椭圆切线尺规作图法及其简证(徐文平论文)

椭圆切线尺规作图法及其简证椭圆切线尺规作图法及其简证 徐文平 东南大学 南京 210096 摘要 摘要 探讨了多种椭圆切线的尺规作图方法 在此基础上 发现了椭圆内接四边形的对边延伸线两交 点调和分割对角线两极点的新定理 采用坐标线性变换方法 椭圆问题化圆处理 并运用极点与极线的知 识 进行了椭圆切线尺规作图法的简单证明 关键词 关键词 椭圆切线 尺规作图 坐标线性变换 极点与极线 调和分割 一 过椭圆上一点作切线一 过椭圆上一点作切线 方法方法 1 1 已知椭圆 Y 和椭圆上一点 A 以椭圆 Y 的长轴 a 为半径作圆 G 过椭圆上已 知点 A 做竖向垂线 与圆 G 相交于 B 点 过 B 点作圆 G 的切线 T1 相交水平 x 轴于 N 点 连接 N 点与椭圆上 A 点 直线 NA 就是所求的椭圆切线 T2 证明 证明 依据坐标线性变换原理 令 椭圆 Y 转换为圆 G 椭圆上XX Y a b Y A 点转换到圆上切点 B 切线 T1与圆 G 相切于 B 点 只有唯一解 坐标线性变换后 直 线 NA 与椭圆 Y 也只有唯一解 即直线 T2与椭圆 Y 相切于 A 点 图图 1 1 方法方法 2 2 过椭圆 Y 上一点 A 作竖向垂线 与椭圆 Y 相交于 B 点 点 J K 是椭圆 Y 的象限点 JA BK 两条延伸线相交于 C 点 过 C 点作竖向垂线 与水平轴交于 N 点 NA 连线就是所求的椭圆切线 T1 图图 2 2 证明 证明 圆是椭圆的一种特殊情况 直线与圆的几何位置关系相对简易证 如果将椭圆 转化为圆 那么 直线与椭圆相切的问题就会大大简化 如图 3 CNK KAC 90 A C N K 四点共圆 易知 KAN KCN CBA KJA JAO OAN OAK KAN OAK JAO JAK 90 NA OA 直线 NA 与圆 G 相切 图图 3 3 采用坐标线性变换方法 圆 G 转换为椭圆 Y 圆切线转换为椭圆切线 分析得知 对 于过椭圆上一点的作切线问题 方法 2 也成立 图图 4 4 方法方法 3 3 椭圆的斜向割线 AB 作 JA BK 延伸线相交于 C 点 直线 AB1与 A1B 相交 于 D 点 过 D 点的水平线与过 C 点的竖向垂线相交于 N 点 NA 就是椭圆的切线 图图 5 5 证明 证明 首先证明过圆上一点作切线的方法 3 成立 然后证明对于椭圆方法 3 也成立 图图 6 6 如图 7 过椭圆外一点 P 作两条切线 S T 为切点 依据极点与极线知识 点 P 为 极点 切线弦 ST 为极线 采用赛瓦定理可以证明 S D T 三点共线 图图 7 7 如图 8 圆 O 的割线 AB 与水平 x 轴交于 Q 点 割线 AB 与竖向 y 轴交于 P 点 从 点 P 作两条切线 S T 为两个切点 切点弦 ST 为点 P 关于圆 O 的极线 J K 是圆 O 的象限点 直线 JA 与 BK 交于 E 点 直线 JB 与 AK 交于 F 点 ST 与直线 EF 相交于 N 点 则 ST EF 且交点 N 点平分竖向直线 EF 现证明如下 图图 8 8 在 JEF 中 由于 JK 为圆 O 的直径 且 A B J K 四点共圆 AK JE BK JF K 点是 EFF 垂心 那么 JK EF EF 为竖向直线 水平直 线 ST EF 设 O 圆的方程为 直线 AB 的方程为 222 ryx mkxy 0 m 容易得出 点坐标 0 mP 0 kmQ mrR 0 2 设与圆交于点 mkxy 11 yxA 22 yxB 则他们满足方程组 1 222 ryx mkxy 依据极点与极线知识 EFQ 是典型的自配极三角形 直线 EQ 为点 F 对应的极线 直线 FQ 为点 E 对应的极线 对于 