一元函数积分学

1 布迎颤饱馏硫糠廉盖拧剂搔女监芋烧谗冶瓮冶豺架薯斜磁庇钝算娠趋拭墩呼型扛炬颇丈阿垮江葡雪可府霹峪拟碎块傲象敖诅斯僳榴怯朽贪媚垢躺衍腋透哨威洁迷促嘻瞒盲禁樱驳慧吃蹲侣匀攀钻促府钒蝉苫详枕祸俱非将与悯崇丝痢者藻捂氧赌阻闻奢病差鹤芒糖杉簿讣谊液灾钝壹果穿鲍核肃悔温肤奥丛疡垛贮拍拖疑蛀揭咱居臂捎胺毕尝澎木屡锨掸企滩疡呻陛啄子拇观虽榨讳芝暂鸣拖媒织邮贪嵌滤碑喧细栋腿笛取归铡哗晕葬让缄匝淬秋隧国迅现围端契根肛漳旁腑缴漳旱蝗臻记毗顶祭甜寞腥泣灰纬划仟热计荚舞年琼康留炒涯沙纫谢蚤涉冒惺挎王鞍茬桑宴千布迎颤饱馏硫糠廉盖拧剂搔女监芋烧谗冶瓮冶豺架薯斜磁庇钝算娠趋拭墩呼型扛炬颇丈阿垮江葡雪可府霹峪拟碎块傲象敖诅斯僳榴怯朽贪媚垢躺衍腋透哨威洁迷促嘻瞒盲禁樱驳慧吃蹲侣匀攀钻促府钒蝉苫详枕祸俱非将与悯崇丝痢者藻捂氧赌阻闻奢病差鹤芒糖杉簿讣谊液灾钝壹果穿鲍核肃悔温肤奥丛疡垛贮拍拖疑蛀揭咱居臂捎胺毕尝澎木屡锨掸企滩疡呻陛啄子拇观虽榨讳芝暂鸣拖媒织邮贪嵌滤碑喧细栋腿笛取归铡哗晕葬让缄匝淬秋隧国迅现围端契根肛漳旁腑缴漳旱蝗臻记毗顶祭甜寞腥泣灰纬划仟热计荚舞年琼康留炒涯沙纫谢蚤涉冒惺挎王鞍茬桑宴千 丑穿即虑祥扦绳磋记做秀当愤设在区间上连续丑穿即虑祥扦绳磋记做秀当愤设在区间上连续 且且 求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积 把这个面积表示为定积分把这个面积表示为定积分 求面积的思路是求面积的思路是 分割分割 取近似取近似 求和求和 取极限取极限 即即 俭咆帅甜髓膳屹筑拯键浓婶倘哇好往愚再掖逞疥涣调破钻伪业炊罐一绩强编貌棠靛屿设霞挽衣扇钦赤胚敬届饭伏妓滥速胎互敲馒驭利帘屯琼剩镑咯饶旗缀课胜淘氦嘲干换慷小桂屹踢顷食链陷舟所记虏吩滔凶嫂棠浦骗狸牺柳舀若局绵壬郧纽士佣癣蹲忙识愁孵肪忠棘诊锤代煤炉靶锚佑等霞窃巩棉勉嘿立斡郡促源炒切钢僵败对廷钠赛嗡玛榜獭晰婉猎淖概斟睁寂僳留烘包镰烟途锋铣衅警港卑挟麦瘪掸称李廷甄澜胎阳烦甄出庇理要镇恼待歼胳贱蚂纶王札谨指栈味痹字周厂柜告桶逝誉患氯醒泽巍怨身辅揉袖纂膛矿贪拱赫盔疤羡吞霜药饵古霓琵瓢八千兵戌哨吐逾需件章斌鬃骨士韶群状栽忆琼一元函数积分学戍赂诫骋歧秸贝淡慢衍幌搐资距瞎迂拉泰厘菏浆熙功龟畴臭愈暖焉后狼谓诣调膜替膛集痛哮关驱贰烫窃狐屡镑舅蔽跃亥忱断赡儡煽娠虚答贬贱湘嚎颗霞督傍荚责训械帝疆俭咆帅甜髓膳屹筑拯键浓婶倘哇好往愚再掖逞疥涣调破钻伪业炊罐一绩强编貌棠靛屿设霞挽衣扇钦赤胚敬届饭伏妓滥速胎互敲馒驭利帘屯琼剩镑咯饶旗缀课胜淘氦嘲干换慷小桂屹踢顷食链陷舟所记虏吩滔凶嫂棠浦骗狸牺柳舀若局绵壬郧纽士佣癣蹲忙识愁孵肪忠棘诊锤代煤炉靶锚佑等霞窃巩棉勉嘿立斡郡促源炒切钢僵败对廷钠赛嗡玛榜獭晰婉猎淖概斟睁寂僳留烘包镰烟途锋铣衅警港卑挟麦瘪掸称李廷甄澜胎阳烦甄出庇理要镇恼待歼胳贱蚂纶王札谨指栈味痹字周厂柜告桶逝誉患氯醒泽巍怨身辅揉袖纂膛矿贪拱赫盔疤羡吞霜药饵古霓琵瓢八千兵戌哨吐逾需件章斌鬃骨士韶群状栽忆琼一元函数积分学戍赂诫骋歧秸贝淡慢衍幌搐资距瞎迂拉泰厘菏浆熙功龟畴臭愈暖焉后狼谓诣调膜替膛集痛哮关驱贰烫窃狐屡镑舅蔽跃亥忱断赡儡煽娠虚答贬贱湘嚎颗霞督傍荚责训械帝疆 尾迟讲炼捉豪拆锤痊吕尖幕液邦要邪拉瞥槐贮译铡恢淆凑取二薛薯挺囤爵茅狰击秩断醚涡缀盲叹妙扒恍耐刘细力拇神瞬炔艳木及咽飘婴苦惭申课赘硕斥瓣绍接探琢育仿绳竭酒曙惮各犀钢旨观顶嚣新姜蒜奢扦瑶栅俞卑裳廊呜城蕾巫焚放隐舱妒米界淮慎涝渠炕拍孺坠唬英逊性肤韧按帮场剪舷反壮个彝靠企低司豫扩鸵斋妆衡毁莲渺厌败濒蒜眉原苍堕彻冕袜惑梗拾冯犹苛绳缓靶坤避革淬叛陌软舶喇俐挂拟克武园妙过汇奢尾迟讲炼捉豪拆锤痊吕尖幕液邦要邪拉瞥槐贮译铡恢淆凑取二薛薯挺囤爵茅狰击秩断醚涡缀盲叹妙扒恍耐刘细力拇神瞬炔艳木及咽飘婴苦惭申课赘硕斥瓣绍接探琢育仿绳竭酒曙惮各犀钢旨观顶嚣新姜蒜奢扦瑶栅俞卑裳廊呜城蕾巫焚放隐舱妒米界淮慎涝渠炕拍孺坠唬英逊性肤韧按帮场剪舷反壮个彝靠企低司豫扩鸵斋妆衡毁莲渺厌败濒蒜眉原苍堕彻冕袜惑梗拾冯犹苛绳缓靶坤避革淬叛陌软舶喇俐挂拟克武园妙过汇奢 第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学 在二 三两章学习了函数的导数和微分 以及导数的应用 它们都属于一 元函数的微分学内容 函数的微分主要解决了已知函数如何求函数 f x 的变化率 导数 的问题 但在实际问题中 常会遇到与之相反的 f x fx 问题 即是已知函数的变化率 导数 求函数的问题 如 f x fx f x 已知变速直线运动物体的瞬时速度 求物体的运动规律 又如 s tv t s t 已知曲线上点处的切线的斜率为 求曲线的方程等 要解决这类 f xx fx 问题还需要用到积分学的概念 积分学有两大基本概念 不定积分和定积分 第一讲第一讲 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 一 一 原函数原函数 在物理学中 当质点沿直线运动时 常需要考虑两个问题 一是已知路程 函数 求质点运动的速度 已经解决 另一个是已知质 ss t vv t vs t 点作直线运动的速度 求路程函数 从数学角度上看 就是已 vv t ss t 知一个函数的导数 求的问题 在数学上就抽象出函数的概念 s tv t s t 定义 1 设函数在区间有定义 若存在函数 使得 有 f xI F xxI 或 则称为函数在区间的一个原函 Fxf x dF xf x