2017年新人教版八年级下册数学知识点及典型例题总结

1 八年级数学下册期末复习八年级数学下册期末复习 第十六章第十六章 二次根式二次根式 1 1 二次根式 式子 0 叫做二次根式 定义包含三个内容 aa 必需含有二次根号 被开方数a 0 a可以是数 也可以是含有字母的式子 例 1 下列式子中 是二次根式的有 填序号 1 2 6 3 4 m 0 5 6 7 3212 m xy1 2 a 3 5 2 2 二次根式有意义的条件 大于或等于 0 例 2 当 x 是怎样的实数时 下列式子在实数范围内有意义 二次根式中字母的取值范围的基本依据 1 开方数不小于零 2 分母中有字母时 要保证分母不为零 3 3 二次根式的双重非负性 a0 a0 a 附 具有非负性的式子 0 a0 a0 2 a 例 4 若为实数 且 则的值为 x y220 xy 2009 x y A 1 B 1 C 2 D 2 4 二次根式的性质 1 2 0 2 aaa 0 0 2 aa aa aa 例 5 利用算术平方根的意义填空 例 6 化简 2 4 5 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab a b a 0 b 0 a b a b a 0 b 0 例 7 计算 1 2 2 3 3 4 92752a5ab 5 1 5a3 1 5 3 1 4 3 1 3 23 8 2 2 1 2 x x x x x x x 2 4 2 01 0 2 3 1 2 4 2 01 0 2 3 1 2 b 3 1 例 8 计算 54 22 12ba4925 64100 例 9 计算 1 12 3 2 31 28 3 3 64 4 2 2 64 9 b a 6 最简二次根式 必须同时满足下列条件 三个不含有 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中不含分母 分母中不含根式 例 10 下列各式中 是最简二次根式的是 A 18 B ba 2 C 22 ba D 3 2 7 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若 相同 则这几个二次根式就是同类二次根式 例 11 下列根式中 与是同类二次根式的是 3 A B C D 2412 3 2 18 8 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 例 12 计算 1 2 3 7 23 85 50 x x x x 1 2 4 69 3 2 50 5 1 12 2 1 832 9 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法的分配律以及多项式的 乘法公式 都适用于二次根式的运算 例 14 计算 1 2 3 38 622 6324 52 32 4 5 6 2 232 10710712 3 2 32427 3 1 3 第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 b 斜边长为 c 那么 a cba 222 应用 在中 ABC 90C 则 22 cab 22 bca 22 acb 例 1 在 Rt ABC 中 C 90 若a 5 b 12 则c 若a 15 c 25 则b 若c 61 b 60 则a 若a b 3 4 c 10 则SRt ABC 已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm 则第三边长为 2 已知直角三角形的一边与另两边的关系 求直角三角形的另两边 例 2 在长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 6cm2 B 8cm2 C 10cm2 D 12cm2 2 勾股定理逆定理 如果三角形三边长 b c 满足 那么这个三角形是直角三角a cba 222 形 应用 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长abc 222 abc 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是 为斜边 abc 222 acb abcb 例 3 下列四组线段不能组成直角三角形的是 A a 8 b 15 c 17 B a 9 b 12 c 15 C a b c 532 D a b c 2 3 4 例 4 若 ABC 的三边a b c 满足 a b a2 b2 c2 0 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 3 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个 称为勾股数 即中 222 abc ab 为正整数时 称 为一组勾股数cabc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 等 例 5 长度分别为 3 4 5 12 13 的五根木棒能搭成 首尾连接 直角三角形的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 6 在三角形 ABC 中 AB 12 AC 5 BC 13 则 BC 边上的高为 AD 例 7 如图 有一块地 已知 AD 4m CD 3m ADC 90 AB 13m BC 12m 求这块地的 面积 4 直角三角形的性质 2 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 A B 90 4 N M D CB A 2 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 C 90 A 30 BC AB 2 1 