北师版数学七年级上册一元一次方程经典例题

一元一次方程一元一次方程 教学重点 教学重点 1 一元一次方程和方程的解的概念 2 理解和应用等式的性质 3 找相等关系列一元一次方程 用合并 移项解一元一次方程 4 去括号法则在解方程中的熟练应用 5 利用 去分母 将方程作变形处理 6 建立方程解决实际问题 会解 ax b c 类型的一元一次方程 7 将实际问题抽象为方程 列方程解应用题 精例精析精例精析 例例 1 判断下列各式中 哪些是方程 哪些是一元一次方程 1 1 2 3 2 3 0 1113 x152 2 xx 4 R2 5 6 0 x623 yx 例 2 已知是关于的一元一次方程 求的值 2 3 3 70kxkx x k 小小结结 正确 正确识别识别一元一次方程一元一次方程应应注意以下几点 注意以下几点 1 只含有一个未知数 只含有一个未知数 2 未知 未知 数的次数是数的次数是 1 若次数不是 若次数不是 1 的的项项 其系数必 其系数必须为须为 0 3 未知数的系数不 未知数的系数不为为 0 例例 3 解下列一元一次方程 1 2 4129xx 8 14 3 yy 小小结结 1 合并同 合并同类项类项 合并是指根据分配律 把含 合并是指根据分配律 把含的几的几项项合并成一个式子合并成一个式子 如 如 x 24 1 2 4 xxxxx 2 移 移项项 方程中的任何一 方程中的任何一项项 都可以在改 都可以在改变变符号后 从方程的一符号后 从方程的一边边移到另一移到另一边边 这类变这类变形叫做移形叫做移项项 这这个法个法则则叫做移叫做移项项法法则则 利用移 利用移项项求出方程解的方法叫做移求出方程解的方法叫做移 项项法法 移移项项的根据是等式的性的根据是等式的性质质 例例 4 解方程 1 2 3 2 1 21 xxx 23 4 1 2 5 10yyy 小小结结 去括号法 去括号法则则 括号外的因数是正数 括号外的因数是正数时时 去括号后各 去括号后各项项的符号与原括号内的符号与原括号内 相相应应各各项项的符号相同 括号外的因数是的符号相同 括号外的因数是负负数数时时 去括号后各 去括号后各项项的符号与原括号内的符号与原括号内 相相应应各各项项的符号相反 有多重括号的符号相反 有多重括号时时 要按照由内到外 或由外到内 的 要按照由内到外 或由外到内 的顺顺序依次序依次 去括号去括号 例 5 解方程 1 2 1 5 24 2 13 xx 6 1 5 0 3 2 0 4 xx 小小结结 去分母的方法 去分母的方法 对对于含有分数系数的方程 可以运用等式的性于含有分数系数的方程 可以运用等式的性质质 2 在方 在方 程的两程的两边边同乘以所有分母的最小公倍数 将方程化同乘以所有分母的最小公倍数 将方程化为为整系数的方程整系数的方程 这这种化种化简简的的 方法叫做去分母方法叫做去分母 例例 6 解方程 1 2 5 3 2 2 1 xx x2 1 25 1 25 0 1 xx 小小结结 1 在解方程 在解方程时时 应应注意注意观观察方程的特点 根据方程的特点 灵活把握求察方程的特点 根据方程的特点 灵活把握求 解的方法步解的方法步骤骤 2 求解 求解过过程中的步程中的步骤骤并不是固定不并不是固定不变变的 的 3 通 通过过解方程体解方程体验转验转化思想化思想 例例 7 学校新进一批教学设备 共由若干个小箱组成 让七 1 班的学生去运 若 每人 8 箱 还余 36 箱 若每人 10 箱 还缺少 44 箱 问这批设备共有多少箱 这 个班有多少人 小小结结 列一元一次方程解 列一元一次方程解实际问题实际问题找等量关系是关找等量关系是关键键 注意抓住基本等量关注意抓住基本等量关 系 表示同一个量的两个不同的式子相等 系 表示同一个量的两个不同的式子相等 