《信号与系统》-ss_2nd_6_2

6.4 相关,能量信号与功率信号 相关系数与相关函数相关与卷积的比较 相关定理,讨论确定性信号的相关系数和相关函数的概念，为随机信号的学习做准备；,从物理本质看，相关与信号的能量特征有着密切的联系；,两个函数的相关与两个函数的卷积有着密切的联系，在对比中加深认识。,本节讨论,在一个周期内，R消耗的能量,平均功率可表示为,设电阻R中电流和两端电压为i(t) 、v(t),瞬时功率为,一能量信号和功率信号,定义,讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：(有限值) (有限值) 满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。,定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的,平均功率,能量,例1,判断下面的信号是功率信号还是能量信号。,解,一般规律,一般周期信号为功率信号。,非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。,还有一些非周期信号，也是非能量信号。如u(t)是功率信号；而tu(t)为非功率非能量信号;(t)是无定义的非功率非能量信号。,数学本质:,相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。,物理本质:,相关与信号能量特征有着密切联系。,1相关系数,二相关系数与相关函数,用数学工具来描述两个信号的相似程度。,假设f1(t)、f2(t)是能量有限的实信号，选择系数c12，使c12 f2(t)去逼近f1(t), 利用方均误差来说明两者的近似程度,当,时,最小.,即,相关系数,归一化为相对能量误差,12称为f1(t)与f2(t)的相关系数,其中,由柯西施瓦尔茨不等式，得,所以,例,求,解,相关函数,用相关系数研究两信号的相似程度,引入相关函数,两信号的相似程度是时移的函数。分几种情况讨论。,f1(t)与f2(t)是功率信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数,f1(t)与f2(t)是能量信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数,能量有限信号的相关函数定义,如果f1(t)、f2(t) 是能量信号，相关函数定义为,一般情况下,可以证明,当 f1(t) = f2(t) = f(t) 时，相关函数称自相关函数。,同样具有性质,对于实函数，,自相关函数是时移 的偶函数；t=0，自相关性最强，R(0)最大,相关函数：,自相关函数：,功率有限信号相关函数定义,实功率信号的相关函数的定义，不用取共轭。,如果f1(t)、f2(t) 是功率有限信号，相关函数定义,三相关与卷积的比较,卷积,相关,通过变量置换，可得,可用图解法说明相关函数的意义。,卷积反褶、平移、相乘、积分,相关反褶、平移、相乘、积分,若f1(t)与f2(t)为实偶函数，则其卷积与相关完全相同.,相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。,反褶,平移,相乘,积分,平移,相乘,积分,卷积,相关,自相关函数与其幅度谱的平方是一对FT,四相关定理,若,则,若,则,证明,如果f2(t)为实偶函数,有何结论?,同理可得：,说明,1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅氏变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。2.自相关函数的傅氏变换等于原信号幅度谱的平方。3. 若f2(t)为实偶函数，此时F2*()=F2()，此时相关定理与卷积定理具有相同的结果。,例2 求周期余弦信号Ecos(1t)的自相关函数,对功率信号，由自相关函数的定义,解,1. 周期信号自相关仍为周期信号，且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。3.余弦函数自相关仍为余弦;推广之，任意相位的正弦、余弦之自相关仍为余弦.,自相关函数和互相关函数的应用,微血管红血球的流速测量,雷达微波,飞行物回波,超声波无损探伤（例如大型发电机的机轴的材料质量要求很高）,被测模块内有沙眼和裂痕,超声波阵列传感器,测量损伤深度,6.5 能量谱和功率谱,能量谱和功率谱表示信号的能量和功率密度在频域中随频率的变化情况；,能量谱和功率谱对决定信号所占频带等问题有重要作用。,对于随机信号，往往用能量谱和功率谱来表征信号的频域特性。,|F()|2 反映了信号的能量在频域的分布情况,能量谱,讨论信号f(t)的能量,即,Parsevals theorem,通过信号的自相关亦可得到此结果。,帕塞瓦尔定理,相关定理逆运算,由相关定理得,定义|F()|2为能量谱密度，它表示单位带宽的能量,信号的能量谱密度与信号的自相关是一对傅里叶变换.,能量谱密度的定义,平均功率,f(t)为功率有限信号，从f(t)上截取一段fT(t),平均功率,令,T增加时，|FT()|2也增加， T，fT(t) f(t),Parsevals theorem,T，,若趋于一个极限，定义为功率谱密度,P (),功率谱,功率谱反映了信号功率在频域的分布情况；,功率谱保留了信号的幅度信息，而丢掉的相位信息；,功率谱为频率的偶函数。,信号的功率谱与自相关函数的关系,傅氏变换对,P(),维纳欣钦定理,维纳欣钦定理证明,功率信号的相关,相关定理,定义功率谱：,例1 求周期信号f(t)的功率谱，周期为T1,截取一个周期,频域卷积定理,例2：求周期余弦的功率谱P () 和自相关 R(),维纳钦欣定理,利用前题结果,由,求出,所以,此题亦可先求出自相关，然后利用W-K定理求功率谱。,前例 求余弦信号 Ecos(1t) 的自相关函数和功率谱.,解 f(t) 为功率信号，自相关函数为,由维纳-钦欣定理 功率谱为,白噪声的功率谱密度为,由维纳-钦欣定理, 白噪声的自相关函数, 0 时的所有时刻 R()= 0 , 意味着白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。,求自相关函数。,例3：白噪声的功率谱,解,6.6 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析,能量谱和功率谱分析信号经线性系统的自相关函数,前面，从,中研究了,现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。,三者的关系,时域(复)频域,激励响应系统,一能量谱和功率谱分析,设 LTI系统的 e(t)为能量信号， e(t) 的能量谱为Ee() r(t)的能量谱为Er(),响应的能谱等于激励的能谱与|H(j)|2的乘积.,响应的功率谱等于激励的功率谱与|H(j)|2的乘积。,同样，对功率信号有,对于功率有限信号e(t) ，设响应为r(t)，将e(t)、 r(t)分别截取-T/2,+T/2，设此区间两信号的FT为ET()和RT()，令T，得到,按功率谱的定义,响应功率谱等于激励的功率谱乘以|H(j)|2.,二信号经线性系统的自相关函数,所以,其中Rh()=h(t)*h*(-t)为系统冲激响应的自相关函数。,对上式两边取傅氏反变换，注意到,(1)能量谱与自相关函数为一对FT E () R(),(2),对于功率信号，同样有上结论。,h(t)H(j),|H(j)|2,Rh(),小结,例 功率谱密度为 N 的白噪声通过 RC低