组 只 要能将多项式正确分解即可 要能将多项式正确分解即可 二 经典例题二 经典例题 第一部分第一部分 整式的乘除整式的乘除 例例 1 1 例例题题下列运算正确的是 下列运算正确的是 A A a a5 5 a a5 5 a a10 10 B B a a5 5 a a5 5 a a10 10 C C a a4 4 a a5 5 a a20 20 D D a a4 4 5 5 a a9 9 思路点拨思路点拨 选支选支A A是整式的加法运算 合并得是整式的加法运算 合并得2 2a a5 5 选支 选支B B正确 正确 选支选支C C为同底为同底 数幂运算应指数相加 而不是相乘 故为数幂运算应指数相加 而不是相乘 故为a a4 4 a a5 5 a a9 9 选支选支D D为幂的乘方运算 为幂的乘方运算 应底数不变 指数相乘 为应底数不变 指数相乘 为 a a4 4 5 5 a a20 20 解析解析 本题应选 本题应选 规律总结规律总结 同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础 一定要学好 学习它时同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础 一定要学好 学习它时 注意体会从特殊到一般 从具体到抽象 有层次的进行概括抽象 归纳原理 注意体会从特殊到一般 从具体到抽象 有层次的进行概括抽象 归纳原理 例例 2 2 下列运算正确的是下列运算正确的是 4 A A x x 2 2x x3 3 x x6 6 B B 325 xxx C C 222 2 2 4xxx D D 632 8 2 xx 思路点拨思路点拨 选支选支A A错在把指数相乘 实际应相加错在把指数相乘 实际应相加 x x 2 2 x x3 3 x x2 2 x x3 3 x x5 5 选支 选支B B 错在符号不对 负的偶次幂为正 负的奇次幂为负 错在符号不对 负的偶次幂为正 负的奇次幂为负 32 xx 32 xx 5 x 选支选支C C中积的乘方运算出现漏乘项错误 中积的乘方运算出现漏乘项错误 22 4 2 xx 222 42xx 22 440 xx 选支选支D D运算正确 运算正确 解析解析 本题应选 本题应选 规律总结规律总结 幂的乘方与积的乘方 是学习整式乘法的基础 导出幂的乘方的幂的乘方与积的乘方 是学习整式乘法的基础 导出幂的乘方的 根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质 同学们要真正理解幂的乘方法的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质 同学们要真正理解幂的乘方法的 性质 这样才不致混淆性质而运算出错 性质 这样才不致混淆性质而运算出错 例例 3 3 下列运算在正确的是 下列运算在正确的是 A A 5510 2xxx B B 358 xxx C C 2333 2 424x yxx y D D 22 111 3 3 9 224 xyxyxy 答案答案 B B 错因透视错因透视 对整式运算法则理解不深入才会出现错误 对整式运算法则理解不深入才会出现错误 555 2xxx 3 2 8 2 111 3 3 3 222 xyxyxy 例例 4 4 计算 计算 2 2x x2 2y y 2 2 3 3xyxy 思路点拨思路点拨 灵活运用幂的运算性质 乘法交换律等进行运算 灵活运用幂的运算性质 乘法交换律等进行运算 解析解析 原式原式 4 4x x4 4y y2 2 3 3xyxy 据积的乘方据积的乘方 4 3 4 3 x x4 4 x x y y2 2 y y 据乘法交换律 结合律据乘法交换律 结合律 12 12x x5 5y y3 3 据有理数的乘法 同底数幂的乘法据有理数的乘法 同底数幂的乘法 规律总结规律总结 因为单项式是数字与字母的积 所以 幂的运算性质 乘法交换因为单项式是数字与字母的积 所以 幂的运算性质 乘法交换 律 结合律 可作为单项式乘法的依据 单项式乘法法则对于三个以上的单项律 结合律 可作为单项式乘法的依据 单项式乘法法则对于三个以上的单项 式相乘同样适用 如 式相乘同样适用 如 2 2a a2 2b b 3 3abab2 2 5 5abcabc 5 2 3 5 2 3 5 a a2 2 a a a a b b b b2 2 b b c c 30 30a a4 4b b4 4c c 例例 5 5 1 1 2 2xyxy 5 5xyxy2 2 3 3xyxy 1 1 2 2 a a2 2 2 2bcbc 2 2abab 2 2 思路点拨思路点拨 1 1 小题单项式为 小题单项式为2 2xyxy 多项式里含三项为 多项式里含三项为 5 5xyxy2 2 3 3xyxy 1 1 乘 乘 积仍为三项 积仍为三项 2 2 小题应先算小题应先算 3 3abab 2 2 再用乘法交换律后的计算方法是相同 再用乘法交换律后的计算方法是相同 的 的 解析解析 1 1 原式 原式 