数学：让我们合理地猜想

1 数学 让我们合理地猜想数学 让我们合理地猜想 刘浩文刘浩文 余姚市第八中学 余姚市第八中学 浙江余姚浙江余姚 315430315430 摘摘 要 要 本文针对当前数学课堂过分注重演绎 推理 过分强调形式 逻辑的弊端 提出教猜想 学猜 想 利用现代认知心理理论 探讨了猜想在认知活动中的作用 发生机制及实现途径 并把猜想分为线 性猜想和非线性猜想两类 在教师队伍 教学模式和学法指导等方面 分析了教猜想 学猜想的条件和 要求 关键词 关键词 演绎 猜想 数学猜想 没有大胆的猜想 就没有伟大的发现 没有大胆的猜想 就没有伟大的发现 牛顿 如何在数学教育中培养学生的创新能力和创新意识 是摆在每位数学教育工作者面 前的重大课题 传统的数学教学注重演绎推理 教师进行 像是帽子里突然跑出一只兔 子 式的讲解 学生进行 程序输入 式的解题训练 教材也毫不吝啬地砍去了活生 生的知识发生过程 这些极大地妨碍了学生思维能力的培养 尤其妨碍学生可持续发展 潜力的挖掘 反思传统的数学教学 笔者提倡教猜想 学猜想 通过猜想能力 猜想意 识和猜想习惯的培养 使创新能力和创新意识的培养落到实处 猜想思维无疑是创造性 思维 而猜想意识和猜想习惯是学生可持续发展的重要品质 本文拟对猜想粗抒已见 以求教于大方 猜想 数学思辨活动的关键一步猜想 数学思辨活动的关键一步 猜想是对研究的对象或问题进行观察 实验 分析 比较 联想 类比 归纳等 依据已有的材料知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法 人们认识事 物是一个复杂的过程 往往需要经历若干阶段才逐渐从现象认识到事物的本质 开始只 能根据已有的部分事实及结果 运用某种判断推理的思维方法 对某类事实和规律提出 一种推测性的看法 这种推测性的看法就是猜想 因此 数学猜想就是指依据某些已知 事实和数学知识 对未知量及其关系所作出的一种似真推断 现代认知理论认为 学习是主体主动的意义建构活动 是主体在头脑里建立和发展 数学认知结构的过程 是数学活动及其经验内化的过程 因此 猜想是在建构活动中 主体的数学认知结构对当前面临的新知识 新问题进行的预测性的重组 整合的过程 它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡 鉴于此 笔者进一步认为 猜想是 对抽象化的 形式化的数学材料进行思辨的建构活动 思辨中缺少了猜想 有些猜想人 作者简介 刘浩文 1973 男 浙江师范大学数学系在读教育硕士研究生 2 们无法意识到 或者说达到了自动化 数学材料就不能形成主体的心理意义 从而造成 意义建构失败 所以 猜想是构建数学认知结构时 主体思辨活动的关键一步 从另一 侧面 猜想能促进知识的同化和顺应的进行 加速知识的发生和迁移 同时 猜想既有 一定的科学性 又有一定的假定性 这一层面上又反映出猜想思维的敏捷性 灵活性以 及批判性 值得指出的是 数学猜想和数学演绎并不是对立的 在数学演绎中蕴含着猜想 而 猜想又应以演绎为前提和后行的 猜想是一种合情推理 它与论证所用的逻辑推理相辅 相成 是一种创造性的思维活动 它既是科学发现的先导 也是实现问题解决的一种重 要手段 猜想 生动活泼 妙想天开猜想 生动活泼 妙想天开 猜想是数学发展的动力 数学猜想不但促进了数学理论的发展 而且也促进了数学 方法论的研究 我们知道 一个学科只有大量的问题提出 才能使它永葆青春 正因为 历史上有诸如哥德巴赫猜想 费尔马猜想等猜想的提出 数学科学才发展为今天壮观的 现代数学 数学地思维就意味着猜想的产生 如证实后 3sin sin sin sin 4 1 33 你会直觉性猜想到和 3cos cos cos cos 4 1 33 猜想的诞生就预示着数学发现 如非欧几何的发 3tan tan tan tan 33 现 倘若要把数学学习与数学发现联系起来的话 那么就必须给学生提供一些解决问题 的机会 让他们对一些适合自己水平的数学事实先进行猜想 然后再补行证明 以下例 子 一方面以小见大 阐明猜想是充满生机的心智活动 另一方面说明初等数学中处处 有猜想 只要教师善于挖掘 