《信号与系统》-ss2_3_2nd

2.卷积,卷积利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积积分的几点认识,一、卷积积分(Convolution)的定义,积分,称为f1(t)与f2(t) 的卷积积分，记为,令系统激励 e(t) = f1(t), 冲激响应h(t) = f2(t), 则,卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t) 建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。,卷积是数学方法，还应用于其他学科 。,若t0, f1(t)=0，,若t0,右移； t 0 f2(t-) 右移,t 0 f2(t-) 左移,-1,1,t -1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷积结果,积分上下限和卷积结果区间的确定,当 或 为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。,上限取小，下限取大,(1)积分上下限,(2)卷积结果区间,-1,+,1,2.7 卷积的性质,代数性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积,系统的h(t) 与e(t)互换，系统的响应不变。,交换律,一、卷积代数,通过积分变量置换，交换律很容易得到证明。,卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置f1()与倒置f2() 积分面积与t无关。,一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或(t)。,交换律说明：,分配律,e(t)*h1(t),e(t)*h2(t),结论：子系统并联时，总系统的单位冲激响应等于 各子系统单位冲激响应之和。,h(t)=h1(t)+h2(t),结合律,级联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积。,级联系统的响应与各子系统的位置无关。,系统级联，框图表示,e(t)*h1(t),e(t) *h1(t) * h2(t),二、卷积的微分与积分,1.微分性质,证明：,交换求导与积分次序,两个函数卷积后的导数等于其中一函数与另一函数导数的卷积。,i、 j为整数；取+，i 阶导；取-， i 重积分,2.卷积的积分性质,微分性质积分性质联合实用,微分n次，积分m次,m=n, 微分次数 积分次数,对于卷积很方便。,(t)的卷积特性,u(t)的卷积特性,三、与(t)、u(t)的卷积,例1,用微积分性质,直接,错误原因：,注意,例2,图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响应 ，并画出它的波形。,(a),(b),解：,五、尺度变换性质,四、时移特性,若,则,例3,f2(t),求f1(t)* f2(t),解,*,=,+,应用时移性质，f2(t)f2a(t)，先求f1(t)*f2a(t)，再将结果右移t1,=,+,2.8 用h(t)分析LTI系统的若干性质,即时系统,任何时刻的输出仅与同一时刻的输入有关,= ke(t) = k(t)* e(t),1.即时系统与动态系统,例 LTI系统, h(t)=u(t)，这是一个积分器.,构造此系统的逆系统，使得u(t)*(t)=(t),(t)= (t),2. LTI系统的可逆性,若系统可逆的,则存在一逆系统(t),与h(t)级联后为x(t),t0时,h(t)=0,一个LTI为因果系统，等效于其冲激响应为一因果信号。,例,3. LTI的因果性,由稳定性的定义，有界的输入产生有界的输出。,设输入x(t)是有界的, |x(t)|B, 对于所有的t.,对于所有的t.,结论: 若单位冲激响应绝对可积,即,则系统稳定.,充要条件,4. LTI系统的有界性,例2 系统 h(t) = u(t) 为不稳定系统,法二：对于常系数输入响应,法一： u(t) 在(-,+)不是绝对可积；,幅度上有界的信号,延迟后仍然有界.,由h(t)绝对可积判断,由定义判断,第二章总结,零输入响应、零状态响应的表达和求解；,求冲激响应、阶跃响应；,卷积定义及性质重点要求；,卷积计算重点要求；,微分方程经典法求解,初始状态的跳变掌握基本概念，不要求求解；,