数学建模之垃圾处理

城市生活垃圾管理问题研究 摘要 近年来 随着垃圾产量的日益增加 人们已经逐渐意识到它对生态环境及 人类生存带来的极大威胁 本文针对垃圾处理问题 先采用一元线性回归和最 小二乘曲线拟合的方法 求出垃圾产量的预测模型 再采用图论法 得到垃圾 最短收运路径以及最佳车辆分配方案 对于第一问 我们根据题意找到影响垃圾产量的六个因素 查得相关数据 后 运用一元线性回归的方法拟合出各个影响因素与年份的关系式 如下表 生产总值 亿万元 城市居民人均收入 元 人均消费水平 元 1 345 5 1331 3yx 2 1003 65309 9yx 3 986 7533 93yx 人口数量 万人 人均住房面积 平方米 城市燃气普及率 4 19 63073 9yx 5 1 9191 20 3513yx 6 8 255428 856 9 1 9 xx y x 接着 我们采用最小二乘曲线拟合的方法得到垃圾产量与各个影响因素的关系 式 如下 123456 38 262618 38748 08555 70362 94624 5376Yyyyyyy 这样 在已知年份的条件下 可以通过各个影响因素的值 预测出垃圾的 产量 由于预测量考虑了实际中的各个影响因素 故具有准确性和较高的实用 性 对于第二问 我们经过数据预处理 画出以车库为原点的垃圾收集点 中 转站分布图 接着 根据题中垃圾车的最大装载量与垃圾站的分布特点将数据 分成十二区域 用图论法在每个区域中找到最小生成树 为了避免垃圾收运车 走重复路线 我们通过观察 将最小生成树的树叶融入树中 形成一条链 即 为垃圾收运车的最短收运路线 在得到 12 个区域的最短路径图后 我们将行驶 时间 装车时间 卸车时间相加 得到在每个区域收集垃圾的总时间 h 如下 表 区域 1区域 2区域 3区域 4区域 5区域 6 2 10542 0351 94971 96641 76791 6508 区域 7区域 8区域 9区域 10区域 11区域 12 1 69771 66831 74021 85111 82331 7050 由上表知 车库每天至少需要 3 辆垃圾收运车收运垃圾 故最佳的车辆分配方 案为 3 辆垃圾收运车每辆每天前往 4 个区域收运垃圾 运用以上方法得到的收运路线 不但满足题设条件 不超过垃圾车的最大 装载量 日负载总量以及最多日收集点数 而且还能使垃圾的收运时间最短 另外该模型可以提出合理的车辆分配方案 提高了资源利用率 因此 本模型 具有较好的实用性和可靠性 关键词 垃圾预产量 线性回归 最小二乘曲线拟合 图论法 收运路线 1 问题的重述问题的重述 由于人类生产和生活的不断发展而产生的垃圾对生态环境及人类生存带来 极大的威胁已逐步成为重要的社会问题 城市生活垃圾是居民生活 消费过程 中产生的废弃物 其年增长速度达 8 10 因此导致城市垃圾的数量日益庞大 并且其组分复杂还处于不断变化中 使处理费用慢慢升高 另一方面城市垃圾 占用大量土地 污染水体 污染大气 破坏植被 严重影响城市的市容景观和 居民的生活环境 1 城市垃圾已成为各国政府急需妥善解决的首要问题之一 城市垃圾管理包括计划 组织 行政 金融 法律和工程等多方面 并涉 及到城市生活垃圾收集 运输和处置 而中国目前处置水平低 管理办法不多 更是急待解决的问题 在这方面 世界许多国家在谋求解决城市生活垃圾过程 中 产生出许多好的办法 并在此过程中总结了经验和教训 一般认为城市生活垃圾的影响因素包括地理位置 人口 经济发展水平 生产总值 居民收入以及消费水平 居民家庭能源结构等等 城市生活垃圾 产量是垃圾管理系统的关键参数 城市在建造垃圾填埋场之前 必须对该地区的 未来垃圾产量进行合理预测 若对城市垃圾产生量的估计过高 相应的填埋场库 容设计必然增大 各种投资亦相应增加 将导致物力财力的巨大浪费 若对垃圾产 量估计过低 在未达到填埋场设计使用年限时就将被迫关闭 不得不投资另行建 造其他填埋场或对填埋场进行扩容 同样会导致物力财力的浪费 2 因此对未来 某段时间内垃圾产量的准确预测是相关垃圾管理的部门做出管理规划的前提 另外 城市垃圾自其产生到最终被送到处置场处理 需要环卫部门对其进 行收集与运输 这一过程称为城市垃圾的收运 收运过程可简述如下 某城市有多个行政区 每个区内均有一个车库 假设某一车库拥有最大装 载量为 w 的垃圾收集车 k 辆 并且该区的垃圾收集点 待收集垃圾的点 有 n个 该城市共有垃圾中转站 p 座 每天 k 辆垃圾车从车库出发 经过收集点 收集垃圾 当垃圾负载达到最大装载量时 垃圾车运往中转站 