新湘教版九年级下册数学全册教案

第第 1 章章 二次函数二次函数 1 1 二次函数二次函数 知识与技能 1 理解具体情景中二次函数的意义 理解二次函数的概念 掌握二次函数的 一般形式 2 能够表示简单变量之间的二次函数关系式 并能根据实际问题确定自变量 的取值范围 过程与方法 经历探索 分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程 进一步体验如 何用数学的方法描述变量之间的数量关系 情感态度 体会数学与实际生活的密切联系 学会与他人合作交流 培养合作意识 教学重点 二次函数的概念 教学难点 在实际问题中 会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 1 教材 P2 动脑筋 中的两个问题 矩形植物园的面积 S m2 与相邻于围 墙面的每一面墙的长度 x m 的关系式是 S 2x2 100 x 0 x 50 电脑价格 y 元 与平均降价率 x 的关系式是 y 6000 x2 12000 x 6000 0 x 1 它们有什 么共同点 一般形式是 y ax2 bx c a b c 为常数 a 0 这样的函数可以叫做什 么函数 二次函数 2 对于实际问题中的二次函数 自变量的取值范围是否会有一些限制呢 有 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 二次函数的概念及一般形式 在上述学生回答后 教师给出二次函数的定义 一般地 形如 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 的函数 叫做二次函数 其中 x 是自变量 a b c 分别是函数 解析式的二次项系数 一次项系数和常数项 注意 二次函数中二次项系数不能为 0 在指出二次函数中各项系数时 要连同符号一起指出 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 1 指出下列函数中哪些是二次函数 1 y x 3 2 x2 2 y 2x x 1 3 y 32x 1 4 y 5 y 5 x2 x 2 2 x 分析 先化为一般形式 右边为整式 依照定义分析 解 2 5 是二次函数 其余不是 教学说明 判定一个函数是否为二次函数的思路 1 将函数化为一般形式 2 自变量的最高次数是 2 次 3 若二次项系数中有字母 二次项系数不能为 0 例 2 讲解教材 P3 例题 教学说明 由实际问题确定二次函数关系式时 要注意自变量的取值范围 例 3 已知函数 y m2 m x2 mx m 1 m 是常数 当 m 为何值时 1 函数是一次函数 2 函数是二次函数 分析 判断函数类型 关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零 列出相应方程或不等式 解 1 由 得 2 0 0 m m m 01 0 m m 或 m 1 即当 m 1 时 函数 y m2 m x2 mx m 1 是一次函数 2 由 m2 m 0 得 m 0 且 m 1 当 m 0 且 m 1 时 函数 y m2 m x2 mx m 1 是二次函数 教学说明 学生自主完成 加深对二次函数概念的理解 并让学生会列 二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 下列函数中是二次函数的是 A B y 3x3 2x2 C y x 2 2 x3 D 2 1 23 y xx 2 12yx 2 二次函数 y 2x x 1 的一次项系数是 A 1 B 1 C 2 D 2 3 若函数 是二次函数 则 k 的值为 2 32 3 1 kk ykxkx A 0 B 0 或 3 C 3 D 不确定 4 若 y a 2 x2 3x 2 是二次函数 则 a 的取值范围是 5 已知二次函数 y 1 3x 5x2 则二次项系数 a 一次项系数 b 常 数项 c 6 某校九 1 班共有 x 名学生 在毕业典礼上每两名同学都握一次手 共 握手 y 次 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 它 填 是 或 不是 二次函数 7 如图 在边长为 5 的正方形中 挖去一个半径为 x 的圆 圆心与正方形的 中心重合 剩余部分的面积为 y 1 求 y 关于 x 的函数关系式 2 试求自变量 x 的取值范围 3 求当圆的半径为 2 时 剩余部分的面积 取 3 14 结果精确到十分 位 答案 1 D 2 D 3 A 4 a 2 5 5 3 1 6 是 2 11 22 yxx 7 1 y 25 x2 x2 25 2 0 x 52 3 当 x 2 时 y 4 25 4 3 14 25 12 44 12 4 即剩余部分的面积约为 12 4 教学说明 学生自主完成 加深对新知的理解 待学生完成上述作业后 教师指导 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 师生共同回顾二次函数的有关概念 2 通过这节课的学习 你掌握了哪些新知识 还有哪些疑问 