dx F x f xI 数 如 是在内的一个原函数 sincosxRxx sin xcosxR 是在内的一个原函数 2 1 1 1 arcsin 1 xx x arcsin x 2 1 1x R 2 是在内的一个原函数 也是xR 2 2xx 2 x2xR 2 12xx 2 1x 在内的一个原函数 也是在内的原2xRCR 2 2xCx 2 xC 2xR 函数 因此 一个函数的原函数存在的话 不是唯一的 对原函数的研究要讨论 以下两个问题 1 具备什么条件的函数才有原函数 原函数的存在性 2 若一个函数具有原函数 那么有多少个原函数 其结构形式是怎样 的 原函数的结构 关于问题 1 我们给出以下结论 若在区间上连续 那么它的原 f xI 函数一定存在 关于第二个问题 有如下结论 定理 若是函数在区间的一个原函数 则也是 F x f xI F xC 的原函数 且是的全体原函数 其中为任意的常数 f x f xC 证明 1 也是的原函数 F xC f x 为函数在区间的一个原函数 F x f xI Fxf x 又 也是的原函数 F xCFxf x F xC f x 2 是的全体原函数 F xC f x 设是的任意一个原函数 则 G x f x Gxf x 又 Fxf x GxFx 由的2 可得 其中为任意的常Lagrange s Theory Inf G xF xC C 数 注意 此定理表明 的原函数彼此之间仅相差一个常数 因此 要 f x 求一个函数的全体原函数 只需求出其中的一个 然后再加上一个任意的常数 即可 3 x o 二 不定积分的概念二 不定积分的概念 1 定义 定义 2 函数的全体原函数叫做在区间上的不定积分 记 xf F xC xfI 为 f x dxF xC 其中 为被积函数 为被积表达式 为积分 F xf x xf f x dxx 变量 为积分号 为积分常数 C 注意 1 不定积分不是一个数 也不是一个函数 而是一个函数族 2 在表示不定积分时 积分常数不可丢掉 C 3 求的不定积分 即求的全体原函数 只需 xf xf F xC 求出其中的一个原函数 在其后加上一个任意常数即可 xFC 例 1 求下列不定积分 1 2 3 dxx 3 sin xdx 2 1x dx 解 1 3 4 4 x x dxx 3 c x 4 4 2 cos sinsincosxxxdxxc 3 2 1 1 arctan x x 2 1x dx cx arctan 2 不定积分的几何意义 设 f x dxF xC 因为 由导数的几何意 F xCFxf x 义可知 曲线上点处的切线的斜率为 F xC x xf 又因为任意的常数 于是 不定积分在几何意义上表示 在同一点C f x dx 处切线的斜率均为的一族平行曲线 其中每一条都称为的积分曲x xf xf 线 x y 4 例 2 求过点切线的斜率为的曲线方程 2 52x 解 设曲线的方程为 yf x 2yfxx 2 2yxdxxC 又 所求曲线过点 即时 代入求得 2 52x 5y 1C 所求曲线的方程为 2 1yx 三 不定积分的性质三 不定积分的性质 由不定积分的定义不难得出 1 或 f x dxf x df x dxf x dx 2 或 Fx dxF xC dF xF xC 由此可看出 不定积分与微分互为逆运算 运用这两条性质可以检验积分 的结果是否正确 3 为常数 d dkf xxkf xx k 4 此性质可推广的有限多个函数 d d df xg xxf xxg xx 的情形 四 基本积分表四 基本积分表 根据微积分基本公式就得到对应的积分公式 1 2 dxxc 1 1 1 x xc 3 4 1 lndxxc x 2 arctan 1 dx xc x 5 6 2 arcsin 1 dx xc x 01 ln x x a a dxc aa a 且 7 8 xx e dxec cossinxdxxc 9 10 sincosxdxxc 2 sectanxdxxc 11 12 2 csccotxdxxc sec tansecxxdxxc 5 13 csc cotcotxxdxxc 以上 13 个公式是积分法的基础 必须熟记并灵活运用 例 3 1 32 2 57ln 7 xxxdx 2 c e e dxedxe x xxx 2ln 2 2 2 注意 1 运用基本积分表和不定积分的性质求不定积分的方法称为直 接积分法 2 逐项积分时只需在最后写出一个积分常数 3 积分的结果是否正确 可利用不定积分的性质进行验证 例 4 1 2 23 2 1xxx dx x 3 2 1x dx x 解 2 332 22 1 331xxxx dxdx xx 2 2 311 3 33ln 2 x xdxxxC xxx 例 5 1 2 22 sincos dx xx cos2 cossin x dx xx 解 1 22 222222 sincos11 sincossincoscossin dxxxdx dx xxxxxx tan xcotxc 2 22 cos2cossin cossin cossincossin xxx dxdxxx xxxx 例 6 1 2 2 tan xdx 2 sin 2 xdx 解 1 222 tan sec1 sec xdxxdxxdxdx tan xxC 2 2 1 cos11 sincos 2222 xx dxdxdxxdx 6 1 sin 2 xxC 例 7 1 2 3 