在中转站卸下 所有收运的垃圾 然后再出站收集垃圾 如此反复 直到所有收集点的垃圾都 被收集完 垃圾车返回车库 以上收运过程均在各点的工作区间之内完成 注 必须在收集点的工作区间之内 垃圾车才能在该点收集垃圾 请利用数学方法建立以下问题的数学模型并求解 对模型的结果做出合理 分析和解释 1 在查阅相关文献 搜集垃圾产量数据的基础上建立城市生活垃圾产量中 短期预测模型 并且分析模型的准确性和实用性 2 在收运过程已知下述 1 2 3 4 等条件下 如何安排垃圾收 运车的收运路线 使垃圾收运车的行车里程尽可能的少 或者垃圾收运时间尽 可能短 1 车库和收集点 收集点与中转站 中转站与车库的距离 2 各收集点每天的垃圾产量 3 每辆垃圾收运车的最大载荷 4 垃圾收集点 车库 中转站的工作区间 a b 请给出规划以上垃圾收运路线的数学模型 并设计出有效的算法 针对题 中给出的数据 求解模型 并且对模型的适用性 算法的稳定性和鲁棒性做出 分析 2 问题的分析问题的分析 2 1 分析影响城市生活垃圾的因素分析影响城市生活垃圾的因素 城市生活垃圾的影响因素决定了城市生活垃圾的总量 而这些影响因素包 括城市规模 城市经济的发展程度 城市人口的多少及居民的收入 消费水平 等诸多方面 故此处首先查阅相关资料 3 了解以往在解决此类问题时的标准 再根据近几年我国居民消费水平 生活方式能源结构等方面的变化规律进行分 析 最终得到对城市生活垃圾总量影响显著的几个因素如下 1 人口数量 随着人口的不断增加以及城市人口流动的不断加剧 在人均 垃圾产量稳定变化的基础上人口的变化必定造成城市生活垃圾产量的变 化 2 生产总值 生产总值的变化意味着居民生活水平的改变 居民生活水平 的好坏直接关系到其生活方式的调整 不同的生活方式会对城市生活垃 圾产量的大小造成影响 3 城市居民人均收入 人均消费水平 是居民生活水平的指标 人均收入 关系到消费水平 而消费增水平的改变导致购买力发生变化 4 人均住房面积 城市燃气普及率 人均住房面积的波动关联到供暖面积 而供暖需要消耗能源 故影响到垃圾的产生量 城市燃气普及率的高低 意味着煤炭等产生固体垃圾的能源消耗量的多少 2 2 搜集城市生活垃圾产量数据搜集城市生活垃圾产量数据 随机选定重庆市作为研究对象 在中国国家统计局网站上查到其 2001 2006 年人口数量 国内生产总值等各影响因素及垃圾产量的统计数据如表格 2 2 1 表格 2 2 1 年份 生产总 值 亿元 城市居民人 均收入 元 人均消 费水平 元 人口数 量 万人 人均住 房面积 平方米 城市燃 气普及 率 垃圾产 量 万 吨 20011765 686572 31078 063097 9122 532 2164 6 20021990 017238 071228 893113 8323 946 6211 7 20032272 828093 671415 313130 125 7259 5215 3 20042692 819220 9635963144 2328 2563 52237 2 20053070 4910243 9947823169 1630 6868 84237 6 20063452 1411569 7454173198 8731 3675 84243 9 2 3 整体分析得城市生活垃圾产量中短期预测模整体分析得城市生活垃圾产量中短期预测模 首先画出各个影响因素与年份之间的散点图 确定为线性关系 建立一元 线性回归模型 求解方程参数 再确定垃圾产量与各影响因素的近似拟合曲线 利用最小二乘原理得出精确的拟合方程 综上 将两次求得关系通过方程联立 即得最终预测模型 2 4 构建垃圾收运路线的模型构建垃圾收运路线的模型 对题目所给的数据进行预处理 画出车库 中转站 垃圾收集点分布图 以不 超过每辆车的最大装载量为依据将垃圾收集点分组 接着 利用图论法画出每 组的最小生成树 将树叶融入树中 形成最优路线 根据最优路线算出从车库 出发到收集完垃圾回车库所用的总时间 进一步确定合理安排车辆收运垃圾的 方案 3 模型的假设模型的假设 1 假设影响垃圾产量的只有内在因素 如人口数量 居民生活水平等 不包 括社会因素 如社会行为准则 社会道德规范 和个体因素 人类本身个 体的行为习惯 受教育程度 4 2 假设垃圾产量只包括被清运的垃圾 散落的垃圾不予统计 查询垃圾产量 统计数据时即默认为生活垃圾清运量 4 符号说明符号说明 x年份 2000 1 y 生产总值 2 y 城市居民人均收入 3 y 人均消费水平 4 y 人口数量 5 y 人均住房面积 6 y 