与同伴交流 教学说明 教师引导学生回顾知识点 让学生大胆发言 进行知识提炼和 知识归纳 1 教材 P4第 1 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是从生活实际中引出二次函数模型 从而得出二次函数的定义及一般 形式 会写简单变量之间的二次函数关系式 并能根据实际问题确定自变量的取 值范围 使学生认识到数学来源于生活 又应用于生活实际之中 1 2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 第第 1 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 a 0 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画函数 y ax2 a 0 的图象 并根据图象认识 理解和掌握 其性质 2 体会数形结合的转化 能用 y ax2 a 0 的图象和性质解决简单的实际问 题 过程与方法 经历探索二次函数 y ax2 a 0 图象的作法和性质的过程 获得利用图象研 究函数的经验 培养观察 思考 归纳的良好思维习惯 情感态度 通过动手画图 同学之间交流讨论 达到对二次函数 y ax2 a 0 图象和性 质的真正理解 从而产生对数学的兴趣 调动学生的积极性 教学重点 1 会画 y ax2 a 0 的图象 2 理解 掌握图象的性质 教学难点 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 问题问题 1 1 请同学们回忆一下一次函数的图象 反比例函数的图象的特征是 什么 二次函数图象是什么形状呢 问题问题 2 2 如何用描点法画一个函数图象呢 教学说明 略 列表 描点 连线 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 画二次函数 y ax2 a 0 的图象 画二次函数 y ax2的图象 教学说明 要求同学们人人动手 按 列表 描点 连线 的步骤画图 y x2的图象 同学们画好后相互交流 展示 表扬画得比较规范的同学 从列表和描点中 体会图象关于 y 轴对称的特征 强调画抛物线的三个误区 误区一 用直线连结 而非光滑的曲线连结 不符合函数的变化规律和发展趋 势 如图 1 就是 y x2的图象的错误画法 误区二 并非对称点 存在漏点现象 导致抛物线变形 如图 2 就是漏掉点 0 0 的 y x2的图象的错误画法 误区三 忽视自变量的取值范围 抛物线要求用平滑曲线连点的同时 还需要 向两旁无限延伸 而并非到某些点停止 如图 3 就是到点 2 4 2 4 停住的 y x2图象的错误画法 探究探究 2 2 y ax2 a 0 图象的性质在同一坐标系中 画出 y x2 y 2x2的图象 2 1 2 yx 教学说明 要求同学们独立完成图象 教师帮助引导 强调画图时注意每 一个函数图象的对称性 动脑筋观察上述图象的特征 共同点 从而归纳二次函 数 y ax2 a 0 的图象和性质 教学说明 教师引导学生观察图象 从开口方向 对称轴 顶点 y 随 x 的 增大时的变化情况等几个方面让学生归纳 教师整理讲评 强调 y ax2 a 0 图象的性质 1 图象开口向上 2 对称轴是 y 轴 顶点是坐标原点 函数有最低点 3 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 简称右升 当 x 0 时 y 随 x 的增大 而减小 简称左降 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 已知函数是关于 x 的二次函数 2 4 2 kk ykx 1 求 k 的值 2 k 为何值时 抛物线有最低点 最低点是什么 在此前提下 当 x 在哪 个范围内取值时 y 随 x 的增大而增大 分析 此题是考查二次函数 y ax2的定义 图象与性质的 由二次函数 定义列出关于 k 的方程 进而求出 k 的值 然后根据 k 2 0 求出 k 的取值范 围 最后由 y 随 x 的增大而增大 求出 x 的取值范围 解 1 由已知得 解得 k 2 或 k 3 2 20 42 k kk 所以当 k 2 或 k 3 时 函数是关于 x 的二次函数 2 4 2 kk ykx 2 若抛物线有最低点 则抛物线开口向上 所以 k 2 0 由 1 知 k 2 最低点是 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 广东广州中考 下列函数中 当 x 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是 A y x2 B y x 1 C D y 3 4 yx 1 x 2 已知点 1 y1 2 y2 3 y3 都在函数 y x2的图象上 则 A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 3 抛物线 y x2的开口向 顶点坐标为 对称轴 1 3 为 当 x 2 时 y 当 y 3 