2 2xyxy 5 5xyxy2 2 2 2xyxy 3 3xyxy 2 2xyxy 1 1 10 10 x x2 2y y3 3 6 6x x2 2y y2 2 2 2xyxy 2 2 原式 原式 a a2 2 2 2bcbc 4 4a a2 2b b2 2 4 4a a2 2b b2 2 a a2 2 4 4a a2 2b b2 2 2 2bcbc 4 4a a4 4b b2 2 8 8a a2 2b b3 3c c 规律总结规律总结 在解答单项式与多项式相乘问题时 易犯如下错误 在解答单项式与多项式相乘问题时 易犯如下错误 出现漏乘 出现漏乘 而导致缺项 而导致缺项 出现符号错误 出现符号错误 运算顺序出错 造成计算有错 运算顺序出错 造成计算有错 例例 6 6 计算 计算 1 3 1 3x x 2 2y y 2 2a a 3 3b b 2 2 x x y y x x2 2 xyxy y y2 2 思路点拨思路点拨 第 第 1 1 题 先用 题 先用x x分别与分别与2 2a a 3 3b b相乘 再用相乘 再用 2 2y y分别与分别与2 2a a 3 3b b相乘 相乘 然后把所得的积相加 第 然后把所得的积相加 第 2 2 题 可先用二项式 题 可先用二项式 x x y y 中的 中的x x分别与三项式中分别与三项式中 的各项相乘 再用的各项相乘 再用 y y分别与三项式中的各项相乘 然后把所得的积相加 分别与三项式中的各项相乘 然后把所得的积相加 解析解析 1 1 原式原式 3 3x x 2 2a a 3 3x x 3 3b b 2 2y y 2 2a a 2 2y y 3 3b b 6 6axax 9 9bxbx 4 4ayay 6 6byby 2 2 原式原式 x x x x2 2 x x xyxy x x y y2 2 y y x x2 2 y y xyxy y y y y2 2 x x3 3 x x2 2y y xyxy2 2 x x2 2y y xyxy2 2 y y3 3 x x3 3 y y3 3 规律总结规律总结 1 1 利用多项式乘法法则时 既不要漏乘 又要注意确定各项的 利用多项式乘法法则时 既不要漏乘 又要注意确定各项的 符号 符号 2 2 乘积中有同类项 要合并同类项 乘积中有同类项 要合并同类项 例例7 7 计算计算 1 3 1 3x x2 2 2 2y y2 2 3 3x x2 2 2 2y y3 3 思路点拨思路点拨 仔细观察题目特点 凡两因式中相同项当作公式中的仔细观察题目特点 凡两因式中相同项当作公式中的a a 另一项 另一项 必须是互为相反数必须是互为相反数 当作公式中的当作公式中的b b方可应用平方差公式 而有的 必须经过变方可应用平方差公式 而有的 必须经过变 形才能运用平方差公式 形才能运用平方差公式 解析解析 原式原式 2 2y y3 3 2 2 3 3x x2 2 2 2 6 4 4y y6 6 9 9x x4 4 规律总结规律总结 公式中的字母可表示具体的数 也可表示单项式或多项式 只要公式中的字母可表示具体的数 也可表示单项式或多项式 只要 符合平方差公式的结构特征 就可运用 符合平方差公式的结构特征 就可运用 例例8 8 化简 化简 1 2 1 2a a 3 3b b 2 2 2 2 x x 2 2y y 2 2 3 3 m m 2 2n n 2 2 思路点拨思路点拨 此题可利用完全平方公式计算 第 此题可利用完全平方公式计算 第 1 1 题是两数和的平方 应选 题是两数和的平方 应选 用用 和和 的完全平方公式 其中的完全平方公式 其中2 2a a是公式中的是公式中的a a 3 3b b是公式中的是公式中的b b 第 第 2 2 题题 x x 2 2y y 2 2 2 2y y x x 2 2 x x 2 2y y 2 2所以应选用所以应选用 差差 的完全平方公式简捷 第的完全平方公式简捷 第 3 3 题题 m m 2 2n n 2 2 m m 2 2n n 2 2 m m 2 2n n 2 2应选用应选用 和和 的完全平方公式简捷 的完全平方公式简捷 解析解析 1 2 1 2a a 3 3b b 2 2 2 2a a 2 2 2 2 2 2a a 3 3b b 3 3b b 2 2 4 4a a2 2 12 12abab 9 9b b2 2 2 2 x x 2 2y y 2 2 2 2y y x x 2 2 2 2y y 2 2 2 2 2 2y y x x x x2 2 4 4y y2 2 4 4xyxy x x2 2 3 3 m m 2 2n n 2 2 m m 2 2n n 2 2 m m 2 2n n 2 2 m m2 2 4 4mnmn 4 4n n2 2 规律总结规律总结 1 1 这三题其实都可以用 这三题其实都可以用 和和 的完全平方公式 或的完全平方公式 或 差差 的完的完 全平方公式 计算 只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程 其中全平方公式 