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第十七讲 矛盾方程（组）的解-最小二乘法一、从实验数据处理谈起设有一组实验数据(t1，s1)，(t2，s2)，(tn，sn)，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。假定规律为：，由于存在误差，令，则：Ax=b实际无解，或者说矩阵方程Ax=b成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？一般处理是，定义一种目标函数，例如：使误差最小化。wi=1(i=1n)时二、 最小二乘法（解）对于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一种方法。即求使的解。引理：,A1,3由如下方程的通解构成：其中，A(1,3)为A1,3中的某个矩阵。证：1。方程既然相容，设X是其某个解，则即方程的解必在A1,3中。2。设X为A的一个1,3-逆矩阵，则即，A的1,3-逆矩阵必满足方程AX=AA(1,3)令，则定理：矩阵方程Ax=b的最小二乘解为 ，其中A(1,3)为A的任何一个1,3-逆矩阵，反之，存在X，对于任何均有Xb成为Ax=b的最小二乘解，则。证明：所以，故取得极小值的条件是x为方程 的解。任取一个，我们知道。而对于，有（但最小二乘解是否一定具有A(1,3)b的形式呢？）方程的通解为显然最小二乘解并不一定都具有A(1,3)b的形式。反之，若对于，即推论：x是方程Axb的最小二乘解的充要条件是，x为方程的解。证：，而，故 最小二乘解一般不唯一。三、 极小范数最小二乘解定理2 ：设 ，则xb是方程Axb的极小范数最小二乘解。反之，若存在，若对于所有，xXb均成为方程Axb的极小范数最小二乘解，则X。证：最小二乘解满足AxAA(1,3)b，其极小范数解唯一，且为，反之，均成为唯一的极小范数最小二乘解，所以：X。定理3：矩阵方程AXBD的极小
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