例 8 根据我省 十二五 铁路规划 连云港至徐州客运专线项目建成后 连云港 至徐州的最短客运时间将由现在的 2 小时 18 分钟缩短为 36 分钟 其速度每小 时将提高 260km 求提速后的火车速度 精确到 1km h 1 总结总结 解 解较简单较简单的一元一次方程的步的一元一次方程的步骤骤 移移项项 将常数 将常数项项放在等号的右放在等号的右边边 未知数的 未知数的项项放在等号的左放在等号的左边边 合并 将同合并 将同类项进类项进行合并 一般要逆用分配律 行合并 一般要逆用分配律 系数化系数化为为 1 用等式的性 用等式的性质质 2 化成 化成的形式的形式 xa 2 列方程解 列方程解应应用用题题的一般步的一般步骤骤 1 设设恰当的未知数恰当的未知数 并用 并用表示相关的量 表示相关的量 xx 2 根据相等关系列一元一次方程 根据相等关系列一元一次方程 3 解一元一次方程 解一元一次方程 4 作答 作答 3 去括号解方程 去括号解方程时时 一是 要注意不要漏乘 一是 要注意不要漏乘项项 二是 当括号外的因数是 二是 当括号外的因数是负负数数时时 要注意去掉括号后的各要注意去掉括号后的各项项都要都要变变号 号 中考直通中考直通车车 例 9 去年秋季以来 我市某镇遭受百年一遇的特大干旱 为支援该镇抗旱 上级 下拨专项抗旱资金 80 万元用于打井 已知用这 80 万元打灌溉用井和生活 用井共 58 口 每口灌溉用井和生活用井分别需要资金 4 万元和 0 2 万元 求 这两种井各打多少口 小小结结 找等量关系是关 找等量关系是关键键 注意抓住基本等量关系 注意抓住基本等量关系 总总量 各部分量的和 量 各部分量的和 例 12 在长为 10m 宽为 8m 的矩形空地中 沿平行于矩形各边的方向分割出三 个全等的小矩形花圃 其示意图如图所示 求小矩形花圃的长和宽 四 四 归纳归纳小小结结 1 解一元一次方程的一般步 解一元一次方程的一般步骤骤 去分母 注意方程中所有去分母 注意方程中所有项项都乘以最小公倍数都乘以最小公倍数 去括号 注意括号前的数和符号一起与括号内每去括号 注意括号前的数和符号一起与括号内每项项相乘相乘 移移项项 注意移的 注意移的项变项变号 未移的号 未移的项项不不变变 合并同合并同类项类项 注意未知 注意未知项项的系数相加作的系数相加作为为未知未知项项的系数 常数的系数 常数项项合并作合并作 常数常数项项 系数化系数化为为 1 方程两 方程两边边都除以未知都除以未知项项的系数或都乘以未知的系数或都乘以未知项项系数的倒数系数的倒数 注意 上述步注意 上述步骤骤不是一成不不是一成不变变的 要根据方程的特点 灵活的 要根据方程的特点 灵活处处理 如有理 如有时时可可 以先合并同以先合并同类项类项再移再移项项 2 解决 解决较较复复杂杂的一元一次方程的一元一次方程问题时问题时 要灵活运用分 要灵活运用分类类思想和整体代思想和整体代换换思想 思想 3 知 知识总结识总结 例例 13 某粮库装粮食 第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍 如果从第一个仓库 中取出 20 吨放入第二个仓库中 第二个仓库中的粮食是第一个中的 问每个仓 库各有多少粮食 小小结结 在解答 在解答应应用用题时题时 若 若题题中出中出现现 几倍几倍 共 多 少 快 慢 提前 超 共 多 少 快 慢 提前 超过过 增 增 加 相差等含数量关系的句子 加 相差等含数量关系的句子 应应抓住它抓住它们进们进行分析 以使相等关系行分析 以使相等关系显现显现出来出来 例例 14 某种商品的标价是 650 元 打 8 折销售 仍可获得 4 的利润 这种商品的 进价是多少 等式 等式的性质 