初三数学圆的专题复习

1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 1 教教 师师初三学生初三学生上课时间上课时间 201201 年年 月月 日日 阶阶 段段基础 基础 提高 提高 强化 强化 课时计划课时计划共共 次课次课 第第 次课次课 教学课题教学课题 圆的专题复习圆的专题复习 教学目标教学目标见下文 教学重难点教学重难点见下文 教教 学学 过过 程程 圆的专题解析一圆的专题解析一 一 知识点知识点 一 圆的有关概念和性质 1 圆是 的所有点组成的图形 2 圆是轴对称图形 它的直径所在的直线都是对称轴 又时中心对称图形 它的中心是圆心 3 垂径定理 垂径定理 图 1 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的弧 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 推论 2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 5 圆心角定理 圆心角定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 如果两个圆心角 两条弦 两条弧中有一组量相等 那么其余各组量都分别 例 1 如图 2 已知 O 的半径 OA 长为 5 弦 AB 的长 8 OC AB 于 C 则 OC 的长为 例 2 如图 3 P 为 O 的弦 BA 延长线上一点 PA AB 2 PO 5 求 O 的半径 图 1 图 2 图 3 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 6 顶点在圆周上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 7 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 O C B A 也可以理解为 一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍 圆周角的度数等于它所对的弧的度数 的一半 8 推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 的圆周角所对的弦是直径 90 9 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧也相等 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 12 10 的三点确定一个圆 11 设圆的半径为 点到圆心的距离为 则点在圆外 rd 点在圆上 点在圆内 12 三角形的三个顶点可以确定一个圆 这个圆叫做 外接圆的圆心叫做三 角形的 它到三角形 都相等 是 的交点 问题 1 如何作三角形的外接圆 如何找三角形的外心 问题 2 三角形的外心一定 在三角形内吗 13 如果一个圆经过四边形的各顶点 这个圆叫做四边形的外接圆 这个四边形叫做这个圆的内接 四边形 推论 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 推论 圆内接梯形是等腰梯形 圆内接平行四边形是矩形 二 圆的有关算 14 正边形的一个内角的都数是 中心角为 15 扇形的半径为 扇形的圆心角为 那么扇形的弧长 扇形的面积 R n l S 16 如果扇形的弧长为 半径为 那么扇形的面积 lR S 17 圆锥的侧面展开图是一个扇形 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径 如果底面半径为 母线长为 则圆锥的高为 侧面积为 Rl 二二 圆易错点圆易错点 1 注意考虑点的位置 注意考虑点的位置 在解决点与圆的有关问题时 应注意对点的位置进行分类 如点在圆内圆外 点在优弧劣弧等 例 点到 上的最近距离为 最远距离为 则 的半径为POcm3cm5O cm 例 是 的一条弦 点 A 是 上的一点 不与 B C 重合 则BCO 120BOCO 的度数为 BAC 2 注意考虑弦的位置 注意考虑弦的位置 在解决与弦有关的问题时 应对两条的位置进行分类 即注意位于圆心同侧和异侧的分类 例 3 在半径为的圆中 有两条平行的弦 一条为 另一条为 则这两条平行弦的距cm5cm8cm6 离是 例 4 是 的直径 是 的两条弦 且 则ABOACADO 30BAC 45BAD 图 1 O A C B 图 2 O A C B N M D 图 3 O A C B N M D 图 4 O A C B 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 的度数为 CAD 三三 考点考点 考点考点 1 基本概念和性质 基本概念和性质 考查形式 主要考查圆的对称性 直径与弦的关系 等弧等有关命题 常以选择题的形式出现 例 1 2010 兰州 有下列四个命题 直径是弦 经过三个点一定可以作圆 三角形的外心到 三角形各顶点的距离都相等 半径相等的两个半圆是等弧 其中正确的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 考点考点 2 圆心角与圆周角的关系 圆心角与圆周角的关系 例 2 2010 年连云港 如图 点 A B C 在 O 上 AB CD B 22 则 A 考点考点 3 垂径定理 垂径定理 考查形式 主要考查借助垂径定理的解决半径 弧 弦 弦心距之间的计算和证明 填空题 选择题 或解答题中都经常出现它的身影 解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距 构造 直角三角形进行解决 例 3 2010 芜湖 如图 在 O 中 有折线 其中 OABC8 OA12 AB 则弦的长为 60BABC 19161820 考点考点 4 弧长扇形面积的计算 弧长扇形面积的计算 考查形式 考查运用弧长公式 以及扇形面积公式 和 180 rn l 360 2 rn S 进行有关的计算 