计算 只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程 其中 x x 2 2y y 2 2转化为转化为 2 2y y x x 2 2或或 x x 2 2y y 2 2是一个常用技巧 是一个常用技巧 2 2 完全平方公式 完全平方公式 a a b b 2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2 展开式可记成 展开式可记成 首首 a a 平方 尾平方 尾 b b 平平 方 首方 首 a a 尾尾 b b 乘积的乘积的 2 2 倍加减在中央倍加减在中央 例例 9 9 计算 计算 1 1 y y10 10 y y3 3 y y4 4 2 2 abab 5 5 abab 3 3 思路点拨思路点拨 先观察题目 确定运算顺序及可运用的公式 再进行计算 题目先观察题目 确定运算顺序及可运用的公式 再进行计算 题目 2 2 中被除数与除数的底数相同 故可先进行同底数幂的除法 再运用积的乘 中被除数与除数的底数相同 故可先进行同底数幂的除法 再运用积的乘 方的公式将计算进行到最后 方的公式将计算进行到最后 解析解析 1 1 y y10 10 y y3 3 y y4 4 y y10 3 4 10 3 4 y y3 3 2 2 abab 5 5 abab 3 3 abab 2 2 a a2 2b b2 2 规律总结规律总结 像 像 2 2 这种题目 一定要计算到最后一步 这种题目 一定要计算到最后一步 例例 1010 计算 计算 1 1 x xn n 2 2 x xn n 2 2 2 2 x x4 4 3 3 x x4 4 x x16 16 3 3 用小数或分数表 用小数或分数表 示 示 5 2 105 2 10 3 3 思路点拨思路点拨 1 1 在运用 在运用 同底数幂的除法同底数幂的除法 公式时 指数若是多项式 指数公式时 指数若是多项式 指数 相减一定要打括号 相减一定要打括号 2 2 中先乘方运算再做乘除法 中先乘方运算再做乘除法 3 3 先将负指数的幂化为 先将负指数的幂化为 7 小数 再进行乘法运算 得到最后结果 小数 再进行乘法运算 得到最后结果 解析解析 1 1 x xn n 2 2 x xn n 2 2 x x n n 2 2 n n 2 2 x x4 4 2 2 x x4 4 3 3 x x4 4 x x16 16 x x12 12 x x4 4 x x16 16 x x12 4 1612 4 16 x x0 0 1 1 3 5 2 10 3 5 2 10 3 3 5 2 5 2 3 10 1 5 2 0 001 0 0052 5 2 0 001 0 0052 规律总结规律总结 这里要特别注意这里要特别注意 a am m a an n a am m n n a a 0 0 m m n n均为正整数 并且均为正整数 并且 m m n n 括号内的条件 括号内的条件 例例 1111 计算 计算 1 1 a a2 2n n 2 2b b3 3c 2 c 2a an nb b2 2 2 3 2 3xyxy2 2 2 2 2 2xyxy 6 6x x3 3y y3 3 思路点拨思路点拨 1 1 中被除式的系数是 中被除式的系数是1 1 可按照单项式相除法则计算 可按照单项式相除法则计算 2 2 是是 混合运算 先弄清运算顺序 再根据相应的法则进行计算 本题先进行乘方 混合运算 先弄清运算顺序 再根据相应的法则进行计算 本题先进行乘方 再自左至右进行乘除法 再自左至右进行乘除法 解析解析 解 解 1 1 a a2 2n n 2 2b b3 3c c 2 2a an nb b2 2 1 2 1 2 a a2 2n n 2 2 a an n b b3 3 b b2 2 c c 2 1 a an n 2 2bc bc 2 3 2 3xyxy2 2 2 2 2 2xyxy 6 6x x3 3y y3 3 9 9x x2 2y y4 4 2 2xyxy 6 6x x3 3y y3 3 18 18x x3 3y y5 5 6 6x x3 3y y3 3 3 3y y2 2 规律总结规律总结 单项式相除 首先分清两工的系数 相同字母 被除式独有的字单项式相除 首先分清两工的系数 相同字母 被除式独有的字 母 再进行运算 结合演算重述法则 使法则熟悉 并会用它们熟练进行计母 再进行运算 结合演算重述法则 使法则熟悉 并会用它们熟练进行计 算 算 例例1 12 2 计算 计算 1 6 1 6x x3 3y y4 4z z 4 4x x2 2y y3 3z z 2 2xyxy3 3 2 2xyxy3 3 2 2 x x y y 2 2 x x y y 2 2 xyxy 思路点拨思路点拨 对于混合运算 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号的 对于混合运算 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号的 