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB 90 D 为 AB 的中点 CD AB BD AD 2 1 5 经过证明被确认正确的命题叫做定理 我们把题设 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另 一个叫做它的逆命题 例 勾股定理与勾股定理逆定理 例 8 下列命题的逆命题正确的是 A 全等三角形的面积相等 B 全等三角形的对应角相等 C 如果a b 那么a2 b2 D 等边三角形的三个角都等于 600 6 证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明 7 证明的一般步骤 1 根据题意 画出图形 2 根据题设 结论 结合图形 写出已知 求证 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 第十八章第十八章 平行四边形平行四边形 一 平行四边形 1 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 平行四边形的性质 角 平行四边形的邻角互补 对角相等 边 平行四边形两组对边分别平行且相等 对角线 平行四边形的对角线互相平分 例 3 图 面积 S 底 高 ah 例 1 在 ABCD中 若 A B 40 则 A B 例 2 若平行四边形周长为 54cm 两邻边之差为 5cm 则这两边的长度分别为 例 3 如图 ABCD中 CE AB 垂足为E 如果 A 115 则 BCE 例 4 若在 ABCD中 A 30 AB 7cm AD 6cm 则S ABCD 例 5 如图 在 ABCD中 M N是对角线BD上的两点 BN DM 请判断AM与CN有怎样的 数量关系 并说明理由 它们的位置关系如何呢 例 6 ABCD的周长为60cm 对角线交于点O BOC的周长比 AOB的周长小8cm 则 AB cm BC cm 例 7 ABCD中 对角线AC和BD交于点O 若AC 8 AB 6 BD m 那么m的取值范围是 3 平行四边形的判定方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 A B D O C 5 N M O CB D A O D CB A A BD C E F 例 8 已知 如图 平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O M N 分别是 OA OC 的 中点 求证 BM DN 且 BM DN 例 9 如图 在 ABCD中 E F分别是边AB CD上的点 已知AE CF M N是DE和FB 的中点 求证 四边形ENFM是平行四边形 2 特殊的平行四边形 1 矩形 1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 矩形的性质 边 对边平行且相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线互相 平分且相等 例 10 已知 如图 矩形ABCD的两条对角线相交于点O 且AC 2AB 1 求证 AOB是等边三角形 2 本题若将 AC 2AB 改为 BOC 120 你能获得有关这个矩形的哪些结论 3 矩形的判定 四边形 ABCD 是矩形 边形 对角线相等的平行四 三个角都是直角 一个直角 平行四边形 3 2 1 例 11 已知 如图 在 ABC 中 C 90 CD 为中线 延长 CD 到点 E 使得 DE CD 连结 AE BE 则四边形 ACBE 为矩形 2 菱形 1 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 菱形的性质 边 四条边都相等 角 对角相等 邻角互补 对角线 对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角 例 12 如图 菱形 ABCD 中 E F 分别是 CB CD 上的点 且 BE DF 1 求证 AE AF 2 若 B 60 点 E F 分别为 BC 和 CD 的中点 求证 AEF 为等边三角形 A D B C O O D CB A 6 3 菱形的判定方法 四边形 ABCD 是菱形 行四边形 对角线互相垂直的平 四个边都相等 一组邻边等 平行四边形 3 2 1 例 13 如图 在 ABCD中 E F分别为边AB CD的中点 连结DE BF BD 1 求证 ADE CBF 2 若AD BD 则四边形BFDE是什么特殊四边形 请证明你的结论 例 14 如图 四边形ABCD中 AB CD AC平分 BAD CE AD交AB于 E 1 求证 四边形AECD是菱形 2 若点E是AB的中点 试判断 ABC的形状 并说明理由 3 正方形 1 定义 有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形 2 正方形的性质 边 四条边都相等 角 四角都是直角 对角线 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分每组对角 3 正方形的判定方法 四边形 ABCD 是正方形 一组邻边等矩形 一个直角 菱形 一个直角一组邻边等 平行四边形 3 2 1 四 三角形中位线定理 三角形的中位线平行第三边 并且等于它的一半 如图 DE 是 ABC 的中位线 DE BC DE BC 2 1 第十九章第十九章 一次函数一次函数 一 常量 变量 在一个变化过程中 数值发生变化的量叫做 数值始终不变的量叫做 例 1 长方形相邻两边长分别为x y 面积为 30 则用含x的式子表示y为 则这个问题中 常量 是变量 例 2 小军用 50 元钱去买单价是 8 元的笔记本 则他剩余的钱 Q 元 与他买这种笔记本的 本数x之间的关系是 