时 x 当 x 0 时 y 随 x 的增大而 当 x 0 时 y 随 x 的增大而 4 如图 抛物线 y ax2上的点 B C 与 x 轴上的点 A 5 0 D 3 0 构成平行四边形 ABCD BC 与 y 轴交于点 E 0 6 求常数 a 的值 教学说明 学生自主完成 加深对新知识的理解和掌握 当学生疑惑时 教师及时指导 答案 1 D 2 A 3 上 0 0 y 轴 3 减小 增大 4 3 4 解 依题意得 BC AD 8 BC x 轴 且抛物线 y ax2上的点 B C 关于 y 轴对称 又 BC 与 y 轴交于点 E 0 6 B 点为 4 6 C 点为 4 6 将 4 6 代入 y ax2得 a 3 8 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 师生共同回顾二次函数 y ax2 a 0 图象的画法及其性质 2 通过这节课的学习 你掌握了哪些新知识 还有哪些疑问 请与同伴交流 1 教材 P7第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是从学生画 y x2的图象 从而掌握二次函数 y ax2 a 0 图象的画 法 再由图象观察 探究二次函数 y ax2 a 0 的性质 培养学生动手 动脑 探究归纳问题的能力 第第 2 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 a 0 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画函数 y ax2 a 0 的图象 并根据图象认识 理解和掌握其 性质 2 体会数形结合的转化 能用 y ax2 a 0 的图象与性质解决简单的实际问 题 过程与方法 经历探索二次函数 y ax2 a 0 图象的作法和性质的过程 获得利用图象研 究函数的经验 培养观察 思考 归纳的良好思维习惯 情感态度 通过动手画图 同学之间交流讨论 达到对二次函数 y ax2 a 0 图象和性质 的真正理解 从而产生对数学的兴趣 调动学习的积极性 教学重点 会画 y ax2 a 0 的图象 理解 掌握图象的性质 教学难点 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 1 在坐标系中画出 y x2的图象 结合 y x2的图象 谈谈二次函数 1 2 1 2 y ax2 a 0 的图象具有哪些性质 2 你能画出 y x2的图象吗 1 2 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 画 y ax2 a 0 的图象请同学们在上述坐标系中用 列表 描点 连线 的方法画出 y x2的图象 1 2 教学说明 教师要求学生独立完成 强调画图过程中应注意的问题 同 学们完成后相互交流 表扬图象画得 美观 的同学 问 从所画出的图象进行观察 y x2与 y x2有何关系 1 2 1 2 归纳 y x2与 y x2二者图象形状完全相同 只是开口方向不同 两 1 2 1 2 图象关于 y 轴对称 教师引导学生从理论上进行证明这一结论 探究探究 2 2 二次函数 y ax2 a 0 性质问 你能结合 y x2的图象 归纳出 1 2 y ax2 a 0 图象的性质吗 教学说明 教师提示应从开口方向 对称轴 顶点位置 y 随 x 的增大 时的变化情况几个方面归纳 教师整理 强调 y ax2 a 0 图象的性质 1 开口向下 2 对称轴是 y 轴 顶点是坐标原点 函数有最高点 3 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 简称右降 当 x 0 时 y 随 x 的增大 而增大 简称左升 探究探究 3 3 二次函数 y ax2 a 0 的图象及性质 学生回答 教学点评 一般地 抛物线 y ax2的对称轴是 顶点是 当 a 0 时抛物线的开口向 顶点是抛物线的最 点 a 越大 抛物线开口越 当 a 0 时 抛物线的开口向 顶点是抛物线的最 点 a 越大 抛物线开口越 总 之 a 越大 抛物线开口越 答案 y 轴 0 0 上 低 小 下 高 大 小 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 1 填空 函数 y x 2的图象是 顶点坐标是 2 对称轴是 开口方向是 函数 y x2 y x2和 y 2x2的图象如图所示 1 2 请指出三条抛物线的解析式 解 抛物线 0 0 y 轴 向上 根据抛物线 y ax2中 a 的值的作用来判断 上面最外面的抛物线为 y x2 中间为 y x2 在 x 轴下方的为 y 2x2 1 2 教学说明 解析式需化为一般式 再根据图象特征解答 避免发生错 误 抛物线 y ax2中 当 a 0 时 开口向上 当 a 0 时 开口向下 a 越 大 开口越小 例 2 已知抛物线 y ax2经过点 1 1 求 y 4 时 x 的值 分析 把点 1 1 的坐标代入 y ax2 求得 a 的值 得到二次函数的表 达式 再把 y 4 代入已求得的表达式中 