比例 讲义3.18

比和比例的意义与性质比和比例的意义与性质 考点内容考点内容 了解比 除法 分数的关系 掌握求比值和化简比的方法 理解比和比例的意义和基本性 质 掌握正比例和反比例的变化规律 了解比例尺的意义和作用 知识梳理知识梳理 1 1 比的意义和性质比的意义和性质 1 比的意义 1 比 两个数相除又叫两个数的比 在两个数的比中 比号前面的数叫比的前项 比号 后面的数叫比的后项 比的前项除以比的后项所得的商 叫比值 2 比和除法 分数的关系 项目 名称比除法分数 前项被除数分子 比号除号分数线 后项除数分母 各部分名称 比值商分数值 书写形式 a ba ba b 意义 表示两个数的倍 数关系 是一种运算 可以表示两个数 的倍数关系 还 可以是一个数 联系 性质相似 可以相互转化 比的后项 除法的除数 分数的分母都不能为 0 2 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数 0 除外 比值不变 3 求比值和化简比 1 求比值 求比的前项除以后项所得的商的过程 叫求比值 比值通常用分数表示 也可以用小数和 整数表示 2 化简比 比的前项和后项都是整数 并且互质 这样的比就是最简单的整数比 根据比的基本性质 可以把比化成最简单的整数比 这个过程就叫化简比 也叫比的化简 3 求比值和化简比的区别 内容 项目意义方法结果 求比值 求用比的前项除以后 项所得的商 根据比值的意义 用 前项除以后项 是一个数 化简比 把比化成最简单的整 数比 根据比的基本性质 前项和后项同时乘或 除以相同的数 0 除 外 是一个比 2 2 比例的意义比例的意义 1 比例的意义 1 比例 表示两个比相等的式子叫比例 组成比例的四个数 叫比例的项 两端的两项叫比例的外 项 中间的两项叫比例的内项 2 比和比例的区别 比表示两个数相除的关系 有四项 前项和后项不能交换位置 比例表示两个比相等的关系 有四项 等号左边和右边可以交换位置 2 比例的基本性质 在比例里 两个外项的积等于两个内项的积 3 解比例 根据比例的基本性质 如果已知比例中的任何三项 就可以求出这个比例中的另外一个未 知项 求比例中的未知项 叫解比例 例题讲解例题讲解 例例 1 1 把 4 9 的前项加 8 要使比值不变 后项也要加 8 考点 考查比的性质 解析 根据比的性质 前项加 8 变为 12 即扩大到原来的 3 倍 要使比值不变 后项 也应扩大到原来的 3 倍 结果为 27 所以后项要加 18 例例 2 2 甲数的 3 4 等于乙数的 4 5 且甲 乙两数均不为 0 则甲数与乙数的比是 考点 考查比例的基本性质 解析 根据题意可列出关系式 甲数 3 4 乙数 4 5 联系比例的基本性质得出 甲数 乙数 4 5 3 4 化简后得 甲数 乙数 16 15 例例 3 3 在一次数学测验中 甲 乙两同学所得的分数比是 5 4 如果甲少得 22 5 分 乙多得 22 5 分 则他们的分数比是 5 7 甲 乙原来各得多少分 考点 列比例方程 方法点拨 设原来甲的得分是 5X 分 那么乙的得分是 4X 分 根据得分变化 可列出比 例方程为 5X 22 5 4X 22 5 5 7 再按解比例的方法 可求出 X 的值 最后分 别求出甲 乙两同学原来的分数 解析 设原来甲的得分是 5X 分 那么乙的得分是 4X 分 依题意 5X 22 5 4X 22 5 5 7 5X 22 5 7 4X 22 5 5 35X 157 5 20X 112 5 15X 270 X 18 所以 甲同学原来的得分 18 5 90 分 乙同学原来的得分 18 4 72 分 课堂练习课堂练习 1 把 3 5 吨 400 千克化成最简的整数比是 比值是 2 在一个比例中 已知两个内项互为倒数 其中一个外项是 2 5 一个内项是 3 则另一 个外项是 组成的比例式是 3 将比的前项乘以 2 后项除以 1 2 比值将 A 乘 2 B 乘 4 C 除以 1 2 D 不变 4 甲把自己的钱的 1 3 给了乙以后 甲 乙两人的钱数相等 甲 乙原有钱数的比是 A 1 3 B 3 1 C 3 5 D 5 3 5 X 3 8 8 3 5 1 4 1 7 1 3 4 X 6 小华看一本书 第一天看了全书的 1 3 第二天看了 18 页 这时已看的页数和剩下的 页数之比是 7 5 那么小华第一天看了多少也 7 一段路程分成上坡 平路 下坡三段 各段路程长之比依次是 1 2 3 某人走各段 路所用时间之比依次是 4 5 6 已知他上坡时速度为每小时 3 千米 路程全长 50 千 米 问 此人走完全程用了多少时间 正比例和反比例正比例和反比例 知识梳理知识梳理 1 1 正比例正比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的比值一定 这两种量就叫成正比例的量 它们的关系叫正比例关系 若用字母 X 和 Y 表示两种相关联的量 用 k k 0 表示它们的比值 一定 则正 比例关系可以用式子 Y X k 表示 2 2 反比例反比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的积一定 这两种量就叫成反比例的量 它们的关系叫反比例关系 若用字母 X 和 Y 表示两种相关联的量 用 k