等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结等差数列与等比数列总结 一 等差数列 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常 数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差常用小 写字母 d 表示 等差中项 如果 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 如果三个数成 2 ba A 等差数列 那么等差中项等于另两项的算术平均数 等差数列的通项公式 an Nn d 1 n aa 1n 等差数列的递推公式 an 2n daa 1nn 等差数列的前 n 项和公式 an n S 2 n aa n1 d 2 1 n n na1 中1 2 nan 2 d a n 2 d 等差数列的性质 1 d 1 n aa mn 说明 n11m ad 1 n ad m n d 1 m ad m n a 2 若 m n p q 且 m n p q 则有 N qpnm aaaa 说明 qp11nm aa 2 qp a2d 2 nm a2aa 3 md成等差数列 公差为 a a a m2kmkk 说明 mda aa a mkm2kkmk 4 成等差数列 公差为 k 1 n nkk2k3kk2k S SS S S S S dn2 说明 dn aaa aaa S S S 2 n21n22n1nnnn2 aaa aaa S S S S n22n1nn32n21n2n2nn2n3 dn2 5 数列成等差数列 anBnAnS aaa2 qpna 2 n1n1 nnn 说明 d a dnd 1 n aa 1mn n Sd 2 1 n n na1 n 2 d a n 2 d 1 2 6 若数列是等差数列 则为等比数列 c 0 an c n a 说明 d a a a a cc c c 1 nn 1 n n 7 偶奇n偶奇n SSS表示偶数项的和 则S表示奇数项的和 S项和 n是前S 当 n 为偶数时 d 2 n S S 奇偶 当 n 为奇数时 naS 中n 中偶奇 aS S 1 n 1n S S 偶 奇 说明 当 n 为偶数时 d 2 n a a a a a a S S 123 n2 n1 nn奇偶 当 n 为奇数时 中11 nn231偶奇 ad 2 1 n a a a a a aS S 1 n 1n 2 1 n aa 2 1 2 1n aa 2 1 S S 1 n2 n1 偶 奇 n a S S S SS 中 n 偶奇 偶奇 8 设 1 2n 1 n2 n n nnnn T S b a 项和 则n的前 b a分别表示等差数列T和S 说明 n n 中 中 1 2n 1 n2 b a b 1 n2 a 1 n2 T S 例 等差数列 15 15 n n nnnn b a 求 1 n3 1n5 T S 若T和S项和分别为n的前 b a 9 1 d 0a 则qp pa qa qpqp q pa 则qp pS qS qpqp 0a 则qp SS qpqp 说明 0q qqdaa 1 dq pd q p a a pqpqp 2 aap q 2 q p aa aa SS p1q p1q p1qqp q p 2 qp aa 2 qp aa S p1qqp1 qp 二 等比数列 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常 数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比常用小 写字母 q 表示 等比中项 如果 那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项 如果三个数成等abG2 比数列 那么等差中项的平方等于另两项的积 等比数列的通项公式 an Nn qaa 1 n 1n 等比数列的递推公式 an 2n qaa 1nn 等比数列的前 n 项和公式 an n S 1q q 1 qa a q 1 q 1 a 1q na n1 n 1 1 等比数列的性质 1 m n mn qaa 说明 n 1 n 1 m n1 m 1 m n m aqaqqaqa 2 若 m n k l 且 N lknm aaaa lknm 说明 lk 2 lk2 1 2 nm2 1nm aaqaqaaa 3 m m2kmkk q 成等比数列 公比为 a a a 说明 m mk m2k k mk q a a a a 4 成等比数列 公比为 k 1 n nkk23kkk2k S SS S S S S n q 说明 n n21 n22n1n n nn2 q aaa aaa S S S 5 数列成等比数列 an 1 q AS qpa aaa n n n n1n1 n 2 n 说明 1 q 1 q a q 1 q 1 a S q q a qaa n 1 n 1 n n 1 1 n 1n 6 若数列是等比数列 则 an0a为等差数列 a log nnc 说明 qlog a a logalog alog c 1 n n c1 ncnc 7 偶奇n偶奇n SSS表示偶数项的和 则S表示奇数项的和 S项和 n是前S 若 n 为偶数时 当 n 为奇数时 q a a 奇 偶 q S a S 偶 1奇 说明 当 n 为偶数时 q aaa aaa a a 1 n41 n42 奇 偶 当 n 为奇数时 q aaa aaa S a S 1 n42 n53 偶 1奇 8 设 偶奇n偶奇n TTT表示偶数项的积 则T表示奇数项的积 T项积 n是前T 当 n 为偶数时 n 中奇中 偶 奇2 n 奇 偶 aT a T T 为奇数时