【高中数学】反三角函数解析

官网 http www pedu love 中小学一对一课外辅导 反三角函数反三角函数 考试要求考试要求 理解反正弦函数 余弦函数和反正切函数的概念 知道它们的基本性质和图象 会用计算 器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小 通过实例引出三角方程的概念 掌握最简三角方程的解集 会解简单的三角方程 说明 简单的三角方程指形如 sinAxa sincosaxbxc 等类方程 2 sin0asin xbxc 2 cos0asin xbxc 一 反三角函数一 反三角函数 知识梳理知识梳理 1 反三角函数的性质与图像 反三角函数的性质与图像 反三角 函数 arcsinyx arccosyx arctanyx 定义域 1 1 1 1 值域 2 2 0 2 2 奇偶性奇函数非奇非偶偶函数 单调性增函数减函数增函数 图像 2 常用关系式 常用关系式 1 arcsinarcsin 1 1xx x sin arcsin xx 1 1x 官网 http www pedu love 中小学一对一课外辅导 arcsin sin xx x 2 2 2 arccosarccos 1 1xx x cos arccos xx 1 1x arccos cos xx x 0 3 xxarctan arctan Rx tan arctan xxR arctan tan 2 2 xx x 典型例题典型例题 例例 1 下列命题中正确的是 D A 函数xysin 与xyarcsin 互为反函数 B 函数xysin 与xyarcsin 都是增函数 C 函数xysin 与xyarcsin 都是周期函数 D 函数xysin 与xyarcsin 都是奇函数 类题类题 已知与 下列说法正确的有 A xsiny xarcsiny 互为反函数 都是增函数 都是奇函数 都是周期函数 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例例 2 计算 5 3 arccos 2 1 sin 5 5 类题类题 计算 3 1 arccos 2 1 tan 例例 3 3 已知 则的取值范围是 6 5 6 arccos sin 3 2 0 例例 4 4 已知函数 f x 2 1 求 f x 的定义域 官网 http www pedu love 中小学一对一课外辅导 2 写出函数 f x的值域 3 求函数 f x的单调递减区间 类题类题 1 函数的定义域是 1 1 arccos 2 x xf 0 22 2 函数的值域是 arccos 2 xxy 4 1 arccos 3 函数的定义域为 2 16tancosxxxy 4 函数 y arccos sinx 的值域为 3 2 3 x 6 5 0 5 函数的定义域是 则值域为 arccos cosyx 2 33 解 解 因为 故 所以 6 2 2 33 x 1 cos 1 2 x 6 2 y 5 求函数 的定义域和值域 y 2arccos 2 xx 解 解 1 2 1 解得 1 2 xxx 2 1 又 2 2 2 1 2 xx 2 4 1 x 8 1 8 1 8 1 2 xx 得 0 y 8 1 arccos 6 求函数的最大值与最小值 并求取得最大 最小值时的 2 arcsin2arcsin2yxx 值 x 官网 http www pedu love 中小学一对一课外辅导 解 解 设 则 所以 arcsin xt 2 2 t 2 2 2213yttt 当时 这时 1t min 3y arcsin1 sin1xx 当时 这时 2 t 2 max 2 4 y arcsin 1 2 xx 例例 5 5 若 则的取值范围是 1arccos arccosxx x A B C D 10 x 2 1 0 x 2 1 0 x1 2 1 x 类题类题 不等式的解集为 xxarccos 12arccos 2 2 1 1 提高练习提高练习 研究函数的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性及单调性 并画 arccos cos xxf 出的图像 2 0 x 二 三角方程二 三角方程 知识梳理知识梳理 1 1 最简三角方程 最简三角方程 最简单的三角方程的解法 即形如 sinx a cosx a tgx a ctgx a 的方程的解法 主要借 助了图象或三角函数线先确定一个周期上的角的代表 而后利用该函数的周期性特点 再 写出符合方程的所有角 最简三角方程的解集 见下表 方程方程的解集 1a 1a 2arcsin x xka kZ sin xa 1a 1 arcsin k x xka kZ 官网 http www pedu love 中小学一对一课外辅导 1a 1a 2arccos x xka kZ cosxa 1a 2arccos x xka kZ tan xa arctan x xka kZ 2 2 简单三角方程 简单三角方程 类型 1 sin Axa 类型 2 asinxbcosxc 22 0ab 类型 3 2 asin xbsinxc 0a 类型 4 2 0asin xbsinxcosx c 类型 5 同名三角函数相等模型 sinf xsinx cosf xcosx tanf xtanx cotf xcotx 类型 6 含的三角方程 sinxcosx sinx cosx 典型例题典型例题 例例 1 已知 0 1 sin 2 则 类题类题 的解集是 1 sin 2 x 1 6 k x xkkZ 例例 2 三角方程 的解是 2cossin3 xx 2 0 x 官网 http www pedu love 中小学一对一课外辅导 类题类题 方程 的解集是 cos22sin cos1xxx 24 x xkxkkZ 例例 3 2010 年理年理 15 是 成立的 2 4 xkkZ tan1x 充分不必要条件 必要不充分条件 AB 充分条件 既不充分也不必要条件CD 答案 A 类题类题 1 上海市松江区上海市松江区 20112011 届高三下学期质量调研文科届高三下学期质量调研文科 方程的解集为 2tan x A B 2arctan2 x xkkZ 2arctan2 x xkkZ C D arctan2 x xkkZ 1 arctan2 k x xkkZ 2 2011 文文 17 若三角方程与的解集分别为和 则 sin0 x sin20 x EFA A B C D EF EF EF EF 解下列三角方程 1 2 3 1 0 2 3cos8cos40 xx x 2 cosx