即可求得 x 的值 解 点 1 1 在抛物线 y ax2上 1 a 12 a 1 抛物线为 y x2 当 y 4 时 有 4 x2 x 2 教学说明 在求 y ax2的解析式时 往往只须一个条件代入即可求出 a 值 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 下列关于抛物线 y x2和 y x2的说法 错误的是 A 抛物线 y x2和 y x2有共同的顶点和对称轴 B 抛物线 y x2和 y x2关于 x 轴对称 C 抛物线 y x2和 y x2的开口方向相反 D 点 2 4 在抛物线 y x2上 也在抛物线 y x2上 2 二次函数 y ax2与一次函数 y ax a 0 在同一坐标系中的图象大致是 3 二次函数 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 则 m 2 26 1 mm ymx 4 已知点 A 1 y1 B 1 y2 C a y3 都在函数 y x2的图象上 且 a 1 则 y1 y2 y3中最大的是 5 已知函数 y ax2经过点 1 2 求 a 的值 当 x 0 时 y 的值随 x 值 的增大而变化的情况 教学说明 学生自主完成 加深对新知的理解和掌握 当学生疑惑时 教 师及时指导 答案 1 D 2 B 3 2 4 y3 5 a 2 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 在学生回答的基础上 教师点评 1 y ax2 a 0 图象的性质 2 y ax2 a 0 关系式的确定方法 1 教材 P10第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课仍然是从学生画图象 结合上节课 y ax2 a 0 的图象和性质 从而 得出 y ax2 a 0 的图象和性质 进而得出 y ax2 a 0 的图象和性质 培养 学生动手 动脑 合作探究的学习习惯 第第 3 课时课时 二次函数二次函数 y a x h 2的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 能够画出 y a x h 2的图象 并能够理解它与 y ax2的图象的关系 理解 a h 对二次函数图象的影响 2 能正确说出 y a x h 2的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 过程与方法 经历探索二次函数 y a x h 2的图象的作法和性质的过程 进一步领会数 形结合的思想 情感态度 1 在小组活动中体会合作与交流的重要性 2 进一步丰富数学学习的成功体验 认识到数学是解决实际问题的重要工具 初 步形成积极参与数学活动的意识 教学重点 掌握 y a x h 2的图象及性质 教学难点 理解 y a x h 2与 y ax2图象之间的位置关系 理解 a h 对二次函数图象的 影响 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 1 在同一坐标系中画出 y x2与 y x 1 2的图象 完成下表 1 2 1 2 2 二次函数 y x 1 2的图象与 y x2的图象有什么关系 1 2 1 2 3 对于二次函数 x 1 2 当 x 取何值时 y 的值随 x 值的增大而增大 当 1 2 x 取何值时 y 的值随 x 值的增大而减小 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 归纳二次函数 y a x h 2的图象与性质并完成下表 三 典例精析 掌握新知 例 1 教材 P12例 3 教学说明 二次函数 y ax2与 y a x h 2是有关系的 即左 右平移时 左加右减 例如 y ax2向左平移 1 个单位得到 y a x 1 2 y ax2向右平移 2 个单位得到 y a x 2 2的图象 例 2 已知直线 y x 1 与 x 轴交于点 A 抛物线 y 2x2平移后的顶点与点 A 重合 水平移后的抛物线 l 的解析式 若点 B x1 y1 C x2 y2 在抛物线 l 上 且 x1 x2 试比较 y1 y2的大小 1 2 解 y x 1 令 y 0 则 x 1 A 1 0 即抛物线 l 的顶点坐标为 1 0 又 抛物线 l 是由抛物线 y 2x2平移得到的 抛物线 l 的解析式 为 y 2 x 1 2 由 可知 抛物线 l 的对称轴为 x 1 a 2 0 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 又 x1 x2 y1 y2 1 2 教学说明 二次函数的增减性以对称轴为分界 画图象取点时以顶点为 分界对称取点 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 二次函数 y 15 x 1 2的最小值是 A 1 B 1 C 0 D 没有最小值 2 抛物线 y 3 x 1 2不经过的象限是 A 第一 二象限 B 第二 四象限 C 第三 四象限 D 第二 三象限 3 