A Q 8x B Q 8x 50 C Q 50 8x D Q 8x 50 例 3 写出下列问题中的关系式 并指出其中的变量和常量 1 用 20cm 的铁丝所围的长方形的长x cm 与面积S cm2 的关系 2 直角三角形中一个锐角 与另一个锐角 之间的关系 3 一盛满 30 吨水的水箱 每小时流出 0 5 吨水 试用流水时间 t 小时 表示水箱中的 剩水量y 吨 7 二 函数的概念 函数的定义 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确 定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 函数的判断 对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值y和它对应 三 函数中自变量取值范围的求法 1 用整式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 2 用分式表示的函数 自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数 3 用二次根式表示的函数 自变量的取值范围是使被开方数为非负数 4 若解析式由上述几种形式综合而成 须先求出各部分的取值范围 然后再求其公共范 围 即为自变量的取值范围 5 对于与实际问题有关系的 自变量的取值范围应使实际问题有意义 例 4 一辆汽车的油箱中现有汽油 50L 如果不再加油 那么油箱中的油量y 单位 L 随 行驶里程x 单位 km 的增加而减少 平均耗油量为 0 1L km 1 写出表示y与x的函数关系的式子 2 指出自变量x的取值范围 3 汽车行驶 200km 时 油箱中还有多少汽油 四 函数图象的定义 一般的 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作 为点的横 纵坐标 那么在坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 五 用描点法画函数的图象的一般步骤 一般取五个点 1 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 注意 列表时自变量由小到大 相差一样 有时需对称 2 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表 格中数值对应的各点 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来 六 函数有三种表示形式 1 列表法 2 图像法 3 解析式法 例 5 下面的图象反映的过程是 小明从家去菜地浇水 又去玉米地锄草 然后回家 其中 x表示时间 y表示小明离他家的距离 根据图象回答下列问题 1 菜地离小明家多远 小明走到菜地用了多少时间 2 小明给菜地浇水用了多少时间 3 菜地离玉米地多远 小明从菜地到玉米地用了多少时间 4 小明给玉米地锄草用了多少时间 5 玉米地离小明家多远 小明从玉米地走回家的平均速度是多少 七 正比例函数 1 定义 一般地 形如y kx k为常数 且k 0 的函数叫做正比例函数 其中k叫做比例 系数 特征 1 k为常数 且k 0 2 自变量的次数是 1 3 自变量的取值范围为全体实数 8 2 图象 1 正比例函数y kx k 是常数 k 0 的图象是经过原点的一条直线 我们称它为直 线y kx 必过点 0 0 1 k 2 性质 当k 0 时 直线y kx经过第三 一象限 从左向右上升 即随着x的增大y也增 大 当kx2 则y1与y2的大小关系 是 A y1 y2 B y10 时 向上平移 当b0 时 将直线y kx的图象向上平移b个单位 当b0b0 9 图象从左到右上升 y随x的增大而增大 经过第一 二 四象限经过第二 三 四象限经过第二 四象限 k 0 图象从左到右下降 y随x的增大而减小 九 当直线y k1x b1与y k2x b2平行时 k1 k2且b1 b2 例 11 选择题 1 下列一次函数中y随x值的增大而减小的 A y 2x 1 B y 3 4x C y x 2 D y 5 2 x2 2 y 3x与y 3x 3 的图象在同一坐标系中位置关系是 A 相交 B 互相垂直 C 平行 D 无法确定 3 一次函数y 2x 3 的图象不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 例 12 填空题 1 把直线y x 1 向上平行移动 3 个单位 得到的图象的关系式是 1 2 2 直线y x 1 经过点 0 与点 0 1 2 十 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤 1 根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式 2 将x y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未 知数的方程 3 解方程得出未知系数的值 4 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 例 13 已知一次函数的图象过点 3 5 与 4 9 求这个一次函数的解析式 例 14 已知一次函数的图象经过点 A 3 2 B 1 6 求此函数的解析式 并画出图象 求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积 例 15 如图 折线 ABC 是在某市乘出租车所付车费y 元 与行车里程x km 之间的函数 关系图象 根据图象 写出当 x 3 时该图象的函数关系式 某人乘坐 2 5km 应付多少钱 某人乘坐 13km 应付多少钱 若某人付车费 30 8 元 