2019届高考数学第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练13函数模型及其应用

1 专题课件 课时跟踪训练课时跟踪训练 十三十三 函数模型及其应用函数模型及其应用 基础巩固 一 选择题 1 物价上涨是当前的主要话题 特别是菜价 我国某部门为尽快实现稳定菜价 提出 四种绿色运输方案 据预测 这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0 各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示 在这四种方案中 运输效率 单位时 间的运输量 逐步提高的是 解析 由运输效率 单位时间的运输量 逐步提高得 曲线上的点的切线斜率应逐渐 增大 故函数的图象应一直是下凹的 答案 B 2 2018 河南洛阳期中 已知某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为 y alog3 x 1 设这种动物第 2 年有 100 只 到第 8 年它们发展到 A 100 只B 200 只 C 300 只D 400 只 解析 由题意知 100 alog3 2 1 a 100 y 100log3 x 1 当x 8 时 y 100log39 200 答案 B 3 2017 福建质检 当生物死亡后 其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半 这个时间称为 半衰期 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千 分之一时 用一般的放射性探测器就测不到了 若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性 探测器探测不到 则它经过的 半衰期 个数至少是 A 8B 9 C 10D 11 解析 设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1 则经过n n N N 个 半衰期 后的含 量为 n 由n200 化简得 n 2016 lg1 12 lg2 lg1 3 所以n 2016 3 8 所以n 2020 因此开始 lg2 lg1 3 lg1 12 超过 200 万元的年份是 2020 年 故选 C 答案 C 6 国家规定个人稿费纳税办法是 不超过 800 元的不纳税 超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14 纳税 超过 4000 元的按全部稿酬的 11 纳税 已知某人 出版一本书 共纳税 420 元 则这个人应得稿费 扣税前 为 A 2800 元B 3000 元 C 3800 元D 3818 元 解析 设扣税前应得稿费为x元 则应纳税额为分段函数 由题意 得 y Error 如果稿费为 4000 元应纳税为 448 元 现知某人共纳税 420 元 所以稿费应在 800 4000 元之间 x 800 14 420 x 3800 3 答案 C 二 填空题 7 2016 江西六校联考 A B两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开 出 A从甲地自东向西行驶 B从乙地自北向南行驶 A的速度是 40 km h B的速度是 16 km h 经过 小时 AB间的距离最短 解析 设经过x h A B相距为y km 则y 求得函数的最小值时x的值为 145 40 x 2 16x 2 0 x 29 8 25 8 答案 25 8 8 2017 北京海淀一模 某购物网站在 2014 年 11 月开展 全场 6 折 促销活动 在 11 日当天购物还可以再享受 每张订单金额 6 折后 满 300 元时可减免 100 元 某人在 11 日当天欲购入原价 48 元 单价 的商品共 42 件 为使花钱总数最少 他最少需要下的订 单张数为 解析 为使花钱总数最少 需使每张订单满足 每张订单金额 6 折后 满 300 元时 可减免 100 元 即每张订单打折前原金额不少于 500 元 由于每件原价 48 元 因此每张 订单至少 11 件 所以最少需要下的订单张数为 3 张 答案 3 9 某食品的保鲜时间t 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系t Error 且该食品在 4 的保鲜时间是 16 小时 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品 并将其遗 放在室外 且此日的室外温度随时间变化如图所示 给出以下四个结论 4 该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时 当x 6 6 时 该食品的保鲜时间t随着 x增大而逐渐减少 到了此日 13 时 甲所购买的食品还在保鲜时间内 到了此日 14 时 甲所购买的食品已然过了保鲜时间 其中 所有正确结论的序号是 解析 食品的保鲜时间t 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系 t Error 且该食品在 4 的保鲜时间是 16 小时 24k 6 16 即 4k 6 4 解得 k t 当x 6 时 t 8 该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时 正确 当 1 2 x 6 0 时 保鲜时间恒为 64 小时 当x 0 6 时 该食品的保鲜时间t随着x增大 而逐渐减少 故错误 到了此日 10 时 温度超过 8 度 此时保鲜时间不超过 4 小时 故 到 13 时 甲所购买的食品不在保鲜时间内 