常以填空题或选择题的形式进行考查 lrS 2 1 例 1 扇形的面积是它所在圆的面积的 2 3 这个扇 形的圆心角的度数是 例 2 扇形 AOB 的半径为 12cm AOB 120 求扇形的面积和周长 例 6 2010 巴中 如图所示 以六边形的每个顶点为圆心 1 为半径画圆 则图 中阴影部分的面积为 解题思路 本题可以把六个扇形作为一个整体 六个扇形圆心角的为六边形的内 角和 在运用扇形面积公式即可求解 360 2 rn S 考点考点 5 圆锥的侧面展开问题 圆锥的侧面展开问题 考查形式 考查圆锥的侧面展开图的有关知识以及空间想象能力 常以选择题或填空题的形式出现 例 1 圆锥的母线为 5cm 底面半径为 3cm 则圆锥的表面积为 例 2 2010 年眉山 已知圆锥的底面半径为 4cm 高为 3cm 则这个圆锥的侧面积为 cm2 例 3 已知 在 Rt ABC ACB 90 AB 5 AC 4 求以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体的全面 积 F E O C B A 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 D C B A A S 例 4 已知圆锥底面半径为 1cm 母线长为 cm 1 求它的侧面展开图的圆心角和全面积 2 若一甲虫从圆锥底面圆上一点 A 出发 沿圆锥侧面绕行到母线 SA 的中点 B 它所走的最短路程 是多少 巩固练习巩固练习 1 下列命题中 正确命题的个数为 平分弦的直径垂直于弦 圆周角的度数等于圆心角度数的一半 的圆周角所对的弦是直 圆 90 周角相等 则它们所对的弧相等 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 如图 ABC 内接于 O AC 是 O 的直径 ACB 500 点 D 是弧 BAC 上一点 则 D 的 度数 3 如图 AB 是 O 的弦 半径 OA 2 则弦 AB 的长是 30AOB A B C D 2232553 5 已知和的半径分别是一元二次方程的两根 且则和 1 O 2 O 120 xx 12 2OO 1 O 的位置关系是 2 O 6 如图 方格纸中 4 个小正方形的边长均为 1 则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 结果保留 7 小明想用一个半径为 5cm 弧长是cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面 那么围成6 的圆锥的高度是 cm 8 如图 切 O 于 两点 切 O 于点 分别交 与点PAPBABCDEPAPB 若 的长是关于关于的一元二次方程CDPAPBx 的两个根 求的周长 0 1 2 mmxxPCD OE D C B A P 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 圆的专题解析二圆的专题解析二 学习目标 学习目标 1 掌握点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系 了解切线的概念 掌握切线与过切点的半径之间的 位置关系 能判定一条直线是否是圆的切线 会过圆上一点画圆的切线 了解三角形的内心和外心 掌 握如何过一点 过两点 过不在同一条直线上的三点作圆 了解反证法 2 理解 应用切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 理解并应用切线的性质定理及切线长定理 4 了解两个圆相离 外离 内含 两个圆相切 外切 内切 两圆相交 圆心距等概念 理解两圆的位置关系与 d r1 r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题 学习过程 学习过程 一 温故而知新一 温故而知新 1 已知 O 的半径为 5cm A 为线段 OP 的中点 当 OP 6cm 点 A 与 O 的位置关系时 A 点 A 在 O 内 B 点 A 在 O 上 C 点 A 在 O 外 D 不能确定 2 已知 O1与 O2的半径分别为 3cm 和 4cm 圆心距 10cm 那么 O1与 O2的位置关系是 A 内切 B 相交 C 外切 D 外离 3 直角三角形的两条边长分别为 6 和 8 那么这个三角形的外接圆半径等于 二 考点解读 二 考点解读 10 考点 1 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d 圆的半径为 r 点在圆内 d r 点在圆上 d r 点在圆外 d r 2 直线和圆的位置关系 设圆心到直线的距离为 d 圆的半径为 r 直线和圆相交 d r 直线和圆相切 d r 直线和圆相离 d r 切线的性质和判定 切线的判定定理 过半径外端且垂直于这条切线的直线是圆的切线 切线 的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 性质定理的推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必过切 点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这点的连线平分两条切线所夹 的角 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 相交弦定理 如图 已知 AB CD 是 O 内的两条相交弦 则有 PA PB PC PD R2 OP2 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 相交弦定理的推论 已知 AB 是 O 的直径 CD 是弦 AB CD 则有 PA PB PC2 PD2 R2 PD2 6 切割线定理 如图 PC 是 O 的切线 PAB 是 O 的割线 则有 PA PB PC2 OP2 R2 切割线定理的推论 如图 PAB PCD 是 O 的两条割线 则有 PA PB PC PD OP2 R2 3 圆与圆的位置关系 1 设 R r 为两圆的半径 