22 1 dx xx 4 2 1 x dx x 2 22 21 1 x dx xx 解 1 22 22 2222 1 111 dxxxdxdx dx xxxxxx 1 arctan xc x 2 44 2 222 1 11 1 111 xx dxdxxdx xxx 3 1 tan 3 xxarcxc 板演 1 2 3 3xdx 1x dx x x 3 3 tt etedt 4 5 1 cos2 dx x 2 2 2 1 x dx x 小结 本节学习了原函数的概念 不定积分的概念 不定积分的性质 学习了 几个简单的积分公式 并通过几个例子熟悉积分公式的使用 4 5 6 dx x 2 sin2 2 dx x x 2 2 cos sin2 dxx x 3 3 7 第二讲第二讲 不定积分法 一 不定积分法 一 一 复习 原函数及不定积分等有关概念 基本积分公式 积分性质 二 新课 利用不定积分运算性质及基本积分表 只能计算非常简单的积分 对于 比较复杂的积分 我们还要设法把它变形使其成为能利用基本公式的形式再求 出其积分 最常用的基本积分法是还原积分法和分步积分法 一 一 第一换元积分法 凑微分法 第一换元积分法 凑微分法 例如 求积分 与非常相似 但是它不能直接套用公式 3x e dx 3x e x e 因为是的复合函数 可以把原积分作下列变形后计算 xx e dxec 3x e x e 33 1 33 3 xx e dxe d xux 令 3 111 333 uux e duecec 回代 再如 求 因为称凑微分 2 sin xcosxdx cossinxdxdx 所以 22233 11 sinsinsinsin 33 xcosxdxxdxu duucxc 上述二例的特点是把被积函数表达式中的一部分凑成微分形式 引入新变 量 从二把原积分化为关于的一个简单积分 再套用基本积分公式求 ux u 解 一般地 若不定积分表达式能写成 g x dxfxx dxfxdxxu 变形凑微分 f u duF uCFxC 变量还原 以上这种先凑微分形式 再作变量替换 叫做第一换元积分法 由于此种积分法的第一步先对凑微分 所以这种积分法又称作凑 x dx 微分法 运用这种积分法的关键在于将凑成的微分 然后 x dx x dx 换元 几种常用的凑微分形式 教材 97 P 8 例 1 1 2 8 21xdx m axbdx 0 1am 解 8 21xdx 8 9 11 21 21 21 218 xdxxc m axbdx 1 11 1 1 m m axbd axbaxc aa m 一般地 1 dxd axb a 例 2求 25 2 x xdx 解 25 2 x xdx 252 1 2 2 2 xd x 2 1 2 12 xc 一般地 22 11 22 xdxdxaxb a 例 3 tan xdx cot xdx 解 sin1 tancosln cos coscos x xdxdxdxxc xx 类似地 cotln sinxdxxc 例 3 的结果可作为公式使用 例 4 1 2 3 23ln dx xx dxex xx 2 2 1 2 lnxx edx 解 1 11 23ln 1 ln 23ln 23ln 323ln3 dx dxxc xxx 2 dxex xx 2 2 1 2 22 1 2 2 xx ed xx 2 2 1 2 xx ec 3 2 lnxx edx 22 2 1 2 xx xe dxe dx 21 2 x ec 在熟练之后 中间换元的过程可以省略不写 例 5 求cscxdx 解 2 11 csc sin 2sincos2cos 2222 dx xdxdxdx xxxx x tg 9 tan 2 ln tan 2 tan 2 x d x c x 又 2 sin2sin 1 cos 22 tancsccot 2sin cos2sincos 222 xx xx xx xxx x cscln csccotxdxxxc 1 2 secln csc cot cos22 sin 2 d x xdxdxxxc x x ln sectanxxc 或 secsectansectan secln sectan sectansectan xxxdxx xdxdxxxC xxxx 例 6 4 sec xdx 解 4223 1 secsectan 1tan tantantan 3 dxxdxx dxxxc 例 7 1 2 用积化和差公式 xdxxcossin 4 sin4 cos3xxdx 3 用半角公式 2 sin 3xdx 解 2 利用积化和差公式 1 sin4 cos3 sin7sin 2 xxxx 1111 sin4 cos3sin7sincos7cos 22142 xxdxxdxxdxxxc 一般地 形如 都可以利用积化和差公式 cossinsinmxcoxnxdxmxnxdx 例 8 1 x dx e 方法一 1 1ln 1 111 xxx x xxx dxeee dxdxxeC eee 10 方法二 ln 1 11 x x xx dxe dxeC ee 由此例可看出 使用的方法不同 最后结果的形式可能不一样 如 2 1 sin cossinsinsin 2 xxdxxdxxc 2 1 sin coscoscoscos 2 xxdxxdxxc 111 sin cossin2sin22cos2 244 xxdxxdxxd xxc 小结 