方程 方程的解 一元一次方程 和它的解法 解方程 一元一次 方程的应用 小小结结 商品的利 商品的利润润率率问题问题常常见见数量关系 利数量关系 利润润率率 利 利润润 售价售价 100 售价进价 进价 进进价 注意事价 注意事项项 分清利 分清利润润与利与利润润率 打几折就是按原价的百分之几十后出售率 打几折就是按原价的百分之几十后出售 例例 15 储户到银行存款 一段时间后 银行要向储户支付存款利息 同时银行还 将代扣由储户向国家缴纳的利息税 税率为利息的 20 1 将 8500 元钱以一年期的定期储蓄存入银行 年利率为 2 2 到期支取时可 得到利息 元 扣除个人所得税后实得 元 2 小明的父亲将一笔资金按一年期的定期储蓄存入银行 年利率为 2 2 到期 支取时 扣除所得税后得本金和利息共计 71232 元 问这笔资金是多少元 3 王红的爸爸把一笔钱按三年期的定期储蓄存入银行 假设年利率为 3 到期 支取时扣除所得税后实得利息为 432 元 问王红的爸爸存入银行的本金是多少 小小结结 利息 利息问题问题常用公式 利息常用公式 利息 本金本金 利率利率 期数 本息期数 本息 本金本金 利息 常利息 常见见数量数量 关系 利息税关系 利息税 利息利息 税率 税率 实实得利息得利息 利息 利息税 利息 利息税 注意月利率与年利率的区注意月利率与年利率的区别别 例 16 甲 乙两地相距 162 千米 甲地有一辆货车 速度为每小时 48 千米 乙地 有一辆客车 速度为每小时 60 千米 求 1 若两车同时相向而行 多长时间可以相遇 2 若两车同时背向而行 多长时间两车相距 270 千米 3 若两车相向而行 货车先开 1 小时 再过多长时间可以相遇 小小结结 能利用示意 能利用示意图图作作为为建模策略 分析行程建模策略 分析行程问题问题中的等量关系列方程中的等量关系列方程 分析分析问题问题重在理重在理顺顺路程 路程 时间时间 速度三者的关系 抓住其中的一条 速度三者的关系 抓住其中的一条线线索路程 或索路程 或时时 间间或速度 找相等关系 或速度 找相等关系 这这是解是解题题的关的关键键 例例 17 修筑一条公路 甲工程队单独承包要 80 天完成 乙工程队单独承包要 120 天完成 1 现在由两个工程队合作承包 几天可以完成 2 如果甲乙两工 程队合作了 30 天 因甲工作队另有任务 剩下工作由乙工作队完成 则修好这 条公路共需要几天 小小结结 工程工程问题问题中要善于把握什么是中要善于把握什么是总总工作量 工作量 总总工作量可以看成工作量可以看成 1 工程 工程 问题问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总总工作量工作量 1 例例 18 如右图 小杰 小丽分别在 400 米环形跑道上练习跑步与竞走 小杰每分 钟跑 320 米 小丽每分钟走 120 米 两人同时由同一点出发 问几分钟后 小丽 与小杰第一次相遇 小小结结 借助示意 借助示意图图和列表格分析和列表格分析问题问题 建立等量关系 建立等量关系 中考直通中考直通车车 例例 19 目前 自驾游 已成为人们出游的重要方式 五一 节 林老师驾轿车从舟山 出发 上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速 其间 用了 4 5 小时 返回时平均速度提高了 10 千米 小时 比去时少用了半小时 回到舟山 1 求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程 2 两座跨海大桥的长度及过桥费见下表 省交通部门规定 轿车的高速公路通行费 元 的计算方法为 其y5 baxy 中 元 千米 为高速公路里程费 