城市燃气普及率Y垃圾产量 5 模型的建立模型的建立 5 1 模型一 城市生活垃圾产量中短期预测模型模型一 城市生活垃圾产量中短期预测模型 5 1 1 建立城市生活垃圾产量的各影响因素与年份的关系建立城市生活垃圾产量的各影响因素与年份的关系 1 初步判断年份与城市生活垃圾产量的影响因素 先根据年份 x 与影响因素 y 的试验值画出散点图 根据散点图确定须配曲线的 类型 此处以生产总值为例 画出散点图 如图 5 1 1 图 5 1 1 由图中散点知 数据点大致落在一条直线附近 故确定为一次函数曲线 其他 几个因素均如此 建立一元线性回归模型 2 10 0 DE xy 其中固定的未知参数 称为回归系数 自变量 x 也称为回归变量 0 1 将 称为 y 对 x 的回归直线方程xY 10 2 用 n 对试验值对 和作最小二乘估计niyx ii 2 1 0 1 设 01 2 12 1 2 0 ii iin yxin ED 且相互独立 记 n i ii n i i xyQQ 1 2 10 1 2 10 解得 或 01 1 22 yx xyxy xx n i i n i ii xx yyxx 1 2 1 1 其中 22 1111 1111 nnnn iiiii iiii xx yy xxxyx y nnnn 得回归方程 110 xxyxy 3 检验回归方程的显著性xY 10 归结为对假设 进行检验 假设被拒绝 则0 0 1110 HH 01 0H 回归显著 认为 y 与 x 存在线性关系 所求的线性回归方程有意义 否则回归 不显著 y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述 所得的回归方程也无 意义 检验法 当成立时 F 0 H 2 nQ U F e 1 2Fn 其中 回归平方和 当时 拒绝 否则就 n i i yyU 1 2 F 2 1 1 nF 0 H 接受 0 H 4 判断回归系数的置信区间 01 和置信水平为 1 的置信区间分别为 0 1 xx e xx e L x n nt L x n nt 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2 1 2 和 xxexxe LntLnt 2 2 2 1 1 2 1 1 5 1 2 确定垃圾产量与其各影响因素的关系确定垃圾产量与其各影响因素的关系 1 确定拟合函数 观测影响因素与垃圾产量的一系列数据集 考虑借助曲线拟合用一个相对 简单的解析曲线去逼近所得到的数据集 但拟合的曲线往往不能完全符合给出 的数据 因此需要对拟合的性能给出一个量度 这里使用最小二乘原理 极小 化偏差的平方和 作为衡量曲线拟合优劣的准则 它不要求得到的曲线过所有 的点 可消除误差的影响 只要求在给定点上的误差的平方和最小 并且能够 尽可能表现数据的趋势 靠近原来的数据点 这里选择形如的式子作 001122nn Ys xa yxa yxa yxa yx 为拟合的曲线 式中是线性无关的函数族 01 n yxyxyxC a b 2 根据最小二乘原理先求法方程系数 假定在上给出一组数据 a b 10 1 ii x Y m 以及对应的一组权 这里为权系数 要求 i axb 0 m i 0 i 使最小 其中 01 s xspan yy n y 01 n I a aa 2 01 0 m niii i I a aas xY 实际上是关于的多元函数 求的最小值就是求多 01 n I a aa 12 n a aa I 元函数的极值 由极值必要条件 可得I 0011 0 2 0 1 m iiinniiki i k I a yxa y xa yxY yxn a 根据内积定义引入相应带权内积记号 0 0 m jkijiki i m kiiki i yyyx yx Y yY yx 则可改写为 nkYyayyayyayy knknkk 1 0 1100 这是关于参数的线性方程组 用矩阵表示为 0001000 1011111 01 n n nnnnnn yyyyyyaY y y yy yy yaY y yyyyyyaY y 上式称为法方程 当线性无关 且在点集 0 1 j yxjn 上至多只有个不同零点 则称 在上 01 m Xx xxmn n 01 n yyy X 满足 Haar 条件 此时法方程的解存在唯一 其解为 0 1 kk aa kn 从而得到最小二乘拟合曲线 0011 nn Ysxa yxa y xa yx 5 2 模型二 垃圾收运路线规划模型模型二 垃圾收运路线规划模型 