在反比例函数 y 中 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 则二次函数 k x y k x 1 2的图象大致是 4 1 抛物线 y x2向 平移 个单位得抛物线 y x 1 1 3 1 3 2 2 抛物线 向右平移 2 个单位得抛物线 y 2 x 2 2 5 广东广州中考 已知抛物线 y a x h 2的对称轴为 x 2 且过点 1 3 1 求抛物线的解析式 2 画出函数的大致图象 3 从图象上观察 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 当 x 取何值时 函数有最大值 或最小值 教学说明 学生自主完成 教师巡视解疑 答案 1 C 2 A 3 B 4 1 左 1 2 y 2x2 5 解 1 y x 2 2 2 略 3 当 x 2 时 y 随 x 增大而增大 当 1 3 x 2 时 y 有最大值 0 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 1 y a x h 2的图象与性质 2 y a x h 2与 y ax2的图象的关系 1 教材 P12第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 通过本节学习使学生认识到 y a x h 2的图象是由 y ax2的图象左右平移得 到的 初步认识到 a h 对 y a x h 2位置的影响 a 的符号决定抛物线方向 a 决定抛物线开口的大小 h 决定向左右平移 从中领会数形结合的数学思想 第第 4 课时课时 二次函数二次函数 y a x h 2 k 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画二次函数 y a x h 2 k 的图象 掌握 y a x h 2 k 的图象和 性质 2 掌握 y a x h 2 k 与 y ax2的图象的位置关系 3 理解 y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 k 及 y ax2的图象之间的平移转化 过程与方法 经历探索二次函数 y a x h 2 k 的图象的作法和性质的过程 进一步领会 数形结合的思想 培养观察 分析 总结的能力 情感态度 1 在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性 2 体验数学活动中充满着探索性 感受通过认识观察 归纳 类比可以获得数 学猜想的乐趣 教学重点 二次函数 y a x h 2 k 的图象与性质 教学难点 由二次函数 y a x h 2 k 的图象的轴对称性列表 描点 连线 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 复习回顾 同学们回顾一下 y ax2 y a x h 2 a 0 的图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 y 随 x 的增减性分别是什么 如何由 y ax2 a 0 的图象平移得到 y a x h 2的图象 猜想二次函数 y a x h 2 k 的图象开口方向 对称轴 顶点坐标及 y 随 x 的增减性如何 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 y a x h 2 k 的图象和性质 1 由老师提示列表 根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题 y x 1 2 1 图象的开口方向 对称轴 顶点坐标及 y 随 x 的增减性如 1 2 何 将抛物线 y x2向左平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位得抛物线 1 2 y x 1 2 1 1 2 2 同学们讨论回答 一般地 当 h 0 k 0 时 把抛物线 y ax2向右平移 h 个单位 再向上 平移 k 个单位得抛物线 y a x h 2 k 平移的方向和距离由 h k 的值来决定 抛物线 y a x h 2 k 的开口方向 对称轴 顶点坐标及 y 随 x 的增减性 如何 探究探究 2 2 二次函数 y a x h 2 k 的应用 教学说明 二次函数 y a x h 2 k 的图象是 对称轴是 顶点坐标是 当 a 0 时 开口向 当 a 0 时 开口向 答案 抛物线 直线 x h h k 上 下 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 1 已知抛物线 y a x h 2 k 将它沿 x 轴向右平移 3 个单位后 又沿 y 轴 向下平移 2 个单位 得到抛物线的解析式为 y 3 x 1 2 4 求原抛物线的解析式 分析 平移过程中 前后抛物线的形状 大小不变 所以 a 3 平移时应抓 住顶点的变化 根据平移规律可求出原抛物线顶点 从而得到原抛物线的解析 式 解 抛物线 y 3 x 1 2 4 的顶点坐标为 