解直角三角形的应用 - 副本

1 解直角三角形的应用 在解直角三角形应用题时要善于将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关 系 即把实际问题抽象成数学模型 构造直角三角形 然后根据直角三角形的边角关系求解 对于用一个直角三角形的边不能解决的问题 可通过构造双直角三角形来解决 解题时应注意 1 弄清仰角 俯角 坡度 坡角 水平距离 垂直距离 方位角等概念的意义 2 认真分 析题意 画图找出或构建要解的直角三角形 或特殊的四边形 3 选择合适的边角关系 以便简化运算 4 按照题目要求的精确度确定答案并注明单位 要解好这类题 注意以下几点 1 细审题意 实际应用题一般文字叙述较长 除了叙述现实背景外 有的还要介绍名词术语的 含义 有的叙述方式是图形或者图表 许多同学一看便望而生畏 对此同学们必须树立解决问题的 信心 磨练认真读题的耐心 搞清题中实际背景 领悟名词术语的含义 2 抽象归纳数量关系 构建数学模型 实际应用问题浩如烟海 但从数学建模的角度来看 仅仅 是一种或几种数学方法的综合应用 3 根据建立的数学模型 应用有关的数学思想 方程 化归 分类讨论 数形结合 和方法 换 元法 配方法 待定系数法 解答问题 最终使实际问题得到解决 1 在数学活动课上 九年级 1 班数学兴趣小组的同学们测量 校园内一棵大树的高度 如图 1 设计的方案及测量数据如下 1 在大树前的平地上选择一点 A 测得由点 A 看大树顶端 C 的仰角为 35 2 在点 A 和大树之间选择一点 B A B D 在同一直线上 测得由点 B 看大树顶端 C 的仰角 恰好为 45 3 量出 A B 两点间的距离为 4 5 米 请你根据以上数据求出大 树 CD 的高度 可能用到的参考数据 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 2 如图 1 某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度 已知小明的眼睛与地面的距离 是 1 7m 看旗杆顶部的仰角为 小红的眼睛与地面的距离是 1 5m 看 ABM45 CD 旗杆顶部的仰角为 两人相距 28 米且位于旗杆两侧 点在同一条直线上 M30 BND 请求出旗杆的高度 参考数据 结果保留整数 MN21 4 31 7 3 某市在城市建设中 要折除旧烟囱AB 如图 1 所示 在烟囱正西方向的楼CD的顶端 C 测得烟囱的顶端A的仰角为45 底端B的俯角为30 已量得21mDB 1 在原图上 画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角 并分别标出仰角和俯角的大小 2 拆除时若 让烟囱向正东倒下 试问 距离烟囱东方35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着 请说明理 由 4 某人站在高为 h 的山上看空中静止的气球 仰角为 看山脚下湖中 气球的倒影 俯角为 试求气球距湖面的高度 5 5 如图 3 小山的顶部是一块平地 在这块平地上有一高压输电的铁 架 小山的斜坡的坡度 斜坡的长是 50 米 在山坡的坡底1 3i BD 处测得铁架顶端的仰角为 在山坡的坡顶处测得铁架顶端BA45 D 的仰角为 A60 1 求小山的高度 2 求铁架的高度 精确到 0 1 米 31 73 M NB O A D O C 30 45 图 1 E F BD C A A B CG 30 45 D 图 2图 1 2 6 如图梯形 ABCD 是一段水坝的横断面 已知水坝高 4 米 斜坡 AB 的坡度是 现将水坝坝 顶加宽 2 米 并使斜坡 EF 的坡度是 1 求加宽部分的梯形 AFEB 的面积 2 若水坝长 500 米 且加宽水坝工程每立方米土石的平均造价为 80 元 则此工程总造 价为多少万元 7 某大坝梯形截面 ABCD AB DC M N 分别为 AB DC 的中点 坡度如图所示 1 求的度数 2 若 求的长度 8 已知甲船在 A 处 乙船在甲船正南方向距甲船 20 海 里的 B 处 乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向航行 而甲船以每小时 8 海里的速度向北偏 西 60 方向航行 问甲 乙两船之间最近距离为多少 9 如图 2 一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60 方向 与灯塔 P 的 距离为 80 海里的 A 处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔 P 的南偏东 45 方向上的 B 处 