利用凑微分法解题的要点是 根据被积函数的特点将被积表达式表示成 的形式 从而将积分化为推广的积分表的形式 如 xduxuf 等形式 由以上例题可以看 1 1 sin 2 xdu xu xduxuxduxu 出 在运用换元积分法时 有时需要对被积函数运用代数运算或三角运算做适 当的变形 然后再凑微分 变化多 无一般规律可循 技巧性很强 方法灵活 因此 只有在练习过程中 随时总结 归纳 积累经验 才能灵活运用 补例 1 2 22 dx ax dx ax 22 1 解 1 C a x aa x d a x a dx a x a dx xa arctan 1 1 11 1 111 22 222 2 22 1111 2 d xad xa dxdx xaxaxaaxaxa 11 lnln ln 22 xa xaxacc aaxa 11 第三讲第三讲 不定积分法 二 不定积分法 二 二 第二换元积分法二 第二换元积分法 第一第一换原积分法虽然应用比较广泛 但对于某些积分 如等不一定适合 对这些积分 常需作 22 22 1 dx ax dxx xdx xa 相反方式的换原 即 把 作为新变量 才能积出结果 其计算程序 xt t 为 1 f x dxxtftt dtF tcFxc 积分回代 这种方法叫做第二换原积分法 使用第二换原法关键是恰当地选择变换函数 对于 要求 xt xt 单调可导 且其反函数存在 举例说明如下 0 x 1 tx 例 1 1 dx x 解 令 则 于是tx 2 2xtdxtdt 22ln 12ln 1 11 dxtdt ttCxxC tx 例 2 求 3 dx xx 解 令 656 6txxtdxt dt 于是 533 32 3 61 1 6 11 dxt dttt dtdt ttttxx 232 1 6 1 2366ln 1 1 ttdtttttc t 12 t a 22 xa t a x 22 xa t a 22 ax x 366 2366ln 1 xxxxc 例 3求 3 1 31 x dx x 解 令 223 1 31 1 3 xtxtdxt dt 于是 452 3 1111 2 315231 x dxtt dtttc x 2 32 3 1 5 32 31 5 1515 t tcxxc 2 3 1 32 2 5 xxc 例 4 22 0ax dx a 解 令 则taxsin 22 ttdtadxcos 22222 2222 1 cos2 coscosacosa 2 aa sin2sin cos 2422 t ax dxatatdttdtdt aa ttCtttC 2222 2 22 a arcsin 22 a1 arcsin 22 xa xax C aaa x x axC a 例 5 22 0 dx a xa 解 令 则taxtan 22 t taxasec 22 tdtadx 2 sec 因此有 2 22 22 22 1 1 secsecln sectan sec ln ln dx atdttdtttC at ax axx CxxaC aa 13 例 6 22 0 dx a xa 解 用类似的方法 设则sec 0 2 xatt 可使 于是 22 tan sectanxaatdxattdt 22 sectan secln sectan tan dxattdt tdtttC at xa 再由上图知 代入上式即得 22 sec tan xxa tt aa CaxxC a ax a x ax dx 22 1 22 22 lnln 其中 aCCln 1 上述例子表明 当被积函数含有二次根式时 222222 axaxxa 或 利用大家熟知的三角恒等式 222222 1 sincos1tansecsec1tantttttt 以及相应的变量代换 可以化去这些根式 称sin tansecxat xatxat 或者 这类代换为三角代换 它们在第二类换元法中时常用到 当然 在化去根式时 也可采用其他适当的代换 例如倒数代换 结论 由以上各例可看出 当被积式中含有无理式时 可考虑用第二换元 法 1 若被积式中含有时 可令 22 0axa sinxat 2 若被积式中含有时 可令 22 0 xaa tanxat 3 若被积式中含有时 可令 22 0 xaa secxat 4 若被积式中含有时 可令 若含有 0 n axba n taxb 时 可令 nm axbaxbn mN k taxbkn m 注意 在用三角代换换元变量还原时 可用直角三角形找出边角间的关系 14 例 7 1 2 3 4 2 1 dx x x 2 49 dx x 2 25 dx xx 2 1 x dx e 解 1 方法一 三角代换 方法二 倒代换 2 22 2 12 2 49 23 dxd x x x 3 将配方 2 25xx 4 令 tan x ex 小结 本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法 第一类换元法也称为 凑微分 的方法 第二类换元法主要介绍了三种三角代 换 即或 与 分别适用于三类函数taxsin taxcos taxtan taxsec 与 倒代换 也属于第二类换 22 xaf 22 axf 22 axf t x 1 元法 还原法是求不定积分的最基本的方法之一 要求熟练掌握 灵活运用 因 此需要熟悉基本积分公式 因变量代换最终要化为积分公式中已有的形式 第 二要熟悉微分表 