d 为圆心距 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 两圆内含时 如果 d 为 0 则两圆为同心圆 2 两圆相交连心线垂直平分公共弦 且平分两条外公切线的夹角 3 两圆相切 连心线必过切点 20 难点 1 判定与圆有关的位置关系 的关键 点与圆的位置关系是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系 来确定 直线与圆的位置关系是比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定 圆与圆的位置关系 是比较圆心距与半径之和或半径之差的大小来确定 2 如何判定该直线是圆的切线 3 切割线定理的使用不正确 如上图 PC 是 O 的切线 PAB 是 O 的割线 则 PC2 PA AB 和 PAB PCD 是 O 的两条割线 则有 PA AB PC CD 三 例题讲解三 例题讲解 1 2009 年 武汉 已知圆的半径为 6 5cm 如果一条直线和圆心的距离为 9cm 那么这条直线和这个圆 的位置关系是 A 相交 B 相切 C 相离 D 相交或相离 变式题变式题 同一平面上的两圆 有两条公切线 则它们的位置关系是 A 相交 B 相切 C 相离 D 相交或相离 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 2 如图 O 的直径 AB 12cm AM BN 是两条切线 DC 切 O 于 E 交 AM 于 D 交 BN 于 C 设 AD x BC y 1 求 y 与 x 的函数关系式 并说明是什么函数 2 若 x y 是方程 2t2 30t m 0 的两根 求 x y 的值 3 求 COD 的面积 B A C E D O N M 四 巩固练习四 巩固练习 1 下列说法 三点确定一个圆 三角形有且只有一个外接圆 圆有且只有一个内接三角形 三角形的外心是各边垂直平分线的交点 三角形的外心到三角形三边的距离相等 等腰三角形 的外心一定在这个三角形内 其中正确的个数有 A 1 B 2 C 3 D 4 2 直角三角形的外心是 的中点 锐角三角形外心在三角形 钝角三角形外心在三角形 3 如图 Rt ABC C 90 AC 3cm BC 4cm 则它的外心与顶点 C 的距离为 A 2 5 B 2 5cm C 3cm D 4cm B A C 4 如图 AB 为 O 直径 BD 切 O 于 B 点 弦 AC 的延长线与 BD 交于 D 点 若 AB 10 AC 8 则 DC 长为 B A C D O 5 已知两圆的半径分别为 5cm 和 7cm 圆心距为 8cm 那么这两个圆的位置关系是 A 内切 B 相交 C 外切 D 外离 6 两圆半径 R 5 r 3 则当两圆的圆心距 d 满足 时 两圆相交 当 d 满足 时 两圆不 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 1 2 外离 7 如图所示 AB 是 O 的直径 BC 切 O 于 B AC 交 O 于 P E 是 BC 边上的中点 连结 PE PE 与 O 相切吗 若相切 请加以证明 若不相切 请说明理由 圆单元测试圆单元测试 一 选择题一 选择题 3 10 30 1 已知两圆的半径分别为 3 和 5 圆心距为 7 则这两圆的位置关系是 A 内切 B 相交 C 外切 D 外离 2 已知 O 的半径为 3 A 为线段 PO 的中点 则当 OP 6 时 点 A 与 O 的位置关系为 A 点在圆内 B 点在圆上 C 点在圆外 D 不能确定 3 如图 I 为的内切圆 点分别为边上的点 ABC DE ABAC 且 为 I 的切线 若的周长为 21 边的长为 6 则 DEABC BC的ADE 周长为 A 15 B 9 C 7 5 D 6 4 已知扇形的圆心角为 120 弧长等于半径为 5cm 的圆周长 则扇形的面积为 A 75 cm2 B 75 cm2 C 150 cm2 D 150 cm2 5 如图 O 外接于 ABC AD 为 O 的直径 ABC 30 则 CAD A 30 B 40 C 50 D 60 6 O 是 ABC 的外心 且 ABC ACB 100 则 BOC A 100 B 120 C 130 D 160 7 如图 ABC 的三边分别切 O 于 D E F 若 A 50 则 DEF A 65 B 50 C 130 D 80 8 Rt ABC 中 C 90 AB 5 内切圆半径为 1 则三角形的周长为 A 15 B 12 C 13 D 14 9 I 为 ABC 的内心 如果 ABC ACB 100 那么 BIC 等于 A 80 B 100 C 130 D 160 10 如图 以 O 为圆心的两个同心圆中 小圆的弦 AB 的延长线交大圆于 C 若 1 对对 1 个性化辅导个性化辅导 2 AB 4 BC 1 则下列整数与圆环面积最接近的是 A 10 B 13 C 16 D 17 二 填空题二 填空题 4 6 24 11 若两圆的半径分别为 cm 和 4 cm 则这两个圆相切时圆心距为 12 已知 O 的半径是 5cm 弦 AB CD AB 6cm CD 8cm 则 AB 与 CD 的距离是 13 林业工人为调查树木的生长情况 常用一种角卡为工具 可以很快测出大树 的直径 其 工作原理如图所示 现已知 5 米 则这棵大树 的直径为 米 14 如图 ABC 三边与 O 分别切于 D E F 已知 AB 7cm AC 5cm AD 2cm 则 BC 14 15 16 15 如图 在同心 圆 O中 AB是大圆的直径 AC是大圆的弦 AC与小圆相切于点D 若小圆的半径为3cm 则BC cm 16 如图 与 相交于点 A B 且是 的切线 是 的切线 A 是切点 若 1 O 2 OAO1 2 OAO2 1 O 与 的半径分别为 3 和 4 则公共弦 AB 的长为 cm 1 O 2 O 三 解答题三 解答题 17 如图 AD BC 是 O 的两条弦 且 AD BC 求证 AB CD 18 如图 AB 是 O 的弦 非直径 C D 是 AB 上的两点 并且 AC BD 求证 OC OD 3