时间序列模型案例

1 2 6 案例分析 1 中国人口时间序列模型 file b2c1 4 6 8 10 12 14 5055606570758085909500 Y 0 2 0 1 0 0 0 1 0 2 0 3 5055606570758085909500 DY 图 2 11 中国人口序列 1949 2000 图 2 12 中国人口一阶差分序列 1950 2000 从人口序列图可以看出我国人口总水平除在 1960 和 1961 两年出现回落外 其余年份 基本上保持线性增长趋势 47 年间平均每年增加人口 1451 5 万人 年平均增长率为 17 5 由于总人口数逐年增加 实际上的年人口增长率是逐渐下降的 把 47 年分为两个时期 即改革开放以前时期 1949 1978 和改革开放以后时期 1978 1996 则前一个时期的 年平均增长率为 20 后一个时期的年平均增长率为 13 4 从人口序列的变化特征看 这是一个非平稳序列 见人口差分序列图 建国初期由于进入和平环境 同时随着国民经济的迅速恢复 人 口的年净增数从 1950 年的 1029 万人 猛增到 1957 年的 1825 万人 由于粮食短缺 三年 经济困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期 1960 1961 人口净增值不但没 有增加 反而减少 随着经济形势的好转 从 1962 年开始人口年增加值迅速恢复到 1500 万的水平 随后呈连年递增态势 1970 年是我国历史上人口增加最多的一个年份 为 2321 万人 随着 70 年代初计划生育政策执行力度的加强 从 1971 年开始 年人口增加值逐年 下降 至 1980 年基本回落到建国初期水平 1981 至 1991 年人口增加值大幅回升 主要原 因是受 1962 1966 年高出生率的影响 1963 年为 43 73 这种回升的下一个周期将在 2005 年前后出现 但强势会有所减弱 从数据看 1992 年以后 人口增加值再一次呈逐年 下降趋势 由于现在的人口基数大于以往年份 所以尽管年增人口仍在 1 千万人以上 但 人口增长率却是建国以来最低的 1996 年为 10 5 从 yt的变化特征看 1960 1961 年数据可看作是两个异常值 其它年份数据则表现为平稳特征 但也不是白噪声序列 而 是一个含有自相关和 或 移动平均成分的平稳序列 下面通过对人口序列 yt和人口差分序列 Dyt的相关图 偏向关图分析判别其平稳性以 及识别模型形式 图 2 13 yt的相关图 偏相关图 2 图 2 14 Dyt的相关图 偏相关图 虚线到中心线的距离是 2 1 0 28 51 见图 2 13 和图 2 14 人口序列 yt是非平稳序列 人口差分序列 Dyt是平稳序列 应该用 Dyt建立模型 因为 Dyt均值非零 结合图 2 14 拟建立带有漂移项的 AR 1 模型 估计结果 如下 Dyt 0 1429 0 6171 Dyt 1 0 1429 vt 8 7 5 4 R2 0 38 Q 5 2 Q k p q Q0 05 10 1 0 16 9 整理 Dyt 0 0547 0 6171 Dyt 1 vt 特征根是 1 0 62 1 61 EViews 操作方法 从 EViews 主菜单中点击 Quick 键 选择 Estimate Equation 功能 随即会弹出 Equation specification 对话框 输入 1 阶自回归时间序列模型估计命令 C 表示 漂移项 如下 DY C AR 1 3 图 2 15 表 2 5 中模型 1 残差序列的相关图 偏相关图 下面进行预测 Dy2001 0 0547 0 6171 Dy2000 vt 0 0547 0 6171 0 0957 0 1138 y2001 y2000 Dy2001 12 6743 0 1138 12 7881 EViews 给出的预测值是 12 78806 两种计算途径的结果相同 EViews 操作是 把样本容量调整到 1949 2001 打开估计式窗口 在方程设定 Equation Specification 选择框输入命令 D Y C AR 1 保持方法 Method 选择框的 缺省状态 LS 方法 在样本 Sample 选择框中把样本范围调整至 1949 2000 点击 OK 键 得到估计结果后 点击功能条中的预测 Forecast 键 得对话框及各种选择状态见下 图 4 点击 OK 键 YF 和 YFse 序列出现在工作文件中 打开 YF 序列窗口 得 2001 年预测值 12 78806 见前图 已知 2001 年中国人口实际数是 12 7627 亿人 预测误差为 0 002 7627 12 7627 127881 12 解法 2 把中国人口序列 yt看作是含有确定性趋势的时间序列 