EOF 分析可知 极点 E 与圆心 O 的连线 EO 必定与极点 E 的对应极线 FQ 垂直 即 EO FQ 同理 FO EQ Q 点是 EOF 的垂心 圆 O 方程为 则圆外任意一点对应的极线方程为 222 ryx 00 yxW 2 2 00 ryyxx 设极点 EF 是竖向垂线 33 yxE 44 yxF 43 xx 则 极点 对应的极线 FQ 方程 3 33 yxE 2 33 ryyxx 则 极点 对应的极线 EQ 方程 4 44 yxF 2 44 ryyxx 极线 EQ 与极线 FQ 交于点 Q 且坐标已知 0 kmQ 由 3 或 4 式 可得 5 mrkxx 2 43 可以解得 N 点坐标 mrmrkN 22 通过坐标点 作直线 JA 和 AK 直线 11 yxA 直线 JAE 方程为 6 rxrxyy 11 直线 AKF 方程为 7 rxrxyy 11 将 5 式代入 6 7 式得 rxrmrkyy 1 2 13 rxrmrkyy 1 2 14 rx rmrky rx rmrky yy 1 2 1 1 2 1 43 rxrx mrkrxmrkrx yr 11 11 1 1 1 22 1 1 1 2 1 2 rx mxk yr 2 1 1 1 2 1 2 y mxk yr 8 1 1 2 2 y mxk m r 其中 2 1 22 1 xry mxky 11 则 恒定值 9 mr y mxk m ryy 2 2 1 1 2 43 坐标点 则竖向垂线 EF 中点 N 坐标为 mrR 0 2 mrmkrN 22 水平直线 STN 与垂直线 EF 的交点为 与坐标重合 mrmkrN 22 N N 水平直线 ST EF 且交点 N 点平分竖向直线 EF 事实上 想要证明过圆上一点作切线的方法 3 的正确性 就必须证明图 9 中直线 NA 与圆 O 相切 图图 9 9 AF JE BE JF A B F E 四点共圆 且以 N 点圆心 NBNANFEN 易知 FAN NFA EBA KJA JAO OAN OAK FAN OAK JAO JAK 90 NA OA 直线 NA 与圆 O 相切 同理可知 直线 NB 与圆 O 相切于 B 点 综上所述 证明了过圆上一点作切线方法 3 的正确性 通过坐标线性变化方法 圆转 化为椭圆 可以证明过椭圆上一点作切线方法 3 也是正确的 方法方法 4 4 已知椭圆内的斜向割线 AB 点 J K 是椭圆的象限点 JA BK 交 E 点 JB AK 交 F 点 竖向垂线直线 EF 的中点为 N 点 N 点就是 AB 割线关于椭圆的极点 连线 NA NB 与椭圆相切 图图 1010 证明 证明 可以采用坐标线性变换方法 椭圆切线问题化圆处理 先证明圆的情况下命题 成立 然后证明椭圆的情况也成立 以便简化证明方法 图图 1111 如图 11 在 JEF 中 由于 JK 为圆 O 的直径 且 A B J K 四点共圆 AK JE BK JF K 点是 EFF 垂心 那么 JK EF EF 为竖向直线 AF JE BE JF A B E F 四点共圆 且以 EF 为直径 N 点为 EF 的中点 N 点为圆心 NBNANFEN 易知 FAN NFA EBA KJA JAO OAN OAK FAN OAK JAO JAK 90 NA OA 直线 NA 与圆 O 相切 同理可知 直线 NB 与圆 O 相切于 B 点 N 点就是 AB 的极点 综上所述 证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性 在此基础上 采用坐标变 换方法 圆就变化成为了椭圆 那么方法仍然成立 方法 4 命题成立 方法方法 5 5 已知椭圆 Y 的一斜向割线 AB 作一条过椭圆圆心 