2018重庆中考几何专题-教师版

25在ABC中，以AB为斜边，作直角ABD，使点D落在ABC内，ADB=90（1）如图1，若AB=AC，BAD=30，AD=6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；（2）如图2，若AB=AC，把ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP【分析】（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；（2）先利用互余判断出，BDP=PEC，得到BDP和CEQ，再用三角形的外角得到EPC=PQC，即可；【解答】（1）解：ADB=90，BAD=30，AD=6，cosBAD=，AB=12，AC=AB=12，点P、M分别为BC、AB边的中点，PM=AC=6，（2）如图2，在ED上截取EQ=PD，ADB=90，BDP+ADE=90，AD=AE，ADE=AED，把ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到ACE，AEC=ADB=90AED+PEC=90，BDP=PEC，在BDP和CEQ中，BDPCEQ，BP=CQ，DBP=QCE，CPE=BDP+DBP，PQC=PEC+QCE，EPC=PQC，PC=CQ，BP=CP25在ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且ADE=75（1）如图1，若BAC=90，CD=，求BC的长；（2）如图2，若BAC=90，EAD=45，求证：DC=BE；【考点】相似形综合题【分析】（1）作DGAC于G，证明出ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；（2）作DHAE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；【解答】解：（1）如图1所示，作DGAC于G，BAC=90，AB=AC，ABC是等腰直角三角形，1=B=45，ADE=75，2=60，DAG=30，DG=CG=CD=1，AD=2DG=2，AG=，AC=AG+CG=+1，BC=AG=+；（2）如图2所示，作DHAE于H，设DC=a，则DG=CG=a，AD=2DG=a，AG=a，AC=AG+CG=a，BC=AC=（+1）a，EAD=45，ADH是等腰直角三角形，AH=DH=AD=a，4=180ADEDAE=60，DE=2EH，DE=DH=a，BE=BCDECD=a=DC，DC=BE；25.（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且EDF=90，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且EDF=90；M为EF的中点，连接CM，当DFAB时，证明：3ED=2MC；【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得ADECDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在RtAEF中根据勾股定理求得EF的长；（2）先设等边三角形边长为2，在RtBDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在RtCDN中求得CN，在RtMND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；【解答】解：（1）如图1点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点ADBC，AD=BC=CD=，DAE=C=45AC=CD=5又EDF=90，FC=2ADE=CDF，AF=52=3在ADE和CDF中ADECDF（ASA）AE=CF=2在RtAEF中，EF=（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1等边三角形ABC中，DFABFDC=B=60EDF=90BDE=30DEBEBE=，DE=如图2，连接DM，则RtDEF中，DM=EF=FMFDC=FCD=60CDF是等边三角形CD=CF=1CM垂直平分DFDCN=30RtCDN中，DN=，CN=，DF=1在RtDEF中，EF=M为EF的中点FM=DM=RtMND中，MN=CM=+=3ED=2MC25.在ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，已知AC=3，CD=2，求AG的长度；（2）如图，当BAC=DCF=60时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；【答案】(1)、；(2)、AGGD，AG=DG；证明过程见解析；【解析】试题分析：(1)、延长DG与BC交于H，先证BGEGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD=90，即可；(2)、延长DG与BC交于H，先证BGEGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，得到HAD为等边三角形，即可；(3)、延长DG与BC交于H，先证BGEGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，得到HAD为等腰三角形，即可试题解析：(1)、如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形DCEF是正方形， DE=DC，DECF， GBH=GED，GHB=GDE， G是BC的中点，BG=EG， 在BGH和EGD中， GBH=GED，GHB=GDE，BG=EG， BGHEGD（AAS），BH=ED，HG=DG， BH=DC， AB=AC，BAC=90， ABC=ACB=45， DCF=90，DCB=90， ACD=45， ABH=ACD=45， 在ABH和ACD中， AB=AC，ABH=ACD，BH=CD， ABHACD（SAS）， BAH=CAD，AH=AD， BAH+HAC=90，CAD+HAC=90， 即HAD=90， AGGD，AG=GD； 在RtABC中，AB=AC=，BC=6 在RtDCH中，DC=2，HC=BCBH=62=4， DH=2， GD=DH=，AG=GD=（2）AGGD，AG=DG；如图2，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形DCEF是正方形， DE=DC，DECF， GBH=GED，GHB=GDE， G是BC的中点，BG=EG，在BGH和EGD中， GBH=GED，GHB=GDE，BG=EG， BGHEGD（AAS），BH=ED，HG=DG， BH=DC， AB=AC，BAC=DCF=60， ABC=60，ACD=60，ABC=ACD=60， 在ABH和ACD中， AB=AC，ABH=ACD，BH=CD， ABHACD（SAS），BAH=CAD，AH=AD， BAC=HAD=60， AGHD，HAG=DAG=30， tanDAG=tan30=， AG=DG；25如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上（1）如图1，若ECD=30，CE=4，求AEC的面积；（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DHEG于点H，连接AH，求证：FH=AH+DH；（【解析】试题分析：（1）根据30的直角三角形求CD和ED，再利用面积公式求AEC的面积；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明AFMADH，得AM=AH，FM=DH，则MAH是等腰直角三角形，有MH=AH，根据线段的和代入得结论；来源:学。科。网Z。X。X。K（3）根据将线段AE绕点A旋转一定的角度（030）得到线段AE，先计算当AE旋转时DN的最小值和最大值，当=0时，DN最小；当=180时，DN最大，分别计算，写出结论试题解析：（1）在RtEDC中，EDC=30，ED=EC=4=2，cos30=，DC=ECcos30=4=2，AE=2DCED=42，=AEDC=（42）2=122；（2）过A作AMAH，交FG于M，MAH=MAD+DAH=90，又FAD=MAD+FAM=90，FAM=DAH，AFCD，F=FGDDHEG，DHE=HDG+FGD=90，EDG=EDH+HDG=90，FGD=EDH，F=EDH，又AF=2CD，AD=2CD，AF=AD，AFMADH，AM=AH，FM=DH，MAH是等腰直角三角形，MH=AH，FH=MH+FM，FH=AH+DH；来源:学+科+网25.（12分）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点（1）如图（1），若A=45，AB=，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长（2）如图（2），若2AEB=180BED，ABE=60，求证：BC=BE+DE【答案】（1）2（2）证明参见解析；【解析】试题分析：（1）首先证明AFB与EFD为等腰直角三角形，然后在ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在RtEDF中，可求得DE的长；（2）延长DE至K，使EK=EB，连结AK首先证明AEB=AEK，然后依据SAS证明AEBAEK，由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；（3）记AB与DE的交点为O首先证明依据菱形的性质可得到ABC=2ABD，然后依据平行四边形的性质可证明CDE=BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案试题解析：（1）如图1所示：四边形ABCD为菱形，AD=AB=，ABCDA=ADE=45ADBE，AFB=DFE=90AFB与EFD为等腰直角三角形BF2+AF2=AB2，即：2BF2=6，BF=AF=EFD为等腰直角三角形，EF=DF=ADAF=DE=EF=（）=2（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK2AEB=180BED，BED=1802AEB=180AEBAEKAEB=AEK在AEB和AEK中，AEBAEKK=ABE=60，Ak=AB又AB=AD，AK=ADAKD为等边三角形KD=ADKD=BCKD=KE+DE，CB=EB+DE7.已知两个全等的等腰直角、DEF，其中ACB=DFE=90，E为AB中点，DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于M、N (1)如图l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M,求证：AM=MC； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由；（1）AC=BC，E为AB中点CEAB, ACEBCE