先算括号里的 先算括号里的 解析解析 1 6 1 6x x3 3y y4 4z z 4 4x x2 2y y3 3z z 2 2xyxy3 3 2 2xyxy3 3 6 6x x3 3y y4 4z z 2 2xyxy3 3 4 4x x2 2y y3 3z z 2 2xyxy3 3 2 2xyxy3 3 2 2xyxy3 3 8 3 3x x2 2yzyz 2 2xzxz 1 1 这一项易漏 这一项易漏 2 2 x x y y 2 2 x x y y 2 2 xyxy x x2 2 2 2xyxy y y2 2 x x2 2 2 2xyxy y y2 2 xyxy 4 4xyxy xyxy 4 4 规律总结规律总结 把多项式除以单项式把多项式除以单项式 转化转化 为单项式除以单项式 在这个转化为单项式除以单项式 在这个转化 过程中 要注意符号问题 过程中 要注意符号问题 第二部分 因式分解第二部分 因式分解 例例 1 1 将下列各式分解因式 将下列各式分解因式 1 1 33 2636aaa 2 2 4 1 a 3 3 22 abab 4 4 22 421abb 答案答案 1 1 2 6 3 a aa 2 2 2 1 1 1 aaa 3 3 1 ab ab 4 4 21 21 abab 错因透视错因透视 因式分解是中考中的热点内容 有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误 因式分解是中考中的热点内容 有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误 公因式没有全部提出 如公因式没有全部提出 如 33 2636aaa 2 2636 6 26 aaaa aa 因式分解不彻底 如因式分解不彻底 如 422 1 1 1 aaa 丢项 如丢项 如 22 abab ab ab 分组不合理 导致分解错误 如分组不合理 导致分解错误 如 22 421abb 22 41 2 21 21 2 abbaab b 无法再分解下去 例例 2 2 连一连 连一连 9 a a2 2 1 1 a a 1 a1 a 1 1 a a2 2 6a6a 9 9 3a 3a 1 3a1 3a 1 1 a a2 2 4a4a 4 4 a aa a b b 9a9a2 2 1 1 a a 3 3 2 2 a a2 2 abab a a 2 2 2 2 思路点拨思路点拨 由于因式分解是整式乘法的逆运算 我们可以先运用整式乘法法由于因式分解是整式乘法的逆运算 我们可以先运用整式乘法法 则计算出第二列中各整式相乘的结果 看跟第一列中的哪个多项式相等 然后则计算出第二列中各整式相乘的结果 看跟第一列中的哪个多项式相等 然后 用线连接起来用线连接起来 解析解析 a a 1 a1 a 1 1 a a2 2 1 1 3a 3a 1 3a1 3a 1 1 9a9a2 2 1 1 a aa a b b a a2 2 abab a a 3 3 2 2 a a2 2 6a6a 9 9 a a 2 2 2 2 a a2 2 4a4a 4 4 规律总结规律总结 整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形 根据题目的需要 有时整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形 根据题目的需要 有时 多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式 有时几个多项式的积要多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式 有时几个多项式的积要 通过整式乘法化成多项式的形式通过整式乘法化成多项式的形式 例例 3 3 分解因式 分解因式 1 1 5x5x 5y5y 5z5z 2 2 2 39aab 3 3 4 2 2 xybyxa 思路点拨思路点拨 观察上面的各个多项式 我们可以发现每个多项式的各项都含有观察上面的各个多项式 我们可以发现每个多项式的各项都含有 公因式 我们可以运用提公因式的方法来做这道题目公因式 我们可以运用提公因式的方法来做这道题目 第 第 3 3 小题分解因式的 小题分解因式的 关键是寻找公因式 本题的公因式可以看作关键是寻找公因式 本题的公因式可以看作2 a xy 也可以看作 也可以看作2 a yx 解析解析 1 1 原式原式 5 5 x x y y z z 2 2 原式 原式 3 3 a ab 3 3 方法一 原式 方法一 原式 4 2 2 yxbyxa 2 2byxayxa 2 2bayaxyxa 方法二 原式 方法二 原式 4 2 2 xybxya 2 2bxyaxya 2 2baxayxya 规律总结规律总结 运用提公因式分解因式时 找对公因式是关键 提公因式后的各运用提公因式分解因式时 找对公因式是关键 提公因式后的各 项中不能再含有其它公因式项中不能再含有其它公因式 