1 4 它是由原抛物线向右平移 3 个单位 向下平移 2 个单位而得到的 所以把现在的顶点向相反方向移动就 得到原抛物线顶点坐标为 4 2 故原抛物线的解析式为 y 3 x 4 2 2 教学说明 抛物线平移不改变形状及大小 所以 a 值不变 平移时抓住 关键点 顶点的变化 例 2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图 发射台 OA 的高度为 2m 火炬的高度为 12m 距发射台 OA 的水平距离为 20m 在 A 处的发射装置向目 标 C 发射一个火球点燃火炬 该火球运行的轨迹为抛物线形 当火球运动到距 地面最大高度 20m 时 相应的水平距离为 12m 请你判断该火球能否点燃目标 C 并说明理由 分析 建立适当直角坐标系 构建二次函数解析式 然后分析判断 解 该火球能点燃目标 如图 以 OB 所在直线为 x 轴 OA 所在直线为 y 轴建 立直角坐标系 则点 12 20 为抛物线顶点 设解析式为 y a x 12 2 20 点 0 2 在图象上 144a 20 2 a y x 12 2 20 当 x 20 时 1 8 1 8 y 20 12 2 20 12 即抛物线过点 20 12 该火球能点燃目标 1 8 教学说明 二次函数 y a x h 2 k 的应用关键是构造出二次函数模型 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 若抛物线 y 7 x 4 2 1 平移得到 y 7x2 则必须 A 先向左平移 4 个单位 再向下平移 1 个单位 B 先向右平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 C 先向左平移 1 个单位 再向下平移 4 个单位 D 先向右平移 1 个单位 再向上平移 4 个单位 2 抛物线 y x2 4 与 x 轴交于 B C 两点 顶点为 A 则 ABC 的周长为 A 4 B 4 4 C 12 D 2 4555 3 函数 y ax2 a 与 y ax a a 0 在同一坐标系中的图象可能是 4 二次函数 y 2x2 6 的图象的对称轴是 顶点坐标是 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 5 已知函数 y ax2 c 的图象与函数 y 3x2 2 的图象关于 x 轴对称 则 a c 6 把抛物线 y x 1 2沿 y 轴向上或向下平移 所得抛物线经过 Q 3 0 求平移后抛物线的解析式 教学说明 学生自主完成 加深对新知的理解 教师引导解疑 答案 1 B 2 B 3 C 4 y 轴 0 6 0 5 3 2 6 y x 1 2 4 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 二次函数 y a x h 2 k 的图象与性 质 如何由抛物线 y ax2平移得到抛物线 y a x h 2 k 教学说明 教师应引导学生自主小结 加深理解掌握 y ax2与 y a x h 2 k 二者图象的位置关系 1 教材 P15第 1 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 掌握函数 y ax2 y a x h 2 y a x h 2 k 图象的变化关系 从而体会由简单 到复杂的认识规律 第第 5 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画二次函数 y ax2 bx c 的图象 2 会用配方法求抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标 开口方向 对称轴 y 随 x 的增减性 3 能通过配方求出二次函数 y ax2 bx c a 0 的最大或最小值 能利用二 次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值 过程与方法 1 经历探索二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的作法和性质的过程 体会 建立二次函数 y ax2 bx c a 0 对称轴和顶点坐标公式的必要性 2 在学习 y ax2 bx c a 0 的性质的过程中 渗透转化 化归 的思想 情感态度 进一步体会由特殊到一般的化归思想 形成积极参与数学活动的意识 教学重点 用配方法求 y ax2 bx c 的顶点坐标 会用描点法画 y ax2 bx c 的图 象并能说出图象的性质 教学难点 能利用二次函数 y ax2 bx c a 0 的对称轴和顶点坐标公式 解决一些问 题 能通过对称性画出二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 请同学们完成下列问题 1 把二次函数 y 2x2 6x 1 化成 y a x h 2 k 的形式 2 写出二次函数 y 2x2 6x 1 的开口方向 对称轴及顶点坐标 3 画 y 2x2 6x 1 的图象 4 抛物线 y 