高二数学二项式定理综合测试题

由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 选修选修 2 3 1 3 1 二项式定理二项式定理 一 选择题 1 二项式 a b 2n的展开式的项数是 A 2n B 2n 1 C 2n 1 D 2 n 1 答案 B 2 x y n的二项展开式中 第 r 项的系数是 A C B C r nr 1n C C D 1 r 1C r 1nr 1n 答案 D 3 在 x 10的展开式中 x6的系数是 3 A 27C B 27C 6 104 10 C 9C D 9C 6 104 10 答案 D 解析 Tr 1 Cx10 r r 令 10 r 6 r 103 解得 r 4 系数为 4C 9C 34 104 10 4 2010 全国 理 5 1 2 3 1 5的展开式中 x 的系数是 x 3 x A 4 B 2 C 2 D 4 答案 C 解析 1 2 3 1 5 1 6 12x 8x 1 5 x 3 xxx 3 x 故 1 2 3 1 5的展开式中含 x 的项为 1 C 3 12xC x 3 x3 5 3 x 10 x 12x 2x 所以 x 的系数为 2 0 5 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 5 在 n n N 的展开式中 若存在常数项 则 n 的最 2x3 1 x2 小值是 A 3 B 5 C 8 D 10 答案 B 解析 Tr 1 C 2x3 n r r 2n r C x3n 5r r n 1 x2 r n 令 3n 5r 0 0 r n r n Z n 的最小值为 5 6 在 1 x3 1 x 10的展开式中 x5的系数是 A 297 B 252 C 297 D 207 答案 D 解析 x5应是 1 x 10中含 x5项与含 x2项 其系数为 C C 1 207 5 102 10 7 2009 北京 在 n的展开式中 常数项为 15 则 n 的一 x2 1 x 个值可以是 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 D 解析 通项 Tr 1 C x2 n r r 1 rC x2n 3r 常数项是 r 10 1 xr n 15 则 2n 3r 且 C 15 验证 n 6 时 r 4 合题意 故选 D r n 8 2010 陕西理 4 x 5 x R 展开式中 x3的系数为 10 则 a x 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 实数 a 等于 A 1 B 1 2 C 1 D 2 答案 D 解析 C xr 5 r C a5 rx2r 5 令 2r 5 3 r 4 r 5 a xr 5 由 C a 10 得 a 2 4 5 9 若 1 2x 6的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项 则 x 的 取值范围是 A x B x 1 12 1 5 1 6 1 5 C x D x 1 12 2 3 1 6 2 5 答案 A 解析 由Error 得Error x 1 12 1 5 10 在 20的展开式中 系数是有理数的项共有 3 2x 1 2 A 4 项 B 5 项 C 6 项 D 7 项 答案 A 解析 Tr 1 C x 20 r r r 20 rC x20 r r 20 3 2 1 2 2 2 3 2r 20 系数为有理数 r与 2均为有理数 2 20 r 3 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 r 能被 2 整除 且 20 r 能被 3 整除 故 r 为偶数 20 r 是 3 的倍数 0 r 20 r 2 8 14 20 二 填空题 11 1 x x2 1 x 10的展开式中 x5的系数为 答案 162 12 1 x 2 1 x 5的展开式中 x3的系数为 答案 5 解析 解法一 先变形 1 x 2 1 x 5 1 x 3 1 x2 2 1 x 3 1 x4 2x2 展开式中 x3的系数为 1 2 C 1 5 1 3 解法二 C 1 3 C C 1 2 C C 1 5 3 51 22 52 2 1 5 13 若 6的二项展开式中 x3的系数为 则 x2 1 ax 5 2 a 用数字作答 答案 2 解析 C x2 3 3 x3 x3 a 2 3 6 1 ax 20 a3 5 2 14 2010 辽宁理 13 1 x x2 x 6的展开式中的常数项为 1 x 答案 5 解析 1 x x2 6 x 1 x 6 x6 x26 x 1 x x 1 x x 1 x 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 要找出 6中的常数项 项的系数 项的系数 x 1 x 1 x 1 x2 Tr 1 C x6 r 1 rx r C 1 rx6 2r r 6r 6 令 6 2r 0 r 3 令 6 2r 1 无解 令 6 2r 2 r 4 常数项为 C C 5 3 64 6 三 解答题 15 求二项式 a 2b 4的展开式 解析 根据二项式定理 a b n C an C an 1b C an kbk C b 得 0 n1 nk nn n n n a 2b 4 C a4 C a3 2b C a2 2b 2 C a 2b 3 C 2b 0 41 42 43 44 4 4 a4 8a3b 24a2b2 32ab3 16b4 16 m n N f x 1 x m 1 x n展开式中 x 的系数为 19 求 x2的系数的最小值及此时展开式中 x7的系数 解析 由题设 m n 19 m n N Error Error Error x2的系数 C C m2 m n2 n m2 19m 171 2 m2 n 1 2 1 2 当 m 9 或 10 时 x2的系数取最小值 81 此时 x7的系数为 C C 156 7 97 10 17 已知在 n的展开式中 第 6 项为常数项 3 x 1 23x 1 求 n 2 求含 x2的项的系数 3 求展开式中所有的有理项 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 解析 1 Tr 1 C n r r r n 3 x 1 23x C x n r x r r n 1 3 1 2 1 3 r C x 1 2r n n 2r 3 第 6 项为常数项 r 5 时有 0 n 10 n 2r 3 2 令 2 得 r n 6 2 n 2r 3 1 2 所求的系数为 C 2 2 10 1 2 45 4 3 根据通项公式 由题意得 Error 令 k k Z 则 10 2r 3k 10 2r 3 即 r 5 k 10 3k 2 3 2 r Z k 应为偶数 k 可取 2 0 2 r 2 5 8 第 3 项 第 6 项与第 9 项为有理项 它们分别为 C 2 x2 C 5 2 10 1 25 10 1 2 C 8 x 2 8 10 1 2 18 若 n展开式中前三项系数成等差数列 求 展开式 x 1 24x 中系数最大的项 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 解析 通项为 Tr 1 C n r r r nx 1 24x 由已知条件知 C C 2C 解得 n 8