有些表面没有公因式的多项式 利用其互为相反数有些表面没有公因式的多项式 利用其互为相反数 的条件 转化为含有公因式的式子来完成因式分解 其一般原则 的条件 转化为含有公因式的式子来完成因式分解 其一般原则 1 1 首项一 首项一 10 般不化成含负号的形式 般不化成含负号的形式 2 2 对同时含有奇次项和偶次项的多项式 一般将偶 对同时含有奇次项和偶次项的多项式 一般将偶 次项的底数化成它的相反数的形式 这样可使各项符号不变 次项的底数化成它的相反数的形式 这样可使各项符号不变 例例4 4 把下列各式因式分解 把下列各式因式分解 1 1 22 254nm 2 2 22 121 169baba 思路点拨思路点拨 此题中两项都可以表示成平方的形式 多项式是二项式且前面的此题中两项都可以表示成平方的形式 多项式是二项式且前面的 符号相反 应考虑用平方差公式来分解符号相反 应考虑用平方差公式来分解 解析解析 1 1 22 254nm 5 2 22 nm 52 52nmnm 2 2 22 121 169baba 22 11 13 baba 11 13 baba 11 13 baba 24a24a 2b2b 2a 2a 24b 24b 4 12a 4 12a b ab a 12b 12b 规律总结规律总结 第 第 2 2 小题中的 小题中的 24a24a 2b2b 2a 2a 24b 24b 将括号内提取公因式 将括号内提取公因式 2 2 后 应把两个后 应把两个 2 2 相乘 而不要当成提公因式 误写成相乘 而不要当成提公因式 误写成 2 12a2 12a b ab a 12b 12b 例例 5 5 把下列各式分解因式 把下列各式分解因式 1 1 22 9124baba 2 2 22 2 8 216nnmnnm 思路点拨思路点拨 此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式 应考虑用完全平此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式 应考虑用完全平 方公式 方公式 解析解析 1 1 22 9124baba 22 33222 bbaa 2 32 ba 2 2 22 2 8 216nnmnnm 11 22 2 42 24 nnmnnm 2 24 nnm 8m8m 3n3n 2 2 规律总结规律总结 第 第 2 2 小题中的 小题中的 2m2m n n 应看作一个整体 而不要利用整式乘法进应看作一个整体 而不要利用整式乘法进 行计算 否则分解比较困难 多项式各项没有公因式且是三项式 应考虑用完行计算 否则分解比较困难 多项式各项没有公因式且是三项式 应考虑用完 全平方公式 全平方公式 例例 6 6 因式分解 因式分解 1 1 22222 16 4 yxyx 2 2 4 1 4 1 222 aa 思路点拨思路点拨 只要 只要 1 1 把 把 22 4yx 和和xy4 2 2 1 2 a把看作整体就不难套用把看作整体就不难套用 平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步 但本题中的两小题都平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步 但本题中的两小题都 能继续因式分解 因此要特别注意分解要彻底 能继续因式分解 因此要特别注意分解要彻底 解析解析 1 1 22222 16 4 yxyx 2222 4 4 xyyx 2222 4 4 xyyx 44 44 2222 xyyxxyyx 2 2 yx 2 2 yx 2 2 4 1 4 1 222 aa 22 21 a 22 1 a 22 1 1 aa 规律总结规律总结 因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可 继续因式分解的多项式 继续因式分解的多项式 中考考点解读 中考考点解读 整式的乘除是初中数学的基础 是中考的一个重点内容 其考点主要涉及以下几个方面 考点考点 1 幂的有关运算 幂的有关运算 12 例例 1 2014 年湘西 在下列运算中 计算正确的是 A 326 aaa B 2 35 aa C 824 aaa D 2224 aba b 分析分析 幂的运算包括同底数幂的乘法运算 幂的乘方 积的乘方和同底数幂的除法运算 幂的运算是整式乘除运算的基础 准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则 解解 根据同底数幂的乘法运算法则知 52323 aaaa 所以 A 错 根据幂的乘 方运算法则知 63232 aaa 所以 B 错 根据同底数幂的除法法则知 62828 aaaa 所以 C 错 故选 D 例例 2 2014 年齐齐哈尔 已知102 m 103 n 则 32 10 mn 分析分析 本题主要考查幂的运算性质的灵活应用 可先逆用同底数幂的乘法法则 mnm n aaa 将指