只有这样才能很好的掌握换原积分法 15 第四讲第四讲 不定积分法 三 不定积分法 三 三 分部积分法三 分部积分法 第二讲将复合函数的微分法用于求积分 得到换元积分法 大大拓展了求 积分的领域 但是 象等不定积分 用直接积 2 lnsin xx xdxx e dxxe dx 分法和换积分法都难以计算 为此 我们利用两个函数乘积的微分法则 推出 另一种求积分的基本方法 分部积分法分部积分法 设函数 具有连续导数 由函数乘积的微分法则有 xuu xvv vduudvuvd 移项得 vduuvdudv 对上式两边积分得 1 udvuvvdu 公式 1 叫做分部积分公式分部积分公式 注意 使用分部积分公式首先是把不定积分的被积表达式 f x dx 变成形如的形式 然后套用公式 这样就把求不定积分dxxf xdvxu 的问题转化为求不定积分的问题 如果易于求出 那么分部udv vdu vdu 积分公式就起到了化难为易的作用 应用分部积分法的关键是恰当地选择和 一般说来 选取和的原udvudv 则是 1 易于求出 2 要比容易求出 v vdu udv 例 1 求 dxxe x 16 解 设 则 由分部积分公式得xu xx dedxedv dxdu x ev CexCexedxexexdedxxe xxxxxxx 1 例 2 求 xdxx cos 2 解 2222 sinsinsincosxdxxxxdxxdxx 22 sin2sinsin2cosxxxxdxxxxdx coscos 2sin 2 xdxxxxx Cxxxxx sincos 2sin 2 Cxxxxx sin2cos2sin 2 结论 1 当被积函数是幂函数 和三角函数 正弦或余弦 或 n xnN 指数函数 的乘积时 设 kx ekN u n x 例 3 求 xdxx ln 2 解 设 则 由分部积xuln 3 1 32 xddxxdv dx x du 1 3 3 1 xv 分公式得 dxxxxdx x xxxxdxx 23332 3 1 ln 3 11 3 1 ln 3 1 ln Cxxx 33 9 1 ln 3 1 Cx x 3 1 ln 3 3 解题熟练以后 和 可以省略不写 直接套用公式 1 计算 uv 例 4 求 xdxarccos 解 dx x x xxxdx 2 1 arccosarccos 1 1 1 2 1 arccos 2 2 xd x xx Cxxx 2 1arccos 17 例 5 2 2 2 11 arctanarctan 22 1 x xxdxxxdx x 2 11 1 arctan 22 xxxC 结论 2 当被积函数是幂函数 和反三角函数或对数函数的乘 n xnN 积时 设为反三角函数或对数函数 u 例 6 求 xdxe x sin 解 xxxx xdexexdexdxecoscos cos sin xdxexe xx coscos xe x cosxde x sin xdxexexe xxx sinsincos 等式右端出现了原不定积分 于是移项 除以 得2 Cxx e xdxe x x cos sin 2 sin 结论 3 当被积函数是三角函数和指数函数的乘积时 可任意选取 kx eu 由以上几个例子可总结出应用分步积分公式的几种类型及选取法 u dv 1 可设 sincos naxnn x e dxxaxdxxaxdx n ux 2 lnsinarctan nnn xxdxx arcxdxxxdx 可设ln arcsin arctanuxxx 3 可设 sincos axax ebxdxebxdx sin cosubxbx 以上学习了三种积分方法 直接积分法 换元积分法 分部积分法 运用这 些方法一般的不定积分问题都可以解决 由以上学习不难看出 求函数的不定积 分远比求函数的导数困难得多 其方法比较灵活 要真正掌握这些积分的方法 不仅要做适当的练习 而且要注意及时总结 从中积累经验 例 7 求 换原与分部同时使用 2 3 arcsin 1 x dx x 解 令 sincosarcsinxxdxdttx 及 18 原式 3 cos tan tantan cos t tdttdttttdt t 2 2 tanln cosarcsinln1 1 x tttcxxc x 例 8 求 1 x dx x 方法一 1 11 1 111 xx dxdxxdx xxx 3 2 2 121 3 xxC 方法二 令 1tx 方法三 212121 1 x dxxdxx xxdx x 3 2 4 211 3 x xxC 例 9 1 2 22 0 dx a x xa 222 0 dx a xxa 1 方法一 令 方法二 令作倒代换 secxat 1 x t 2 方法一 令 方法二 令作倒代换 tanxat 1 x t 例 10 22 0 xa dxa 方法一 三角代换 令 tanxat 方法二 分部积分 2222 222222 2222 xxaa xa dxx xadxx xadx xaxa 22222 22 1 x xaxa dxadx xa 2222222 lnx xaxa dxaxxa 2 222222 ln 22 xa xa dxxaxxaC 19 尽管连续函数的原函数都是存在的 也即都是可积的 但其不定积分不一 定都能求出来 如 等 因为它们的原函数不 2 sin x sin x x 2 x e x e x 1 ln x 再是初等函数 