求阴影面积的常用方法

求阴影面积的常用方法求阴影面积的常用方法 计算平面图形的面积问题是常见题型 求平面阴影部分的面积是这类问题的难点 不规则阴影面积常 常由三角形 四边形 弓形 扇形和圆 圆弧等基本图形组合而成的 在解此类问题时 要注意观察 和分析图形 会分解和组合图形 现介绍几种常用的方法 一 转化法一 转化法 此法就是通过等积变换 平移 旋转 割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形 再利 用规则图形的面积公式 计算出所求的不规则图形的面积 例 1 如图 1 点 C D 是以 AB 为直径的半圆 O 上的三等分点 AB 12 则图中由弦 AC AD 和围成 的阴影部分图形的面积为 分析 连结 CD OC OD 如图 2 易证 AB CD 则的面积相等 所 以图中阴影部分的面积就等于扇形 OCD 的面积 易得 故 二 和差法二 和差法 有一些图形结构复杂 通过观察 分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的 再利用这 些规则图形的面积的和或差来求 从而达到化繁为简的目的 例 2 如图 3 是一个商标的设计图案 AB 2BC 8 为圆 求阴影部分面积 分析 经观察图 3 可以分解出以下规则图形 矩形 ABCD 扇形 ADE 所以 三 重叠法三 重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法 这类题阴影一般是由 几个图形叠加而成 要准确认清其结构 理顺图形间的大小关系 例 3 如图 4 正方形的边长为 a 以各边为直径在正方形内作半圆 求所围成阴影部分图形的面积 解 因为 4 个半圆覆盖了正方形 而且阴影部分重叠了两次 所以阴影部分的面积等 于 4 个半圆的面积和与正方形面积的差 故 四 补形法 将不规则图形补成特殊图形 利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积 例 4 如图 5 在四边形 ABCD 中 AB 2 CD 1 求四边形 ABCD 所在阴影 部分的面积 解 延长 BC AD 交于点 E 因为 所以 又 易求得 所以 五 拼接法五 拼接法 例 5 如图 6 在一块长为 a 宽为 b 的矩形草地上 有一条弯曲的柏油小路 小路任何地方的水平宽 都是 c 个单位 求阴影部分草地的面积 解 1 将 小路 沿着左右两个边界 剪去 2 将左侧的草地向右平移 c 个单位 3 得到一个新的矩形 如图 7 由于新矩形的纵向宽仍然为 b 水平方向的长变成了 所以草地的面积为 六 特殊位置法 例 6 如图 8 已知两个半圆中长为 4 的弦 AB 与直径 CD 平行 且与小半圆相切 那么图中阴影部分的 面积等于 分析 在大半圆中 任意移动小半圆的位置 阴影部分面积都保持不变 所以可 将小半圆移动至两个半圆同圆心位置 如图 9 解 移动小半圆至两半圆同圆心位置 如图 9 设切点为 H 连结 OH OB 由垂径 定理 知 又 AB 切小半圆于点 H 故 故 七 代数法 将图形按形状 大小分类 并设其面积为未知数 通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法 例 7 如图 10 正方形的边长为 a 分别以两个对角顶点为圆心 以 a 为半径画弧 求图中阴影部分的面 积 解 设阴影部分的面积为 x 剩下的两块形状 大小相同的每块面积为 y 则图中正方形的面积是 而是以半径为 a 的圆面积的 故有 解得 即 阴影部分的面积是 需要说明的是 在求阴影部分图形的面积问题时 要具体问题具体分析 从而选取一种合理 简捷的方 法 思考吧思考吧 如图 11 正方形的边长为 1 以 CD 为直径在正方形内画半圆 再以点 C 为圆心 1 为半径画弧 BD 则图中阴影部分的面积为 例 6 如图 已知 ABC 内接于 O 且 AB BC CA 4cm 则图中阴影部分的面积是 cm2 例 7 如图 A B C D 是圆周上的四点 且 AB CD AD BC 如果弦 AB 的长为 8 弦 CD 的 长为 4 那么图中两个弓形 阴影部分 的面积和是 取 3 5 环形 例 8 如图 在两个同心圆中 P 是大圆上任一点 PA 切小圆于点 A 设 PA 4 则图中阴影部分面 积是 6 扇形 例 9 如图 在矩形 ABCD 中 AB 1 AD 以 BC 的中点 E 为圆心的 MPN 与 AD 相切于 P 则图 中阴影部分的面积为 A B C D 3 2 4 3 4 3 3 二 组合图形 1 四边形与圆组合 例 10 如图 四个正方形的边长都相等 其中阴影部分面积相等的图形个数是 A 0 B 2 C 3 D 4 2 圆与圆组合 例 11 如图 AB AE 分别为两个半圆的直径 弦 CD AB 且与小圆相切 若 CD 12 则图中阴 影部分的面积为 例 12 如图 设计一个商标图案 如图阴影部分 在矩形 ABCD 中 AB 2BC 且 AB 8cm 以点为 O B C A O D C A B O B D A C O A P C B E DP M N A OABE DC A B O C D F B A D C Q A D C E B F 圆心 AD 长为半径作半圆 则商标图案面积为 cm2 4 扇形与圆组合 例 13 如图 O 半径为 2cm 直径 AB 垂直于直径 CD 以 B 为圆心 BC 的长为半径作 CED 则 CED 与 CAD 所围成的阴影部分的面积是 三 动态图形 1 翻折 例 14 矩形 ABCD 的长 宽分别为 5 和 3 将顶点 C 折过来 使它落在 AB 上的 C 点 DE 为折痕 那 么阴影部分的面积是 2 旋转 例 15 如图 将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 600 得正方形 A B C D 则旋转 前后两个正方形重叠部分的面积是 组合图形组合图形 1 求下列组合图形阴影部分的面积 O A B DC E C B D E A 2 求它的周长和面积 单位 厘米 圆的周长是 18 84cm 求阴影部分面积 长方形的面积和圆的面积相等 已知圆 求直角三角形中阴影部分的面积 的半径是 3cm 求阴影部分的周长和面积 单位 分米 下图中长方形长 6cm 宽 4cm 已知阴影 图中阴影 比阴影 面积小 48 平方厘米 比阴影 面积少 3cm2 求 EC 的长 AB 40cm 求 BC 的长 平行四边形的面积是 30cm2 一个圆的半径是 4cm 求阴影部分面积 求阴影部分的面积 已知 AB 8cm AD 12cm 三角形 ABE 和三角形 ADF 的面积 各占长方形 ABCD 的 1 3 求三