简单的线性规划 习题含答案

1 线线性性规规划划 教教案案 1 若 x y 满足约束条件 则 z x 2y 的取值范围是 2 2 2 x y xy A 2 6 B 2 5 C 3 6 D 3 5 解 如图 作出可行域 作直线l x 2y 0 将 l向右上方平移 过点A 2 0 时 有最小值 2 过点 B 2 2 时 有最大值6 故选 A 2 不等式组表示的平面区域的面积为 260 30 2 xy xy y A 4 B 1 C 5 D 无穷大 解 如图 作出可行域 ABC 的面积即为所求 由梯形 OMBC 的面积减去梯 形 OMAC 的面积即可 选B 3 满足 x y 2 的点 x y 中整点 横纵坐标都是整 数 有 A 9 个 B 10 个 C 13 个 D 14 个 解 x y 2 等价于 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 xyxy xyxy xyxy xyxy 作出可行域如右图 是正方形内部 包括边界 容易 得到整点个数为13 个 选 D 四 求线性目标函数中参数的取值范围 4 已知 x y 满足以下约束条件 使 5 50 3 xy xy x z x ay a 0 取得最小值的最优解有无数个 则a 的值 为 A 3 B 3 C 1 D 1 解 如图 作出可行域 作直线l x ay 0 要使目标函 数 z x ay a 0 取 得最小值的最优解有无数个 则将 l向右上方平移后与直线 x y 5 重合 故a 1 选 D 5 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品 现有两种木料 第一种有 72m3 第二种有 56m3 假设生产每种产 品都需要用两种木料 生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示 每生产一只圆桌可获利 6 元 生产一个衣柜可获利 10 元 木器厂在现有木料条件下 圆桌和衣柜各生产多少 才使获得利润最多 x y O x y 5 x y 5 0 O y x x 3 x y O2 2 x 2 y 2 x y 2 B A 2x y 6 0 5 x y 3 0 O y x A B C M y 2 2 木料 单位m3 产 品 第 一 种 第 二 种 圆 桌 0 180 08 衣 柜 0 090 28 解 设生产圆桌x只 生产衣柜y个 利润总额为z元 那么 而z 6x 10y 0 0 5628 0 08 0 7209 0 18 0 y x yx yx 如上图所示 作出以上不等式组所表示的平面区域 即可行域 作直线l 6x 10y 0 即l 3x 5y 0 把直线l向右上方平移至l1的位置时 直线经过可行域上点 M 且与原 点距离最大 此时z 6x 10y取最大值解方程组 得 M 点坐标 350 100 答 应生产圆 5628 0 08 0 7209 0 18 0 yx yx 桌 350 只 生产衣柜 100 个 能使利润总额达到最大 指出 资源数量一定 如何安排使用它们 使得效益最好 这是线性规划中常见的问题之一 6 有一批钢管 长度都是 4000mm 要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯 且这两种毛坯按数量比不小于配 3 1 套 怎样截最合理 解 解 设截 500mm 的钢管 x 根 600mm 的 y 根 总数为 z 根 根据题意 得 目标函数为 作出如图所示的可行域内的整点 作一组平行直线 x y t 经过可行域内的点 且和原点距离最远的直线为过 B 8 0 的直线 这时 x y 8 由于 x y 为正整数 知 8 0 不是最优 解 显然要往下平移该直线 在可行域内找整点 使 x y 7 可知点 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 均为最优解 答 略 点评 点评 本题与上题的不同之处在于 直线 x y t 经过可行域内且和原点距离最远的点 B 8 0 并不 符合题意 此时必须往下平移该直线 在可行域内找整点 比如使 x y 7 从而求得最优解 从这两例也可看到 平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少 但作图要求较 高 7 已知满足不等式组 求使取最大值的整数 x y 230 2360 35150 xy xy xy xy x y 3 解 不等式组的解集为三直线 所围 1 l230 xy 2 l2360 xy 3 l35150 xy 成的三角形内部 不含边界 设与 与 与交点分别为 则坐标分别为 1 l 2 l 1 l 3 l 2 l 3 l A B C A B C 15 3 84 A 0 3 B 7512 1919 C 作一组平行线 平行于 当 往右上方移动时 随之增大 lxyt 0 l0 xy l 0 lt 当 过点时最大为 但不是整数解 又由知可取 lCxy 63 19 75 0 19 x x1 2 3 当时 代入原不等式组得 当时 得或 1x 2y 1xy 2x 0y 1 或 2xy 1 当时 故的最大整数解为或 3x 1y 2xy xy 2 0 x y 3 1 x y 8 某家俱公司生产甲 乙两种型号的组合柜 每种柜的制造白坯时间 油漆时间及有关数据如下 问该公司如何安排这两种产品的生产 才能获得最大的利润 最大利润是多少 解答提示解答提示 1 设 x y