根据垃圾车最大装载量和数据分布将所给数据分成若干个区域 每个区域 均有若干个点 通过图论生成最小生成树 找到连接所有垃圾收集点的最小路 径 通过 Prim 算法 5 求所分区域的最小生成树 方法如下 1 建立以两点间距离为权值的权邻接矩阵 其中一两点间的 n na i j Manhattan 距离为权值 计算公式如下 11221212 distance x yxyxyxx xyy y 2 建立初始候选边表 B T 3 从候选边中选出最短边 i j TTi j 4 调整候选边集 B 5 重复 2 3 直到中含有条边 T1n 通过上述算法得到的线路即为连接各点的最小生成树 其特点是边权和最 小 但是 垃圾的收运不是简单的连接问题 而最小生成树形成的路线需要在 树杈路线上回返 这样就会增加行程 故在最小生成树的基础上比较树杈与其 相邻的权边 以边权增加最小为原则进行边替换 将树叶融入主干 这样便可 以得到能将所分区域的所有垃圾收集点串联起来的一条 链 且其权和最小 该 链 即为最佳的行车路线 6 模型的求解模型的求解 6 1 确定年份与城市生活垃圾产量各影响因素的关系式确定年份与城市生活垃圾产量各影响因素的关系式 6 1 1 求解影响因素与年份的一元回归模型求解影响因素与年份的一元回归模型 以生产总值因素为例 假设变量 x 与 y 满足如下关系 运用 byax MATLAB 中一元线性回归程序处理数据分析得 方程 345 5a 1331 3b 为 1 345 5 1331 3yx 由拟合结果知 a 的置信区间为 297 7 393 4 b 的置信区间为 1144 9 1517 7 相关系数 r2为 0 9901 F 的值为 401 6431 与 F 对应的概率 p 为 0 0000 由于相关系数 r2越接近 1 说明回归方程越显著 F 越大 说明回归方程 越显著 与 F 对应的概率 p 小于显著性水平 缺省时为 0 05 时 回归模型成立 故回归方程及参数拟合准确 根据上述步骤对其他指因素回归方程 相关系数 r2 F 的值以及 F 对应的 概率 p 如表格 6 1 1 表格 6 1 1 指标回归方程 相关系 数 r2 F 值 F 对应的 概率 p 城市居民人 均收入 元 2 1003 65309 9yx 0 9888353 99290 0000 人均消费水 平 元 3 986 7533 93yx 0 912341 60880 0030 人口数量 万人 4 19 63073 9yx 0 9776174 59170 0002 指标回归方程 相关系 数 r2 F 值 F 对应的 概率 p 人均住房面 积 平方米 5 1 9191 20 3513yx 0 9828228 06230 0001 城市燃气普 及率 6 8 255428 856 9 1 9 xx y x 0 943867 14040 0012 由表格中数据可以看出 每组数据模拟出方程的 r2数值都接近于 1 p 的值 也远小于 0 05 故可认为模型假设正确 6 1 2 求解垃圾产量与影响因素的多元回归模型求解垃圾产量与影响因素的多元回归模型 对于各个指标与垃圾清运量的关系我们借助调用 MATLAB 优化工具箱中 最小二乘曲线拟合函数 lsqlin 源程序见附录 1 求解得 123456 38 262618 38748 08555 70362 94624 5376Yyyyyyy 综合上述两个模型 在已知年份的条件下 可以通过求解各个影响因素的 值 预测出垃圾的产量 此模型即为垃圾产量预测模型 6 2 求解垃圾收运路线的规划模型求解垃圾收运路线的规划模型 6 2 1 数据预处理数据预处理 分析题中已知数据发现有垃圾站点重复现象 我们将重复点的垃圾量相加 得到该点垃圾总量 并以车库为原点进行数据平移 画出中转站 垃圾收集点 的相对位置 如图 6 2 1 图 6 2 1 6 2 2 确定垃圾收集分组区域确定垃圾收集分组区域 根据车库 中转站 垃圾收集点的相对位置图 从最左边的收集点开始 以不超过每辆垃圾车的最大装载量为依据 对收集点进行分组 得到 12 个垃圾 收集分组区域 6 2 3 画最小生成树图画最小生成树图 针对区域一的数据 利用图论法编程 源程序见附录 2 得到最小生成树 如图 6 2 2 图 6 2 2 6 2 4 画最短路径图 得最优路线画最短路径图 得最优路线 由上图可看出 如果按照上述路线进行收运垃圾 存在同一路线的往返问 题 无疑增加了垃圾车的行程 使垃圾收运时间变长 故在此图的基础之上 根据权值比较对树杈进行修改 将其融入树干连成一条链 即得到此区域内经 