求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离 结果保留根号 10 某校教学楼后面紧邻着一个土坡 坡上面是一块平地 如图 3 所示 BC AD 斜坡 AB 长 22m 坡角 BAD 680 为了防止山体滑坡 保障安全 学校决 定对该土坡进行改造 经地质人员勘测 当坡角不超过 500时 可确保山体不滑坡 1 求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长 精确到 0 1m 2 为确保安全 学校计划改造时保持坡脚 A 不动 坡顶 B 沿 BC 削进到 F 点处 问 BF 至少 是多少米 精确到 0 1m 参考数据 sin680 0 927 2 cos680 0 374 6 tan680 2 475 1 sin500 0 766 O cos500 0 642 8 tan500 1 191 8 11 如图 3 某一时刻太阳光从教室窗户射入室内 与地面的夹角 BPC 300窗户的一部分在 教室地面所形成的影长PE为3 5米 窗户的高度AF为2 5米 求窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽 的距离AD 精确0 1 12 如图 3 河流两岸ab 互相平行 C D 是河岸a上间隔 50m 的两个电线杆 某人在河岸 b上的 A 处测得 DAB 30 然后沿河岸走了 100m 到达 B 处 测得 CBF 60 求河流的宽 度 CF 的值 结果精确到个位 14 如图 2 所示 A B 两地之间有一条河 原来从 A 地到 B 地需要经过 DC 沿折线 图 4图 3 300 图 3 G P F E D C B A 3 A D C B 到达 现在新建了桥 EF 可直接沿直线 AB 从 A 地到达 B 地 一直 BC 11km A 45 B 37 桥 DC 和 AB 平行 则现在从 A 地到达 B 地可比原来少走多少路 程 结果精确到 0 1km 参考数据 1 412 sin37 0 60 cos37 0 80 17 如图 4 已知某小区的两幢 10 层住宅楼间的距离为 AC 30 m 由地面向上依次为第 1 层 第 2 层 第 10 层 每层高度为 3 m 假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长 EC h 太阳光线 与水平线的夹角为 1 用含 的式子表示h 不必指出 的取值范围 2 当 30 时 甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层 若 每小时增加15 从此时起几 小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 19 市政府投资 3 个亿拟建的民族高中 它位于北 纬 31 教学楼窗户朝南 窗户高度为 h 米 此地一年 的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为 夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 若你是一名设计师 请你为教学楼的窗户设 12 如图 3 所示 某超市在一楼至二楼之间安装 有电梯 天花板与地面平行 请你根据 图中数据计算回答 小敏身高 1 78 米 她乘电梯会有碰头危险吗 姚明身高 2 29 米 他乘电梯 会有碰头危险吗 可能用到的参考数值 sin270 45 cos270 89 tan270 51 计一个直角形遮阳蓬 BCD 要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光 又能最大限度地使冬天 温暖的阳光射入室内 如图 根据测量测得 32 6 82 5 h 2 2 米 请你求出 直角形遮阳蓬 BCD 中 BC 与 CD 的长各是多少 结果精确到 0 1 米 参考数据 sin32 6 0 54 sin82 5 0 99 tan32 6 0 64 tan82 5 7 60 分析 本题让我们同学作为设计师 为教学楼的窗户设计一个符合题目条件的遮阳蓬 背景现实 又富有挑战性 解题的关键是能把 能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光 又能最大限度地使冬天 温暖的阳光射入室内 转化为通过遮阳蓬边缘的光线 夏天时只能射到窗户的下边缘 而冬天时 要尽可能地射到窗户的上边缘 从而构建出几何模型 利用直角三角形进行解题 解 由题意得 BDC ADC 在 Rt BCD 中 tan CD BC 在 Rt ADC 中 tan CD hBC 由 可得 tantan tantan tan h