故错误 到了此日 14 时 甲所购买的食品 已然过了保鲜时间 故正确 故正确的结论的序号为 答案 三 解答题 10 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多少时间 物体的温度为 5 摄氏度 2 若物体的温度总不低于 2 摄氏度 求m的取值范围 解 1 若m 2 则 2 2t 21 t 2 2t 1 2t 当 5 时 2t 令 2t x 1 则x 1 2t 5 2 1 x 5 2 即 2x2 5x 2 0 解得x 2 或x 舍去 1 2 此时t 1 所以经过 1 分钟 物体的温度为 5 摄氏度 5 2 物体的温度总不低于 2 摄氏度 即 2 恒成立 亦m 2t 2 恒成立 亦即m 2恒成立 2 2t 1 2t 1 22t 令 x 则 0 x 1 m 2 x x2 1 2t 由于x x2 m 因此 当物体的温度总不低于 2 摄氏度时 m的取值范围是 1 4 1 2 1 2 能力提升 11 2017 陕西西安模拟 某校为了规范教职工绩效考核制度 现准备拟定一函数用 于根据当月评价分数x 正常情况 0 x 100 且教职工平均月评价分数在 50 分左右 若有 突出贡献可以高于 100 分 计算当月绩效工资y元 要求绩效工资不低于 500 元 不设上限 且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右 另外绩效工资越低 越高人数要越少 则下列 函数最符合要求的是 A y x 50 2 500 B y 10 500 C y x 50 3 625 1 1000 D y 50 10 lg 2x 1 解析 由题意知 函数应满足单调递增 且先慢后快 在x 50 左右增长缓慢 最 小值为 500 A 是先减后增 不符合要求 B 由指数函数知是增长越来越快 不符合要求 D 由对数函数知增长速度越来越慢 不符合要求 C 是由y x3经过平移和伸缩变换而得 最符合题目要求 故选 C 答案 C 12 2017 石家庄质检 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称 为 可食用率 在特定条件下 可食用率p与加工时间t 单位 分钟 满足函数关系 p at2 bt c a b c是常数 如图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验 数据 可以得到最佳加工时间为 6 A 3 50 分钟B 3 75 分钟 C 4 00 分钟D 4 25 分钟 解析 根据图表 把 t p 的三组数据 3 0 7 4 0 8 5 0 5 分别代入函数 关系式 联立方程组得Error 消去c化简得Error 解得Error 所以 p 0 2t2 1 5t 2 2 2 所以当 1 5 t2 15 2 t 225 16 45 16 1 5 t 15 4 13 16 t 3 75 时 p取得最大值 即最佳加工时间为 3 75 分钟 15 4 答案 B 13 一个容器装有细沙a cm3 细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出 t min 后剩余的细沙量为y ae b t cm3 经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子 则再经 过 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一 解析 当t 0 时 y a 当t 8 时 y ae 8b a 1 2 e 8b 容器中的沙子只有开始时的八分之一时 1 2 即y ae b t a e b t e 8b 3 e 24b 1 8 1 8 则t 24 所以再经过 16 min 答案 16 14 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建 筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系C x 7 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设f x 为隔热层建造 k 3x 5 费用与 20 年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解 1 由已知条件得C 0 8 则k 40 因此f x 6x 20 C x 6x 0 x 10 800 3x 5 2 f x 6x 10 10 800 3x 5 2 10 6x 10 800 3x 5 70 万元 当且仅当 6x 10 即x 5 时等号成立 800 3x 5 所以当隔热层厚度为 5 cm 时 总费用f x 达到最小值 最小值为 70 万元 15 2017 吉林长春模拟 一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时 它才能起到有 效治疗的作用 已知每服用m 1 m 4 且m R R 克的药剂 药剂在血液中的含量y 克 随着 时间x 小时 变化的函数关系式近似为y m f x 其中f x Error 1 若病人一次服用 3 克的药剂 则有效治疗时间可达多少小时 2 若病人第一次服用 2 克的药剂 6 个小时后再服用m克的药剂 要使接下来的 2 小 时中能够持续有效治疗 试求m的最小值 解 1 因为m 3 所以y Error 当 0 x 6 时 由 2 解得x 11 此时 0 x 6 30 4 x 当 6 x 8 时 由 12 2 3x 2 解得x 此时 6 x 20 3 20 3 综上所述 0 x 20 3 故若一次服用 3 克的药剂 则有效治疗的时间可达小时 20 3 2 当 6 x 8 时 y 2 m