千米 为高速公路里程 不包括跨海大桥ax 长 元 为跨海大桥过桥费 若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费b 为 295 4 元 求轿车的高速公路里程费 a 大桥名 称 舟山跨海大桥杭州湾跨海大桥 大桥长 度 48 千米36 千米 过桥费 100 元80 元 嘉嘉兴兴 舟山舟山 东东海海 小小结结 1 解决有关 解决有关图图表信息表信息问题问题 要充分利用 要充分利用图图表中的数据信息 表中的数据信息 2 利用方程 利用方程 解决解决实际问题时实际问题时 不 不仅仅可以求解 可以求解 还还要看解是否符合要看解是否符合实际实际意意义义 由此 可以利用 由此 可以利用 方程方程对对一些一些问题进问题进行推理判断 行推理判断 例例 20 某工程队承包了某段全长 1755 米的过江隧道施工任务 甲 乙两个组分 别从东 西两端同时掘进 已知甲组比乙组平均每天多掘进 0 6 米 经过 5 天施工 两组共掘进了 45 米 1 求甲 乙两个组平均每天各掘进多少米 2 为加快进度 通过改进施工技术 在剩余的工程中 甲组平均每天能比原来多 掘进 0 2 米 乙组平均每天能比原来多掘进 0 3 米 按此施工进度 能够比原来少 用多少天完成任务 小小结结 类别类别 行程 行程问题问题 工程 工程问题问题 类类似的量 行似的量 行驶驶路程 行路程 行驶驶速度 行速度 行驶时间驶时间 工作 工作总总量 工作效率 工作量 工作效率 工作时间时间 公式 公式 路程路程 速度速度 时间时间 工作量 工作量 工效工效 时间时间 一元一次方程一元一次方程 章末章末测试题测试题 基 基础础卷 卷 选择题 每题 3 分 共 30 分 1 下面的等式中 是一元一次方程的为 A 3x 2y 0 B 3 m 10 C 2 x D a2 16 x 1 2 下列结论中 正确的是 A 由 5 x 13 可得 x 13 5 B 由 5 x 3 x 7 可得 5 x 3 x 7 C 由 9 x 4 可得 x D 由 5 x 8 2x 可得 5 x 2 x 8 4 9 3 下列方程中 解为 x 2 的方程是 A 3x x 3 B x 3 0 C 2x 6 D 5x 2 8 4 解方程时 去分母得 A 4 x 1 x 3 5x 1 B x 1 12x 5x 1 C 3 x 1 12x 4 5x 1 D 3 x 1 x 4 5x 1 5 若 y 1 与 3 2y 互为相反数 则 y 等于 3 1 A 2 B 2 C D 7 8 7 8 6 关于 y 的方程 3y 5 0 与 3y 3k 1 的解完全相同 则 k 的值为 A 2 B C 2 D 4 3 3 4 7 父亲现年 32 岁 儿子现年 5 岁 x 年前 父亲的年龄是儿子年龄的 10 倍 则 x 应 满足的方程是 A 32 x 5 x B 32 x 10 5 x C 32 x 5 10 D 32 x 5 10 8 小华在某月的月历中圈出几个数 算出这三个数的和是 36 那么这个数阵的形 式可能是 A B C D 9 某商品的售价比原售价降低了 15 现售价是 34 元 那么原来的售价是 A 28 元 B 32 元 C 36 元 D 40 元 10 用 72cm 长的铁丝做一个长方形的教具 要使宽为 15cm 那么长是 A 28 5cm B 42cm C 21cm D 33 5cm 二 填空题 每题 3 分 共 27 分 11 设某数为 x 若它的 3 倍比这个数本身大 2 则可列出方程 12 将方程 3x 7 5x 3 变形为 3x 5x 3 7 这个变形过程叫做 13 当 y 时 代数式与y 5 的值相等 4 1 14 若与互为倒数 则 x 3 1 15 