出租车行驶了多少千米 10 十一 一次函数与方程 不等式 1 一次函数与一元一次方程 求ax b 0 a b是常数 a 0 的解 从 数 的角度看x为何值时函数y ax b的值为 0 从 形 的角度看 直线y ax b与 x 轴交点的横坐标 2 一次函数与一元一次不等式 解不等式ax b 0 a b是常数 a 0 从 数 的角度看 x为何值时函数y ax b的值大于 0 从 形 的角度看 求直线 y ax b在 x 轴上方的部分 射线 所对应的的横坐标的取值范围 3 一次函数与二元一次方程组 解方程组 从 数 的角度看 自变量 x 为何值时两个函数值相等 并求出这个函数值 从 形 的角度看 确定两直线交点的坐标 例 16 某种摩托车的油箱最多可储油 10 升 加满后 油箱中的剩油量y 升 与摩托车行 驶路程x 千米 之间的关系式如图 根据图象所提供的信息 回答下列问题 1 一箱汽油可供摩托车行驶多少千米 2 摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油 3 油箱中的剩余油量小于 1 升时 摩托车将自动报警 行驶多少千米后 摩托车将自动报警 例 22 如图 利用y x 5 的图像 求出 5 2 1 方程 x 5 0 的解 5 2 2 不等式 x 5 0 的解集 5 2 3 不等式 x 5 0 的解集 5 2 4 不等式 x 5 5 的解集 5 2 例 23 解方程组解为 则直线y x 15 和y x 7 的交点坐标是 15 7 xy xy 例 24 一种节能灯的功率为 10 瓦 0 01 千瓦 售价为 60 元 一种白炽灯的功率为 60 瓦 售价为 3 元 两种灯的照明效果一样 使用寿命也相同 3000 小时以上 如果电费价格为 0 5 元 千瓦 时 消费者选用哪种灯可以节省费用 提示 总费用 用电费 灯的售价 cba cba yx yx 222 111 400300200100 2 4 6 8 500 10 x 千 千 y 千 O 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 3 32 21 1 O y X 11 例 25 从 A B 两水库向甲 乙两地调水 其中甲地需水 15 万吨 乙地需水 13 万吨 A B 两 水库各可调出水 14 万吨 从 A 地到甲地 50 千米 到乙地 30 千米 从 B 地到甲地 60 千米 到乙 地 45 千米 设计一个调运方案使水的调运量 单位 万吨 千米 尽可能小 第二十章第二十章 数据的分析数据的分析 1 平均数 1 算术平均数 一组数据中 有 n 个数据 则它们的算术平均数为 n xxx 21 n xxx x n 21 2 加权平均数 若在一组数字中 的权为 的权为 的权为 那么 x1w1x2w2xnwn 叫做 的加权平均数 www wxwxwx n nn x 21 2211 x1x2xn 其中 分别是 的权 w1w2wnx1x2xn 权的理解 反映了某个数据在整个数据中的重要程度 权的表示方法 比 百分比 频数 人数 个数 次数等 例 1 某广告公司欲招聘广告策划人员一名 对A B C三名候选人进行了三项素质测试 他们的各项测试成绩如下表所示 1 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选 那么谁将被录用 2 根据实际需要 公司将创新 综合知识和语言三项测试得分按 4 3 1 的比例确定各人的 测试成绩 此时谁将被录用 测试成绩 测试项目 ABC 创新 728567 综合知识 507470 语言 884567 所用时间 t 分钟 人数 0 t 10 4 12 例 2 某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况 对学生作课外 作业所用时间进行调查 右表是该校初二某班 50 名学生某一天做数 学课外作业所用时间的情况统计表 1 第二组数据的组中值是多少 2 求该班学生平均每天做数学作业所用时间 例 3 某班 40 名学生身高情况如下图 请计算该班学生平均身高 2 中位数 将一组数据按照由小到大 或由大到小 的顺序排列 如果数据的个数是奇数 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 如果数据的个数是偶数 则中间两个数据的平 均数就是这组数据的中位数 3 众数 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数 例 4 八年级 1 班 45 名同学的身高统计如下 身高 m 1 501 551 601 651 701 751 801 85 人数 2381212521 求这组数据的中位数 例 5 一组数据由 6 个 3 8 个 11 1 个 12 1 个 21 组成 则这组数据的众数是 A 8 B 11 C 21 D 1 例 6 某公司销售部有营销人员 15 人 销售部为了制定某种商品的销售金额 统计了这 15 个人的销售量如下 单位 件 1800 510 250 250 210 250 210 210 150 210 150 120 120 210 150 1 求这 15 个销售员该月销量的中位数和众数 2 假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为 320 件 你认为合理吗 如果不合 理 请你制定一个合理的销售定额并说明理由 例 7 在一次环保知识竞赛中 某班 50 名学生成绩如下表所示 得分 5060708090100110120 人数 2361415541 分别求出这些学生成绩的众数 中位数和平均数 例 8 公园里有甲 乙两群游客正在做团体游戏 两群游客的年龄如下 单位 岁 甲群 13 13 14 15 15 15 16 17 17 乙群 3 4 4 5 5 6 6 54 57 1 甲群游客的平均年