前提是中国人口序列 yt必须是 退势平稳序列 用 yt对时间 t 回归 得 yt 5 0152 0 1502 t ut 110 102 R2 0 995 1949 2001 单位根检验式如下 dut 0 0940 ut 1 0 6681 dut 1 2 5 6 3 R2 0 45 1951 2001 ut是一个平稳序列 所以 yt是一个退势平稳序列 有理由建立一个含有固定趋势项的是时 间序列模型 通过观察 ut的相关图和偏相关图 判定 ut是一个二阶自回归过程 建立含有 固定趋势项的二阶自回归模型如下 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 5055606570758085909500 RESID yt 4 9729 0 1508 t 1 5503 ut 1 0 6491 ut 2 vt 1949 t 1 34 9 35 4 13 7 5 9 R2 0 995 1951 2000 或写为 yt 4 9729 0 1508 t ut 1949 t 1 34 9 35 4 其中 ut 1 5503 ut 1 0 6491 ut 2 vt 1949 t 1 13 7 5 9 根据上式预测 2001 年中国人口预测数是 12 9664 亿人 已知 2001 年中国人口实际数 是 12 7627 亿人 预测误差为 0 016 7627 12 7627 129664 12 5 案例 2 日本人口时间序列模型 日本历史上有两次大规模向国外学习的过程 一次是大化改新 大化改新 公元 645 649 是一场以圣德太子政治理念为基础的贵 族革命 圣德太子 公元 574 622 一心加强皇权 决心向中国学习 启蒙日本 他四度 向中国派遣使团和留学生 在它的影响下 其死后 23 年 即公元 645 年 中大兄皇子发动 政变 成功地建立了类似唐朝的中央集权机构 一次是明治维新 明治维新始于 1868 年 从而开始了全面向西方学习的历史 口号是 富国强兵 主要措施是 1 加强中央集权 1871 年实施 废藩治县 2 1872 年采 取美国三权分立的政治体制 3 1872 年统一货币 实行 1 日元 1 美元的兑换率 3 1872 年开始修铁路 建立现代统计制度 采用阳历等 4 1873 年迁都东京 福泽谕吉 1835 1901 教育家 启蒙思想家 人口数字之所以起于 1872 年 是因为 1872 年日本才有了全国人口统计数字 在 122 6 年间 1872 1994 日本人口从 3480 6 万人增至 12503 4 万人 3 6 倍 日本人口增加的 特点是两头慢 中间快 同时在 1944 1946 年和 1972 年人口总量出现了激烈波动 1944 1946 年的波动是因为战败 1972 年的波动是由于美国归还冲绳 由图 1 中的相关图可以判 定日本人口序列 yt是一个非平稳序列 由图 2 可以看出日本人口差分序列 Dyt是一个平稳 序列 图 3 是日本人口的二次差分序列 DDyt 它也是一个平稳序列 差分序列 Dyt的极差 是 0 059 差分序列 DDyt的极差是 0 087 可见 DDyt是一个过度差分序列 应该用 Dyt建 立时间序列模型 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 1 2 1 4 188019001920194019601980 Y 0 03 0 02 0 01 0 00 0 01 0 02 0 03 0 04 188019001920194019601980 DY 图 1 日本人口序列 yt 日本人口差分序列 Dyt 图 2 yt的相关图与偏相关图 Dyt的相关图与偏相关图 0 04 0 02 0 00 0 02 0 04 0 06 188019001920194019601980 DDY 图 3 日本人口二次差分序列 D2yt D2yt相关图 偏相关图 由 Dyt的相关图 偏相关图 见图 2 初步判定应建立 AR 3 或 AR 4 模型 估计结 果如下 AR 3 模型 7 图 4 EViews 估计结果 图 5 模型 2 79 残差的相关图与偏相关图 对应的模型表达式是 Dyt 0 0076 0 2627 Dyt 1 0 0076 0 2767 Dyt 3 0 0076 vt 7 4 3 0 3 2 R2 0 19 Q 7 0 Q k p q Q0 05 15 3 0 21 0 整理 Dyt 0 0076 1 0 2627 0 2767 0 2627 Dyt 1 0 2767 Dyt 3 vt Dyt 0 0035 0 2627 D yt 1 0 2767 D yt 3 vt 通过 t 值 DW 值 F 值和 Q 值 说明 2 79 式是一个满意的日本人口模型 图 5 显示模 8 型 2 79 的残差中已不含有自回归和移动平均成分 