学生能于捕捉 例 圆的面积公式 分析 课本中是用定理的形式把 直塞 给学生 同时用内接正多边形面 2 RS 圆 积 逼近 的思想权作直观解释 这种解释能让学生动手吗 既然已用了 逼近 思想 依据化生为熟的原则 何不引导学生猜想化圆为 方 呢 如下图 是一个近似平行四边形 能拼成近似三角形吗 近似梯形呢 对 再细分 这些近似图形的面积是多少 注意 圆的周长公式已知 从直观图形的演变 推导面 3 A BC A B C 积公式 让学生感受到猜想的妙趣 又学会了一种化归思想 在推导球的体积公式时 近似小锥体也是这样的 兔子 例 m n 行 列 的矩形棋盘街的走法数 棋盘街规定只能向右或向下走 分析 经历 试验 分析 猜想 验证 的思维过程 如下所示 试验性猜想 数字特征发现杨辉三角 联想 构造性猜想 旋转 拓展 验证 1 1 1 2 1 11 63 1 132 1 2 1 1 1 1 6 1 3 1 3 1 2 Cm m n n 2 2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 m X n 例 已知如图 在直三棱柱 ABC A B C 中 BC A C BC AB 求证 ABC 等腰三角形 分析 此题的难点是确定 ABC 的底边 这必须靠猜想 猜想 BC 为底边 理由是 BC 同时与 A C 和 AB 垂直 猜想 若加上条件 A C AB 则 ABC 为正三角形 猜想 有 A C AB 时 此三棱柱可 旋转 理由是直三棱柱 且 AB BC CA 具有垂直的轮换性 直觉此三棱柱沿上 下底面 的 假设的 中心连线旋转 120 时 垂直 重合 通过猜想 肯定 从而肯定 由分析可知 猜想为难点找到了突破口 而且得 到猜想 以及证明的途径 只有自由的思想才会这样轻松猜想 激活学生思维的火花时 让学生猜想吧 给学生 说 和 做 的机会 另外 我们清醒地注意到数学高考对猜想能力的考查日趋加深 如 1998 年数学高考 试题 理 25 题 1999 年的 理 23 题等 而且内容上已跳出了数列范围 考查的形式 也是多样的 这从另一侧面反映出猜想能力的重要性 以及培养的必要性 猜想 分类和实现途径猜想 分类和实现途径 上海师大胡炯涛 先生把猜想分为如下五种基本形式 探索性猜想 归纳性 猜想 类比性猜想 试验性猜想 构造性猜想 浙江师大任樟辉 先生把猜想分 为如下五种形式 类比性猜想 归纳性猜想 探索性猜想 仿造性猜想 审 美性猜想 从猜想的命名可知 他们的分类依据是实现数学猜想的途径和方法 由于实 现猜想的途径和方法具有多样性和不定性 这就造成了以上分类的局限性和狭隘性 另 外 猜想作为人类赖于生存的思维方法 它的分类就应反映猜想的思维特性 基于以上 考虑 笔者把猜想分为如下两类 i 线性猜想 即直线性猜想 是指猜想的结论或解题途径唯一 是依靠形象材料 如式的特征 图形的性质 的意识得到对材料的猜想 思维清晰 单向性是其明显的 4 特征 这种猜想往往具有直接感悟的成分 如例 的直觉构造性猜想 例 的类比 归 纳性猜想 非线性猜想 即猜想是点状发散的 点是猜想的依据 发散是多端的 联想异 常丰富 当然并非所有的端点都是可行的 合理的 它需要主体的合理选择 因而充满 试验性 探索性 具有演绎的痕迹 上述例子表面上看来都是线性猜想 其实不然 如例 中也可猜想为近似三角形 梯形等 只是限于篇幅 笔者有心割爱 事实上 猜想的发生过程是开放的 当主体的 知识越丰富 分析越全面 猜想就越是多端的 即非线性猜想 突出地表现在一题多解 之中 进一步 当主体的数学知识组块 数学形象直感 块状思维达到一定水平时 猜 想就能以高度省略 简约 浓缩的方式洞察到问题实质 此时的猜想就很难转换成 慢镜 头 从另一侧面看 线性猜想具有盲目性 无选择性 而非线性猜想即是具有较成熟的 选择性强的猜想 非线性猜想要求的知识面无疑较广 一般学生的猜想都是较极端的线 性猜想 因而我们应致力于培养学生的非线性猜想 提高其分析能力 提高猜想的合理 性 有效性 至于猜想的实现途径 以上分析中已提到 它们可能是探索试验 类比 归纳 构 造 联想 审美以及它们之间的组合等 数学猜想是有一定规律的 