过所有点的最短路径 源程序见附录 3 路线图如图 6 2 3 图 6 2 3 在垃圾收运时 垃圾车从车库出发到达相对于中转站而言的最远点 沿上 图路线收运垃圾 将垃圾送到中转站后再回到车库 此即为最优路线 按照以上方法画出其他十一个区域的垃圾收运最优路线 最小生成树图与 最短路径图见附录 4 6 2 5 提出车辆最佳分配方案提出车辆最佳分配方案 在得到 12 个区域的最短路径图后 依次对各个垃圾收集点之间的距离求和 将该值与车库到最远收集点的距离 以及中转站到最近收集点的距离相加 得 行车里程 此时 行车里程与垃圾车的行车速度的比值 即为行驶时间 接着 我们将行驶时间 装车时间 卸车时间相加 得到在每个区域收集垃圾的总时 间 h 如表格 6 2 1 表格 6 2 1 行车里程行驶时间 h 装车时间 h 卸车时间 h 总时间 h 2891961 36930 236110 52 1054 2757941 30580 229170 52 035 2695121 27610 173610 51 9497 2686381 2720 194440 51 9664 2091180 990140 277780 51 7679 1990500 942470 208330 51 6508 1972280 933840 263890 51 6977 2042220 966960 201390 51 6683 2135241 0110 229170 51 7402 2325561 10110 250 51 8511 2193461 03860 284720 51 8233 2193001 03840 166670 51 705 由上表总时间可以看出 只有区域一 二的时间略微超过两小时 可近似 按两小时计算 其余十个区域均小于两小时 根据国家规定 每个工作日的工 作时间为八小时 故每辆车每天可以收集四个区域的垃圾 所以车库每天至少 需要 3 辆垃圾收运车 最佳的车辆分配方案为 3 辆车每天前往 4 个区域收运垃 圾 7 模型的检验模型的检验 以生产总值为例 检验城市生活垃圾产量影响因素与年份的一元回归模型 做残差图 如下 从残差图可以看出 除第 1 个数据外 其余数据的残差离零点均较近 且 残差的置信区间均包含零点 这说明回归模型能较好的符合345 5 1331 3yx 原始数据 而第 1 个数据可视为异常点 同上对其他影响因素作残差分析 结果如下 指标 城市居民人均 收入 元 人均消费水 平 元 人口数量 万人 人均住房面 积 平方米 城市燃气普 及率 残插图 有无异 常点 无异常点 第 3 个数据 为异常点 第 6 个数 据为异常 点 无异常点无异常点 其中正常数据点的残差均离零点较近 置信区间包含零点 故回归模型能较好 的反应原始数据 准确性较高 8 模型的评价模型的评价 通过建立模型一 我们便可以在已知年份的条件下 借助各个影响因素的 值 预测出垃圾的产量 便于相关垃圾管理的部门做出管理规划综合整治 处 理垃圾 利于城市市容景观和居民生活环境的改善 此种预测方法考虑了实际 中的各个影响因素 故具有准确性和较高的实用性 通过模型二求得的最优收运路线 不但考虑到垃圾车的最大装载量 日负 载总量和最多日收集点数 而且还能使垃圾的收运时间最短 另外该模型可以 提出合理的车辆分配方案 提高了资源利用率 因此 本模型具有较好的实用 性和可靠性 9 参考文献参考文献 1 刘守芳 刘沙等 城市垃圾产量预测研究 云南环境科学 2006 25 1 28 30 2 廖智强等 基于指数趋势模型在城市垃圾产量预测中的应用 环境保护科学 2006 32 4 27 29 3 王欢 王伟 城市生活垃圾产生量及组分的预测方法研究 环境卫生工程 2006 14 4 6 8 4 向盛斌 城市居民生活垃圾影响因素分析及产量预测 环境卫生工程 1998 6 1 7 12 5 傅鹂 何中市等 数学实验 北京 科学出版社 2000 215 218 10 附录附录 附录 1 clear clc b load shuju txt A zscore b Y A 8 x1 A 2 x2 A 3 x3 A 4 x4 A 5 x5 A 6 x6 A 7 X x1 x2 x3 x4 x5 x6 x resnorm residual exitflag output lambda lsqlin X Y 附录 2 clear clc B 39337 38419 38154 38112 37730 37730 37475 37308 37167 36280 35594 35587 355