模型特征方程的 3 个根是 z1 1 0 75 1 33 z2 1 0 24 0 56 i 0 9375 2 1875i z3 1 0 24 0 56 i 0 9375 2 1875i 下面利用模型 2 79 预测 y1995 并计算预测误差 已知 dy1994 0 0027 dy1992 0 00409 则预测结果是 1995 0 0035 0 2627 Dy1994 0 2767 Dy1992 Dy 0 0035 0 2627 0 0027 0 2767 0 0041 0 0053 1995 y1994 1995 1 25034 0 0053 1 25564 y Dy 已知 1995 年日本人口实际数是 1 25569 亿人 预测误差为 0 00004 25569 1 25569 1 25564 1 日本人口数据也可以拟合成一个不含漂移项的 AR 4 模型 估计结果如下 Dyt 0 2559 Dyt 1 0 1933 Dyt 2 0 2687 Dyt 3 0 2096 Dyt 4 ut 11 59 2 8 2 1 2 9 2 3 R2 0 18 DW 2 0 F 8 1 Q 15 6 0 2 0 05 11 19 7 11 59 式中的所有自回归系数都通过了 t 检验 DW 2 0 Q 15 6 0 2 0 05 15 4 19 7 模 型特征方程的 4 个根是 z1 1 0 97 1 03 z2 1 0 09 0 63 i 0 23 1 62 i z3 1 0 09 0 63 i 0 23 1 62 i z4 1 0 54 1 85 4 个根的值都在单位圆以外 可见 11 59 式也是一个满意的日本人口时间序列模型 下面利用模型 11 59 预测 y1995 并计算预测误差 已知 Dy1994 0 0027 Dy1993 0 0031 Dy1992 0 0041 Dy1991 0 0043 可以由原始数据计算出来 则预测结果是 1995 0 2559 Dy1994 0 1933 Dy1993 0 2687 Dy1992 0 2096 Dy1991 Dy 0 2559 0 0027 0 1933 0 0031 0 2687 0 0041 0 2096 0 0043 0 00329 1995 y1994 1995 1 25034 0 00329 1 25363 y Dy 已知 1995 年日本人口实际数是 1 25569 亿人 预测误差为 0 00164 25569 1 25569 1 25363 1 案例 3 日元兑美元汇价序列模型 9 8 6 4 2 0 2 4 6 200400600800100012001400 DJPY 8 4 0 4 8 200400600800100012001400 D DJPY 10 对应的模型表达式是 Dyt 0 0541 Dyt 2 0 0859 Dyt 3 vt 2 0 3 3 Q 10 7 0 R2 0 01 Q k p q Q0 05 10 3 0 14 0 通过 t 值 DW 值和 Q 值 说明上式是一个满意的模型 模型的残差中已不含有自回归和 移动平均成分 11 对应的模型表达式是 Dyt vt 0 0555 vt 2 0 08886 vt 3 2 1 3 4 Q 10 6 6 R2 0 01 Q k p q Q0 05 10 3 0 14 0 通过 t 值 DW 值和 Q 值 说明上式是一个满意的模型 模型的残差中已不含有自回归和 移动平均成分 转换函数模型 transfer function model 已经学习过回归模型和时间序列模型 如果把这两种分析方法结合在一起 有时会得 到比其中任何一种方法都好的预测结果 例如有如下回归模型 yt 0 1 xt ut 15 其中 xt是解释变量 yt是被解释变量 ut是随机误差项 上述模型的估计式是 yt xt 0 1 t u 通常可决系数 R2小于 1 令 0 用上式可预测 yt的值 是一个平稳的残差序列 时 t u t u 间序列分析的一个有效应用是对残差序列建立 ARMA 模型 然后将上式中的残差项用 t u ARMA 模型替换 在利用上述模型预测 yt时 也可以利用 ARMA 模型先预测出的值 t u 这有时会使 yt的预测值更准确 这种回归与时间序列相结合的模型形式是 yt xt 1 L L vt 16 0 1 其中 1 L L vt vt是服从正态分布的误差项 vt的方差一般与不一样 这种回 t u t u 归与时间序列相组合的模型称作转换函数模型 transfer function model 或多元自回归移 动平均模型 multivariate autoregressive moving average model 简称 MARMA 模型 转换函数模型也可以由被解释变量及其滞后项 一个或多个解释变量及其滞后项 和