如类比的规律 归 纳的规律等 并且要以数学知识和经验为支柱 实施猜想前 请记住 在证明一个数学问 题之前 你先得猜想这个问题的内容 在你完全作出详细证明之前 你先得猜想证明的思 路 猜想 走进数学课堂猜想 走进数学课堂 笔者在此谈论猜想 并不是要取消 逻辑证明 演绎推理 而是针对当前数学课堂 中 重形式淡过程 重知识淡能力 重证明淡猜想 的教学弊端 竭力要让猜想占有适当 的位置 使猜想走进数学课堂 那么 我们该做点什么呢 1 建立一支会猜想的科研型教师队伍 很难想象 一位既不懂猜想也不会猜想的教师 能培养出具有高水平猜想能力的学生 教猜想必须懂猜想 会猜想 基于这样的认识 我们的数学教师应具备较高的猜想能力 懂得现代教育心理理论 大胆地猜想和教猜想 同时密切关注学生的思维发展状况 摸索猜想规律 总结经验 并在理论上加以探索 论证 2 探索培养学生猜想能力的数学教学模式 数学教学必须注重知识的发生过程 但真 正能做到展示知识的生动发生过程的 惟有让学生参与猜想 要真正体现学生的主体性 就必须使学生的认知过程是一个再创造的过程 教学中必须渗透 猜想 证明 的发现问 题和解决问题的科学思维 数学教师必须发挥自己的聪明才智 总结当前好的教学模式 探索出符合培养猜想能力的教学模式 如张思明先生探索的 导学探索 自主解决 教学模式 就体现出猜想的勃勃生机 3 加强方法论意义上的以猜想为内核的学法指导 拉卡托斯指出 朴素的猜想构成了 数学发现的逻辑实际出发点 从某种意义上可以断言 没有猜想和证明就没有数学 因 5 此 应教会学生怎样猜想 如引导他们怎样整合材料 提出疑问 又如何猜想结果或问 题解决的途径 介绍各种实现猜想的途径 步骤 规律 方法 共同研究猜想途径的合 理性和有效性等 4 营造宽松的 良好的猜想氛围 教师不必去限制学生思维的疆域 鼓励学生积极思 考 不迷信已有结论 不满足现成解答 大胆猜想 不断开拓 教师应随时点燃学生猜 想的导火线 甚至教师本身直接成为学生猜想的导火线 猜想合理的进行鼓励 猜想偏 向的进行引导 不猜想的进行鞭策 让猜想 访问 每一位学生 使学生的被动的猜想 行为转变成自觉的猜想行为 师生共同构建数学猜想共同体 请允许笔者再一次呼吁 让我们教猜想 学猜想吧 参考文献 参考文献 1 美 G 波利亚 数学与似真推理 杨迅文等译 福州 福建人民出版社 1985 2 任樟辉 数学思维论 南宁 广西教育出版社 1996 157 164 3 胡炯涛 数学教学论 南宁 广西教育出版社 1996 259 262 4 美 G 波利亚 数学与似真推理 杨迅文等译 福州 福建人民出版社 1985 5 张思明 数学教学要为学生创设激发创造的环境 人民教育 1999 6 46 49 Mathematics Let s reason plausibly Liu Haowen Yuyao No 8 middle school Zhejiang Yuyao 315430 China Abstract The paper is aiming at those imperfections including emphasizing operation and reasoning logic and form in today s mathematics course pointing out teaching plausible reason and learning plausible reason Meanwhile the paper discusses that role of plausible reason in the students cognitive development action the principles of generation and the courses to attain on modern cognitive psychological theory and it is based on the analysis of the mathematical examples to divide the plausible reason up with linear