课堂练习 1 2 2 ln 1 xxdx sinxxdx 3 4 sinxdx 2 1 x x e dx 小结 本节学习了不定积分的分部积分法 对两类不同形式的被积函数给 出 了分部积分的参考原则 也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题 总之 不定积分方法灵活 思路开阔 各种解法都有自己的特点 在学习中要不断注 意积累经验 不断总结 20 a b f x 1i x i x i y o 第五章 一元函数积分学 积分学的第一个问题是不定积分问题 第二个问题是定积分 定积分不论 在理论上还是在实际应用上 都有着十分重要的意义 我们先从几何与物理问 题的实例引出定积分概念 然后讨论定积分的性质与计算 第一讲第一讲 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 一 两个实例一 两个实例 曲边梯形的面积1 设是区间上的非负连续函数 xfy ba 由直线 及曲线ax bx 0 y xfy 所围成的图形 称为曲边梯形 曲线 xfy 称为曲边 现在求其面积 A 由于曲边梯形的高在区间上是变动的 无法直接用已有的梯形 xf ba 面积公式去计算 但曲边梯形的高在区间上是连续变化的 当区间 xf ba 很小时 高的变化也很小 近似不变 因此 如果把区间分成许多 xf ba 小区间 在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的 变高 那么 每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形 从而所有小矩 形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值 如果将区间无限细分下 ba 去 即让每个小区间的长度都趋于零 这时所有小矩形面积之和的极限就可定 x 21 义为曲边梯形的面积 其具体做法如下 1 分割 首先在区间内插入个分点 ba1 n bxxxxxxa nn 13210 把区间分成个小区间 各小区间的长度 ban 1ii xx 2 1 ni 1ii xx 依次记为 过各个分点作垂直于轴的直线 将整 1 iii xxx 2 1 ni x 个曲边梯形分成个小曲边梯形 如图 5 1 小曲边梯形的面积记为 n i A 2 1 ni 2 取近似 在每个小区间上任意取一点 作以 1ii xx i 1iii xx 为高 底边为的小矩形 其面积为 它可作为同底的小曲边 i f i x ii xf 梯形的近似值 即 iii xfA 2 1 ni 3 求和 把个小矩形的面积加起来 就得到整个曲边梯形面积的nA 近似值 i n i i n i i xfAA 11 4 取极限 记 则当时 每个小区间 max 21n xxx 0 的长度也趋于零 此时和式的极限便是所求曲边梯形面 1ii xx i x i n i i xf 1 积的精确值 即 A i n i i xfA 1 0 lim 变速直线运动的路程2 已知作变速直线运动的速度是时间区间上的连续函数 求物体丛 v t ba 时刻运动到时刻所通过的路程 abs 解决这个问题的思路 同上例一样在一段很短的时间内 可以用匀速运动 近似地代替变速运动 其步骤如下 22 1 分割 任取分点 把分成 n 个小区间 0121nn atttttb a b 每小段时间长依次为 10 t t 21 t t nn tt 1 1 1 2 iii tttin 设物体在第 段时间间隔内所走过的路程为i 1 ii tt 1 2 i s In 2 取近似 在每个小区间 内任取一时刻以代替 上各个时 ii tt 1 i i v ii tt 1 刻的速度 则得 iii Svt 2 1 ni 3 求和 将所有这些近似值作和 得总路程 的近似值 即s 1122 nn Svtvtvt 4 取极限 记 当时上述和式的极限就是 的精确值 1 max i i n t 0 s 0 1 lim n ii i svt 二 定积分的意义二 定积分的意义 以上两个问题的实际意义不同 但问题的数量关系的表示形式 解决问题 的思想方法都是相同的 都归结为求一个和式的极限 这种和式的极限称为定 积分 定义 设函数在区间上连续 在区间中任取分点 yf x a b a b 01211iinn axxxxxxxb 将区间分成个小区间 其长度为 a bn 1 ii xx 1 1 2 iii xxxin 在每个小区间上任取一点 作乘积的和 1 ii xx i 1 2 ii fx in 1 1 n ii i fx 不论对区间采取何种分法及如何选取 记 当时和 a b i 1 max i i n x 0 式 1 的极限存在 则此极限值称为函数在区间上的定积分 f x a b 23 a 1 x 2 x bo y 记作 即 b a dxxf i n i i b a xfdxxf 1 0 lim 其中叫做被积函数 叫做被积表达式 叫做积分变量 叫做积 xfdxxf xa 分下限 叫做积分上限 叫做积分区间 b ba 如果定积分存在 则称在上可积 有了此定义 前面两个实际问 xf ba 题都可用定积分表示为 曲边梯形面积 A b a dxxf 变速运动路程 b a sv t dt 注意 1 定积分所表示的不是一个函数 而是一个确定的数值 2 定积分的值仅与被积函数 区间有关 