函数方程思想的应用举例

函数方程思想的应用举例函数方程思想的应用举例 函数方程思想是中学数学中最基本 最重要的数学思想 也是历年高考的重点 函数的思想就是用运动和变化的观点 分析和研究数学问题 具体来说 即先构造函数 把给定问题转 化为研究辅助函数的性质 单调性 奇偶性 周期性 图象的交点个数 最值 极值等 问题 研究后 得出所需要的结论 函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题 通过解方程 或方程组 或者运用方程的性质来分析 转化问题 使问题得以解决 函数与方程思想是密切相关的 函数 当时 就转化为方程或看作方程 而方程的解是函 数图象与 x 轴交点的横坐标 函数与不等式也可以相互转化 对函数 当时 就是不等式 而求的解则可比较函数图象位置而得到 一 构造函数思想 例 1 证明不等式 分析 由所证不等式很容易想到比商法 但 a b 的正负无法确定 即使分类后 当 a b 都为正数时 其商也无法与 1 比大小 思路受阻 再观察不等式两边形式类似 稍加变形即为 即 可联想到函数 就只需证了 利用函数单调性 问题得以巧妙解决 解 令 在上 则在上为增函数 则 即 所以 点评 应用函数性质证明不等式 关键在于构造一个适当的函数 且能方便地判断函数的有关性质 例 2 已知 对于值域内的所有实数 m 不等式 恒成立 求 x 的范围 分析 我们习惯上把 x 当作自变量 构造函数 于是问题转化为 当 时 恒成立 求 x 范围 但要解决这个问题要用到二次函数以及二次方程的区间根原 理 相当复杂 而如果把 m 看作自变量 x 视为参数 原不等式化为 构造函数 为 m 的一次函数 在上恒大于 0 这样就非常简单 解 因为 所以 即 原不等式可化为恒成立 又 所以 令为 m 的一次函数 问题转化为在上恒大于 0 的问题 则只需 解得或 即 点评 注意到本题有两个变量 x m 且 x 本来为主元 但为了解题方便 把原不等式看为 m 的一次函数 大大简化了运算 在多字母的关系式中 应对参数的策略常常是 反客为主 变更主元 重新构造函 数 二 构造方程思想 例 3 已知 则有 A B C D 分析 原式变为 则是实系数一元二次方程的一个实根 故 故选 C 点评 通过简单转化 敏锐地抓住了数与式的特点 运用方程思想使问题迎刃而解 例 4 已知 且 则 a 的范围为 解 由平方得 又 则 由此得到启示与都可用 a 表示 故 b c 是关于 x 的一元二次方程的两根 故 解得 点评 当问题出现两数积与这两数和时 是构造一元二次方程的明显信号 构造方程后再用方程特点可 使问题巧妙解决 三 函数方程统一思想 例 5 已知三次方程恰有三个相异实根 求实数 m 的范围方程的根 即函 数图象与 x 轴交点横坐标 由题意函数应与 x 轴有三个不同产点 因三 次曲线连续且光滑 故只需函数极大值与极小值异号即可 解 令 则 令 得 为使与 x 轴交于不同的三个点 只须 即 点评 方程函数互相转化 为得到方程根的情况 用函数图象特点 特别用导数法求得极值 点 用限制极值的方法使图象穿 x 轴三次 问题解决 利