相似三角形基本知识点及典型例题

1 相似三角形相似三角形 一 知识点梳理一 知识点梳理 知识点一 知识点一 比例线段比例线段 1 比例 如果两个数的比值与另两个数的比值相等 就说这四个数成比例 通常我们把四dcba 个实数成比例表示成 或者 a b c d 期中 b c 称为比例内项 a d 称为比例外项 ac bd 等式两边同乘以 bd 可得 ad bc 反过来等式 ad bc 同除以 bd 可得 ac bd ac bd 2 比例线段 在四条线段中 如果的比等于的比 即 那么这四条线dcba ba和dc和 ac bd 段叫做成比例线段 简称比例线段 dcba 3 比例中项 如果三个数 a b c 满足比例式 那么 b 叫做 a c 的比例中项 此时有 ab bc 2 bac 4 黄金分割 如果点 P 把线段分成两条线段 AP 和 PB 使 那么称线段 AB 被点 P 黄AB PBAP APAB 金分割 点 P 叫做线段的黄金分割点 比值叫做黄金比 0 618AB 51 2 长短 全长 5 比例式变形 或 acabcd bdbd aac bbd ab cd acdc bdba db ca 交换内项 交换外项 同时交换内外项 例例 1 如果 那么 a b 2 3 a a b 例例 2 若 则的值是 a b 3 5 a b b A B C D 8 5 3 5 3 2 5 8 例例 3 若 4x 5y 则 x y 例例 4 若 则 3 x 4 y 5 z y zyx x xzy 例例 5 已知 则的值为 例例 6 如果 x y z 1 3 5 那么 13 yx 7 y y yx zyx zyx 3 3 2 例例 7 7 如果 且 那么 3 2 b a 3 2 ba 5 1 ba ba 例例 8 8 如果 那么 2 c z b y a x cba zyx 32 32 例例 9 已知 x 求 x c ba a cb b ac 知识点二 知识点二 相似三角形相似三角形 1 定义 如果两个三角形中 三角对应相等 三边对应成比例 那么这两个三角形叫做相似三角形 如 ABC 与 DEF 相似 记作 ABC DEF 几种特殊三角形的相似关系 两个全等三角形一定相似 两个等腰直角三角形一定相似 两个等边三角形一定相似 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似 知识点三 知识点三 相似三角形的判定相似三角形的判定 1 定义法 三个对应角相等 三条对应边成比例的两个三角形相似 2 平行法 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角 形与原三角形相似 3 判定定理 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两 个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 4 判定定理 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹 角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 5 判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这 两个三角形相似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 相似三角形的几种基本图形 相似三角形的几种基本图形 1 如图 称为 平行线型 的相似三角形 有 A 型 与 X 型 图 2 如图 其中 1 2 则 ADE ABC 称为 斜交型 的相似三角形 有 反 A 共角型 反 A 共角共边型 蝶型 3 如图 称为 垂直型 有 双垂直共角型 双垂直共角共边型 也称 射影定理型 三垂 直型 E E 1 2 4 2 E C A B D E A B C D E AD C B 1 E A B C D 3 D B C A E 3 4 如图 1 2 B D 则 ADE ABC 称为 旋转型 的相似三角形 例例 1 如图 ABC AED 其中 DE BC 写出对应边的比例式 例例 2 2 如图 已知 ABC ADE AE 50 cm EC 30 cm BC 70 cm BAC 45 ACB 40 求 1 AED和 ADE的度数 2 DE的长 例例 3 如图 小正方形的边长均为 1 则下列图中的三角形 阴影部分 与 ABC 相似的是 例例 4 如图所示 已知中 E 为 AB 延长线上的一点 AB 3BE DE 与 BC 相交于 F 请找出 图中各对相似三角形 并求出相应的相似比 例例 5 已知 如图正方形 ABCD 中 P 是 BC 上的点 且 BP 3PC Q 是 CD 的中 点 求证 ADQ QCP 4 例例 6 已知 如图 AD 是 ABC 的高 E F 分别是 AB AC 的中点 求证 DFE ABC 知识点四 知识点四 相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似 比 3 相似三角形周长的比等于相似比 4 相似三角形面积的比等于相似比的平方 例例 1 ABC DEF 若 ABC 的边长分别为 5cm 6cm 7cm 而 4cm 是 DEF 中一边的长度 你能 求出 DEF 的另外两边的长度吗 试说明理由 例例 2 ABC 中 DE BC M 为 DE 中点 CM 交 AB 于 N 若 求 例例 3 3 如图 已知 AB CD EF AC CE EP PAB 的面积为 18 求四边形 CDEF 的面积 2 cm 例例 4 如图 在 ABC 在边中 点 D E F 分别在边 AB AC BC 上 DE BC DF AC 已知 AD BD 2 3 ABC Sa