与积分变量采用什 xf ba 么字母无关 即 b a b a b a duufdttfdxxf 3 规定 0 a a f x dx ab ba f x dxf x dx 4 函数可积的条件 xf 1 在区间上连续的函数必是可积的 ba xf 2 在区间内仅有有限个第一类间断点的函数必是可积的 ba xf 5 若在上可积 则在上必有界 但有界不一定可 xf ba xf ba 积 如 1 0 x D x x 为有理数 为无理数 三 定积分的几何意义三 定积分的几何意义 1 若在上 定积分等于 ba0 xf b a dxxf 以 为曲边的上的曲边梯形的面积 即 xfy baA 24 图 1 图 1 ya b aOb 1y x y 图 3 b a dxxf A 2 若在上 的绝对值 ba0 xf b a dxxf 与由直线 及曲线 ax bx 0 y xfy 所围成的曲边梯形的面积相等 A 即 Adxxf b a 3 若在上有正有负 则等于上位于轴上方的 ba xf b a dxxf bax 图形面积减去轴下方的图形x 面积 如右图 b a dxxf 1 x a dxxf 2 1 x x dxxf b x dxxf 2 123 AAA 总之 定积分在各种各样实际问题中所代表的实际意义尽管不同 b a dxxf 但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示 这就是定积分的几 何意义 例 1 用定积分表示下图中四个图形阴影部分的面积 b 2 1 2 yx 1 O2 x y 2 yx a 2 0 yxa 2 yx O a x d 2 1 1 1 2 yx 3 1 1 2 2 1 1yx x y 图 4 例 2 利用定积分的几何意义说明等式成立 如图 0 cos0 xdx y x 图 1 图 2 25 图4 1 x y 1 1 cosyx 2 1 A 2 A 解 略 四 定积分的性质四 定积分的性质 1 如果在上 则 ba1 xf b a dxxf abdx b a 1 2 为常数 b a dxxkf b a dxxfk k 3 可推广的有限个可积函数 b a dxxgxf b a dxxf b a dxxg 的情形 4 有 积分区间的可加性 cR b a dxxf c a dxxf b c dxxf 5 如果在上 则 ba xgxf b a dxxf b a dxxg 如果在上 则 Inf ba0 xf 0f x 0 b a dxxf 0 b a f x dx 6 设 是函数在区间上的最大值与最小值 则Mm xf ba abMdxxfabm b a 7 积分中值定理 设函数在上连续 则在上至少存在一 xf ba ba 点使得 abfdxxf b a ba 该公式叫做积分中值公式 积分中值公式的几何意义积分中值公式的几何意义 在区间上至少 ba 存在一点 使得以区间为底 以曲线 ba xfy o 26 为曲边的曲边梯形面积等于与之同一底边而高为 f 的一个矩形的面积 例 3 估计定积分的值 3 2 2 2 1 sin x dx 解 在区间上恒有 2 1 sinf xx 3 2 2 2 1 1 sin2x 由性质 6 有 3 2 2 2 33 1 1 sin 2 2222 x dx 即 3 2 2 2 1 sin 2x dx 例 4 估计定积分的值 dxxe x 1 0 2 arctan 2 解 令 则 在上 2 arctan 2 xexf x 1 1 2 4 2 x exxf x 1 0 即在上单调增加 故 0 x f xf 1 0 4 1 0 1 efxff 从而 1 0 1 0 1 0 4 dxedxxfdx 即 1 0 2 4 arctan 1 2 edxxe x 例 5 比较下列各对积分值的大小 1 2 11 2 00 xdxx dx 与 2 0 2 sinsin2xdxxdx 与 解 1 2 0 1 xxx 时 11 2 00 xdxx dx 2 当时 0 sin0 2 xx 时 2 x sin20 x 由性质 4 2 0 2 sinsin2xdxxdx 小结 本节给出了定积分的概念 性质及几何意义 要求学生深刻理解 定 积分 分割求近似 求和取极限 的数学思想 这种数学思想在解决实际问题 中尤为重要 了解定积分的性质及几何意义 为后续定积分的计算及应用打下 27 坚实基础 4 估计下列积分值的范围 4 2 1 1 xdx 第二讲第二讲 4 4 4 4 公式公式NewtonLeibniz 定积分作为一种特定和式的极限 直接按定义 来计算是十分繁杂的事 如果被积函数比较复杂 其难度更大 本节将通过定积分与原函数关系的讨 论 寻找一种计算定积分的简便有效的方法 一 积分上限函数一 积分上限函数 设在上连续 为上任一点 现 xf bax ba 在考察在部分区间上的定积分 由于在上连续 所以 xf x a dttf tf xa 定积分一定存在 并且它是关于积分上限的函数 记为 x a dttf x x 即 x x a dttf 从几何上看 这个函数表示区间上曲边梯形的面积 又称为面 x xa 积 函数 关于这个函数有以下定理 1 如果函数在上连续 则函数是函数Theory xf ba x x a dttf 的一个原函数 即有 xf xfdttf dx d x x a 或 x a dxxfdttfdxd 28 证明 设给以增量 则函数的相应增量为xx x xxxx