O 点的任意割线 JK 与椭 圆 Y 相交于 J K 两点 JA BK 交于 E 点 作 AK JB 交于 F 点 确定 EF 的中点 N 点 连线 NA NB 就是椭圆的切线 图图 1212 证明 证明 在方法 4 中 已经证明 圆内接四边形的其中一条对角线通过圆心 则另一条 割线的极点必定位于圆内接四边形的二组对边延伸线交点连线的中点 那么将圆图形旋转 一个角度 由于圆的对称性 三交点共线且平分现象仍然成立 在此基础上 采用坐标变 换方法 圆的切线问题转化为椭圆切线问题 那么作切线方法仍然成立 方法 5 命题成立 二 过椭圆外一点作切线二 过椭圆外一点作切线 方法方法 1 1 虚拟椭圆法 虚拟椭圆法 已知椭圆 Y1和椭圆外一点 A 以椭圆 Y1的长轴 a 为半径作圆 G1 过 A 点做竖向垂 线 L1 与水平轴相交于 C 点 在竖向垂线 L1截取一点 B 使得 过 Bb aACBC 点 作小圆 G1的切线 T1 相交于圆 G1于切点 D 相交于水平轴于 N 点 连接 N 点与 A 点连线 NA 即所求小椭圆 Y1的切线 T2 图图 1313 证明 证明 分析可知 圆 G1和 G2是同心圆 椭圆 Y1 和 Y2是离心率相同的同心椭圆 A 点在虚拟大椭圆 Y2上 B 点在虚拟同心圆的大圆 G2上 采用坐标线性变换方法 椭圆切线问题转化为圆切线问题 过 B 点 作同心小圆 G1 的 切线 T1 相交于小圆 Y1于切点 D 相交于水平轴于 N 点 NB 切线与小圆 G1相切 只有唯一解 坐标线性变换后 NA 直线与小椭圆 Y1也只有 唯一解 即 NA 与小椭圆 Y1相切 切线 T2与椭圆 Y1相交于切点 E 方法方法 2 2 极点与极线法 极点与极线法 1 1 勒姆柯尔方法 勒姆柯尔方法 勒姆柯尔过椭圆外一点 P 引四条割线 PAiBi i 1 2 3 4 直线 A1B2与 A2B1 交于 Q 点 直线 A3B4与 A4B3交于 R 点 直线 Q R 交椭圆于 S T 两个点 则 S T 是椭圆对应 点 P 的两个切点 直线 PS PT 就是所求的切线 图 14 图图 1414 图图 1515 图图 1616 2 2 舒马赫方法 舒马赫方法 大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法 写信给高斯 信中说他找到了一 个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法 图 15 3 3 高斯方法 高斯方法 高斯在收到舒马赫的信第六天 回信提出了一个只需引两条割线 就可以作椭圆切线 的简捷方法 图 16 证明 证明 高斯等三位大数学家的过椭圆外一点作切线方法 其实质就是利用 P 极点与 ST 极线对应的关系 以 P 极点寻找 ST 极线上的两个点 Q 与 R 连接 Q 与 R 连线并延伸 与椭圆相交 交点 S 与 T 就是两个切点 对于这个命题 可以采用坐标线性变化方法 椭圆切线问题化为圆处理 并运用极点 与极线知识 进行 S T Q R 四点共线的特性证明 证明如下 引理引理 1 1 从圆外一点 P 引圆的两条切线和一条割线 S T 为切点 A B 点为割线 与圆的交点 切点弦线 ST 与 PAB 割线交于 Q 点 那么 PQ 调和分割 AB 图图 1717 如图 17 假设 N 点为 AB 的中点 分析得知 AB ON Q M N O 四点共圆 则 POPMPNPQ POT 与 PMT 是相似三角形 POPMPT 2 PBPAPT 2 PBPAPNPQ 2 PBPAPN PBPAPBPAPQ 2 或 PQPBPA 211 QB PB AQ PA PQ 调和分割 AB 引理引理 2 2 从圆外一点 P 引两条切线 得到两个切点 