k 0 表示它们的乘积 一定 则反 比例关系可以用式子 XY k 表示 3 3 正 反比例的联系与区别正 反比例的联系与区别 不同点 名称 项目相同点 特征关系式 正比例 两种量中 相对应的 两个数的比值一定 Y X k 非 0 定值 反比例 两种相关联的量 一 种量变化 另一种量 也随着变化 两种量中 相对应的 两个数的积一定 XY k 非 0 定值 例题讲解例题讲解 例例 1 1 下列各选项中 相关联的两种量成正比例关系的是 A 等边三角形的周长和任意一边的长度 B 圆锥的体积一定 圆锥的底面积和高 C 正方体的棱长一定 正方体的体积和底面积 D 利息和利率 方法点拨 判断两种相关联的量是否成正比例 就看它们是不是比值一定 若比值一定 则成 否则 就不成 据此逐项进行分析后再选择 答案详解 A 因为等边三角形周长 边长 3 一定 所以等边三角形的周长和边长成正比例 B 圆锥的底面积 高 体积 3 一定 是乘积一定 圆锥的底面积和高成反比例 C 体积 底面积 高 一定 是比值一定 所以正方体的体积和底面积成反比例 D 利息 利率 时间 本金 一定 是比值一定 所以利息和利率成反比例 故本题的答案选 A 例例 2 2 下表中 已知 a 与 b 是两种相关联的量 a60X b1550 1 当 X 200 时 a 和 b 成 比例 2 当 X 时 a 和 b 成反比例 方法点拨 该题考查对正比例和反比例的灵活运用 可以结合正 反比例的特征来解答 解析 在 a 与 b 两种量相关联的情况下 1 将 X 200 代入该表格中 有以下等式 60 15 200 50 4 所以 a 和 b 成正比例 2 根据反比例的特征 a 与 b 的乘积为定值 即 50 X 60 15 解得 X 18 课堂练习课堂练习 1 下列各式中 a 和 b a b 均不为 0 成反比例关系的是 A a 1 B a 8 C 9a 6b D b 2 已知 x y 均不为 0 满足 1 3X 1 4Y 则 X 和 Y 成 比例关系 并且 X Y 3 下图表示一辆汽车在公路上行 驶的时间与路程的关系 这辆汽车行驶的时间与路程成 比例 照这样计算 5 5 小时行驶 千米 4 甲加工 3 个零件用了 40 分钟 乙加工 4 个零件用 30 分钟 甲 乙工作效率之比为 A 3 4 B 4 3 C 9 16 D 16 9 5 完成一项工作 甲需要 10 小时 乙需要 15 小时 甲的工作效率比乙的工作效率高百分 之几 比例尺比例尺 1 1 比例尺的概念比例尺的概念 一幅图的图上距离和实际距离的比 叫这幅图的比例尺 即图上距离 实际距离 比例 尺 或图上距离 实际距离 比例尺 2 2 比例尺的分类比例尺的分类 1 数值比例尺 为了计算方便 通常把比例尺写成前项或后项是 1 的比 例如 1 100000 15 1 1 100000 2 线段比例尺 在图上附有一条表明数量的线段 例如 例题讲解例题讲解 例例 1 1 在一幅比例尺是 1 1000000 的地图上量得甲 乙两地的距离是 3 5 厘米 甲 乙两 地的实际距离是 千米 方法点拨 考查灵活运用 图上距离 实际距离 比例尺 来解决实际问题 解 比例尺 1 1000000 表示地图上的 1 厘米是实际的 1000000 厘米 则地图上的 3 5 厘米 表示实际距离为 3500000 厘米 即 35 千米 例例 2 2 在一副比例尺是 1 3000000 的地图上 量得甲 乙两地的距离是 8cm 在另一幅地图 上量得甲 乙两地的距离是 6cm 这幅地图的比例尺是多少 方法点拨 考查 图上距离 实际距离 比例尺 的灵活运用 解 先根据已知地图的比例尺和图上距离 可求得甲 乙两地的实际距离为 8 1 3000000 24000000 cm 再利用公式求得该地图的比例尺是 6 24000000 1 40000000 即这幅地图的比例尺为 1 4000000 专题综合测试专题综合测试 一 填空 4 2 分 1 北京到天津的实际距离是 120 千米 在一幅地图上量得两地的图上距离是 2 厘米 那么 这幅地图的比例尺是 2 一个长方形的周长是 130 厘米 长与宽的比是 3 2 那么该长方形的面积是 平方厘米 3 已知 5x 3y 那么 x 和 y 成 比例关系 若 5 x y 3 那么 x 和 y 成 比例 关系 4 若 a b 1 3 b c 2 5 且 a b c 69 则 a 二 判断 3 2 分 5 3 5 0 7 的比值是 5 1 6 比例尺一定 图上距离与实际距离成反比例关系 7 一条长 2 5 千米的飞机跑道 如果把它画在比例尺是 1 50000 的图纸商 这条跑道长 0 5 厘米 三 选择 4 2 分 8 比的前项扩大到原来的 3 倍 后项除以 1 3 比值 A 扩大到原来的 3 倍 B 扩大到原来的 9 倍 C 缩小到原来的 1 3 D 不变 9 小学生学习报 全国定价每份 39 6 元 则六 1 班订阅份数和总钱数 关系 A 成正比例 B 成反比例 C 不成比例 D 无法确定 10 在下面各比中 能与 1 5 1 7 组成比例的是 A 1 1 5 B 5 7 C 7 5 D 0 5 0 7 11 红旗面数是黄旗的 5 4 倍 那么红旗面数和两种彩旗总数的比是 A 5 4 B 5 9 C 9 5 D 4 5 四 计算 18 分 12