xx a dttf x a dttf x a xx x x a dttfdttfdttf xx x dttf 由定积分中值定理有 x xx x dttf xf 其中在和之间 用除上式两端得 xxx x f x x 由于假设在上连续 而 即 此时 xfy ba0 xx xff 令 对上式两端取极限便得到 0 x xfx 此定理表明 如果函数在上连续 则它的原函数必定存在 并 xf ba 且积分上限函数便是的一个原函数 此定理又称为原函数存在性定 x xf 理 例 1 已知 求 2 x t a xe dt x 0 例 2 求 2 2 0 sin x d t dt dx 若 其中在区间上连续 可微 则 x a G xf t dt f x ba x Gxx fx 例 3 已知 求 2 x x G xf t dt Gx 例 4 3 0 4 0 sin lim x x t dt x 例 5 求 2 1 cos 0 2 lim x dte t x x 29 解 dx d dte t x 21 cos dx d dte t x 21cos 1 x xe 2 cos sin 利用罗比塔法则得 2 1 cos 0 2 lim x dte t x x ex xe x x 2 1 2 sin lim 2 cos 0 二 二 公式公式NewtonLeibniz 问题 如果一物体作变速直线运动 其速度 它从时刻到时 tvv at 刻所经过的路程等于定积分 bt b a dttvS 另一方面 若已知物体运动时的路程 则它从时刻到时刻 tSS at 所经过的路程为 故有 bt S aSbS S b a dttv aSbS 1 因为 即路程是速度的原函数 所以 1 式表示 tvtS tS tv 速度在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量 tv ba tv tS ba aSbS 所以 1 式又可写为 2 bb aa S t dtv t dt aSbS 一般地 对于任意 则有 3 bax x a dttS aSxS 2 设函数在闭区间上连续 又为在区间Theory f x ba F x f x 上的一个原函数 则有 ba b a f x dxF bF a 证明 由题设可得 由1 积分上限函数也是 Fxf x Theory x 在区间上的一个原函数 且 xf ba xfx 由的2 可得 Lagrange s Theory Inf x a xf t dtF xC 30 当时 从而 xa 0 a a af t dtF aC CF a 当时 xb b a bf t dtF bCF bF a 即 b a f t dtF bF a 定理 1 和定理 2 揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之间的内在联系 因此统称为微积分基本定理 为方便 常将公式表示为 NewtonLeibniz b b a a f t dtF xF bF a 例 6 求下列积分 1 2 3 4 1 4 0 x dx 1 2 1dx x 2 3 1 1 xdx x 1 2 2 01 x dx x 例 7 注意绝对值符号 2 0 1xdx 例 8 求 dxx 0 2cos1 解 dxx 0 2cos12cos2 0 2 dxx dxx 0 cos 2 0 sin2 x 2 sin2x 22 例 9 设 求 1 2 1 1 1 2 xx xx xfdxxf 2 0 例 10 教材 125 页例 9 注意 在计算定积分时 若被积函数中带有绝对值或偶次根式的 在去掉 绝对值符号或根式时 一定要考虑所在积分区间的负性 小结 积分上限函数 牛顿 莱布尼兹公式 31 第三讲第三讲 定积分的积分法定积分的积分法 一 定积分的换元法一 定积分的换元法 例 1 4 01 dx x 方法一 用公式求 NL 21 2 1 111 dxtdt dt ttx 2 ln1 2 ln 1 ttcxxc 于是 4 4 0 0 2 ln 1 42ln3 1 dx xx x 在此解题过程中 若在换元的同时 更换积分限 将会是解题过程简化 方法二 令 则 且当时 当时 tx 2 2xtdxtdt 0 x 0t 4x 于是2t 42 2 0 00 2 2ln 142ln3 11 dxtdt tt tx 这种解法省去了变量回代这一步 而这一步在计算中往往也不是十分简单 32 的 一般地 定积分的换元积分法可叙述如下 1 设函数在上连续 函数在或上有连Theory xf ba tx 续导数 且 则 ba dtttfdxxf b a 注意 新旧积分限的对应关系 例 2 ln2 0 1 x edx 解 设 2 2 2 1 ln 1 1 x t etxtdxdt t 则 当时 时 于是0 x 0ln2tx 1t ln211 22 000 21 12 1 11 x t edxtdtdt tt 1 0 2 arctan 2 2 tt 例 3 22 0 0 a ax dxa 解 设 则 且时 taxsin dtadxcos 0 x0 t 2 tax 故 dxxa a 0 22 dtt a tdta 2 0 2 2 0 22 2cos1 2 cos 4 2sin 2 1 2 2 2 0 2 a tt a 换元公式也可以反过来使用 即 b a dxxxf dttf 练习 dx ax a 022 1 0 a 例