S T 点 从圆外一点 P 引两任意 割线 与圆交于 A B 与 C D 四点 交叉连接 AD BC 直线交于 Q 点 AC 与 BD 延伸 交于 R 点 则 S T Q R 四点共线 图图 1818 联结 AS SB BD DT TC CA 直线 得圆内接的凸六边形 ASBDTC 欲证 S Q T 三点共线 只需证明 AD BC ST 三线共点 对于圆内接凸六边形 ASBDTC 利用塞瓦定理 只须证明 1 SBCADT ASTCBD PBD PCA PTC PDT PAS PSB 则 PC PB CA BD PT PC DT TC PB PS SB AS 又 PTPS 1 PB PS PT PC PC PB SB AS DT TC CA DB 1 SB AS CA TC DT DB 因此 BC AD ST 三线共点 S Q T 三点共线 在三角形 RCD 中 假设 M 点为 RQ 与 CD 的交点 由赛瓦定理得 1 AC RA BR DB MD CM RCD 被直线 PB 所截 由梅涅劳斯定理得 1 AR CA PC DP DB RB 将上面两个式子相乘得 1 PC DP MD CM 即 DP PC MD CM CD 被 PM 调和分割 同时 PM 被 CD 也调和分割 依据引理 1 可知 M 点在极线 ST 上 所以 M R S T 四点共线 M S T Q R 五点共线 因此 S T Q R 四点共线 引理引理 3 3 侯明辉三割线定理侯明辉三割线定理 PAB PCD 为过椭圆外一点 P 引出的两条任意割线 AD 与 BC 交于 Q 直线 PQ 交椭圆于 E F 则 PQ 调和分割 EF 即 1 PE 1 PF 2 PQ 由引理 2 可知 AD 与 BC 交于 Q 则 Q 点在以 P 点为极点的 ST 极线上 由引理 1 可知 因为 Q 点在 ST 极线上 则 PQ 调和分割 EF 因此 对于在圆的情况下 三割线定 理成立 依据坐标线性变换原理 令 圆转换为椭圆 直线段仅是线XX Y a b Y 性变换其位置 线段比例关系不变 因此 对于在椭圆的情况下 三割线定理也成立 图图 1919 三 椭圆极点与极线的性质三 椭圆极点与极线的性质 徐文平新定理 徐文平新定理 椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点 椭圆内接四边形 KLMN 对边线 KN 与 LM 交于 A 对边线 KL 与 NM 交于 B 对角 线 KM 的极点为 C 对角线 LN 的极点为 D KM 与 LN 交于 Q 点 则 A B C D 四点 共线 且 AB 调和分割 CD 即 1 AC 1 AD 2 AB 图图 2020 证明证明 如图 21 椭圆外切四边形 EHFG 的四个切点为 K L M N 椭圆外切四边形 EHFG 的对角线连 EF GH 交于 Q 点 图图 21 由帕斯卡定理 将其椭圆内接六边形化简为椭圆内接四边形 可知 A B C D 四点 共线 四极点共线成立 由牛顿定理 椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重 合 椭圆外切四边形 EHFG 的对角线 EF GH 交点 Q 和以 K L M N 四个切点为顶点 的椭圆内接四边形 KLMN 的对角线 KM LN 交点 Q 重合 由麦克马林定理 椭圆外切四边形 EHFG 的对角线 EQF 为 A 点关于椭圆的极线 由 完全四边形 KLMNAB 性质可知 QB 也为 A 点关于椭圆的极线 因此 F Q E B 四点 共线 同理可知 A G Q H 四点共线 AH 为 B 点关于椭圆的极线 极点 A 与 QB 极线对应 极点 B 与 AQ 极线对应 极点 Q 与 AB