三个连续奇数的和是 75 则这三个数分别是 16 一件商品的成本是 200 元 提高 30 后标价 然后打九折销售 则这件商品的 利润为 元 17 若 x 3 是关于 x 的方程 3x a 2x 5 的解 则 a 的值为 18 单项式 3ax 1b4与 9a2x 1b4是同类项 则 x 19 一只轮船在 A B 两码头间航行 从 A 到 B 顺流需 4 小时 已知 A B 间的路 程是 80 千米 水流速度是 2 千米 时 则从 B 返回 A 用 小时 三 解答题 共 43 分 20 每个 3 分 共 9 分 解方程 5x 2 7x 8 5 x 8 5 6 2x 7 21 3 分 一个数的与 4 的和等于最大的一位数 求这个数 6 5 22 5 分 把 500 元钱按照 3 年定期存教育储蓄 如果到期可以得到本息和共 540 5 元 那么这 3 年定期教育储蓄的年利率是多少 23 5 分 初一 2 班第一小组同学去苹果园参加劳动 休息时工人师傅摘苹果分 给同学 若每人 3 个还剩余 9 个 若每人 5 个还有一个人分 4 个 试问第一小组 有多少学生 共摘了多少个苹果 24 5 分 一队学生去校外进行军事野营训练 他们以 6 千米 时的速度行进 在他 们走了一段时间后 学校要将一个紧急通知传给队长 通讯员从学校出发 以 10 千米 时的速度按原路追上去 用了 15 分钟追上了学生队伍 问通讯员出发前 学生走了多少时间 25 5 分 某商店将某种品牌的 DVD 按进价提高 35 然后打出 八折酬宾 外 送 50 元出租车费 的广告 结果每台 DVD 仍可获利 166 元 那么每台 DVD 的进 价是多少元 26 11 分 下图的数阵是由 77 个偶数排成 1 图中平行四边形框内的 4 个数有什么关系 2 在数阵图中任意作一类似 1 中的平行四边形框 设其中一个数为 x 那么 其他 3 个数怎样表示 3 小红说 4 个数的和是 415 你能求出这 4 个数吗 4 小明说 4 个数的和是 420 存在这样的 4 个数吗 若存在 请求出这 4 个 数 一元一次方程一元一次方程 章末章末测试题测试题 提高卷 提高卷 选择题 每题 3 分 共 30 分 1 下列说法中 正确的是 A 方程是等式 B 等式是方程 C 含有字母的式子是方程 D 不含字母的方程是等式 2 下列方程变形正确的是 A 由 3 x 1 5 x 2 0 得 2x 7 B 由 x 1 2x 3 得 x 2x 1 3 C 由 1 得 3x 2 1 D 由 2x 3 得 x 2 x 3 1 3 2 3 若代数式 3a4b2x与 0 2b3x 1a4能合成一项 则 x 的值是 A B 1 C D 0 2 1 3 1 4 如果 3kx 2 6k x 是关于 x 的一元一次方程 则 A k 是任意有理 数 B k 是不等于 0 的有理数 C k 是不等于的整数 D k 是不等于的数 3 1 3 1 5 若代数式的值是 2 则 x 的值是 A 0 75 B 1 75 C 1 5 D 3 5 6 某商品提价 10 后 欲恢复原价 则应降价 A 10 B 9 C D 11 100 9 100 7 某服装商店同时卖出两套服装 每套均卖 168 元 以成本计算 其中一套盈利 20 另一套亏本 20 则这次服装商店 A 不赚不赔 B 赚 37 2 元 C 赚 14 元 D 赔 14 元 8 一个三位数 3 个数位上的数字和是 15 百位上的数字比十位上的数字小 1 个 位上的数字比十位上的数字大 1 则这个三位数是 A 345 B 357 C 456 D 567 9 已知关于 x 的方程 ax 4 14x a 的解是 x 2 则 a 的值是 A 24 B 24 C 32 D 32 10 某人在 1999