2x2如何平移得到 y 2x2 6x 1 的图象 5 二次函数 y 2x2 6x 1 的 y 随 x 的增减性如何 教学说明 上述问题教师应放手引导学生逐一完成 从而领会 y ax2 bx c 与 y a x h 2 k 的转化过程 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 如何画 y ax2 bx c 图象 你可以归纳为哪几步 学生回答 教师点评 一般分为三步 1 先用配方法求出 y ax2 bx c 的对称轴和顶点坐标 2 列表 描点 连线画出对称轴右边的部分图象 3 利用对称点 画出对称轴左边的部分图象 探究探究 2 2 二次函数 y ax2 bx c 图象的性质有哪些 你能试着归纳吗 学生回答 教师点评 抛物线 y ax2 bx c 对称轴为 x 顶点坐标为 2 2 4 24 bacb a x aa 2 b a 当 a 0 时 若 x y 随 x 增大而增大 若 x y 随 2 b a 2 4 4 acb a 2 b a2 b a x 的增大而减小 当 a 0 时 若 x y 随 x 的增大而减小 若 x2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 4 二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴的交点坐标为 1 0 3 0 则方程 ax2 bx c 0 的解为 5 湖北武汉中考 已知二次函数 y x2 m 1 x m 的图象交 x 轴于 A x1 0 B x2 0 两点 交 y 轴的正半轴于点 C 且 x21 x22 10 1 求此二次函数的解析式 2 是否存在过点 D 0 的直线与抛物线交于点 M N 与 x 轴交于 5 2 点 E 使得点 M N 关于点 E 对称 若存在 求出直线 MN 的解析式 若不存在 请说明理由 学生解答 答案 1 D 2 C 3 D 4 x1 1 x2 3 5 解 1 y x2 4x 3 2 存在 y x 5 2 教学说明 一元二次方程的根的情况和二次函数与 x 轴的交点个数之间 的关系是相互的 根据根的情况可以判断交点个数 反之也成立 四 师生互动 课堂小结四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答基础上 教师点评 求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系 抛物线与 x 轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系 用函数图象求 一元二次方程的近似根 二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题 1 教材 P28第 1 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 通过本节课的学习 让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数 取 某一特值时 把对应的自变量的值都联系起来了 这样对二次函数的综合应用就 方便得多了 从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理 1 5 二次函数的应用二次函数的应用 第第 1 课时课时 二次函数的应用二次函数的应用 1 知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能利用 二次函数的知识解决实际问题 过程与方法 经历运用二次函数解决实际问题的探究过程 进一步体验运用数学方法描述 变量之间的依赖关系 体会二次函数是解决实际问题的重要模型 提高运用数学 知识解决实际问题的能力 情感态度 1 体验函数是有效的描述现实世界的重要手段 认识到数学是解决问题和进 行交流的重要工具 2 敢于面对在解决实际问题时碰到的困难 积累运用知识解决问题的成功经 验 教学重点 用抛物线的知识解决拱桥类问题 教学难点 将实际问题转化为抛物线的知识来解决 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 通过预习 P29页的内容 完成下面各题 1 要求出教材 P29动脑筋中 拱顶离水面的高度变化情况 你准备采取什 么办法 2 根据教材 P29图 1 18 你猜测是什么样的函数呢 3 怎样建立直角坐标系比较简便呢 试着画一画它的草图看看 4 根据图象你能求出函数的解析式吗 试一试 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 直观图象的建模应用 例 1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物 大门的地面宽度为 8m 两侧距地面 3m 高处各 有一盏壁灯 两壁灯之间的水平距离是 6m 如 图所示 则厂门的高 水泥建筑物厚度不计 精确到 0 1m 约为 A 6 9m B 7 0m C 7 1m D 6 8m 分析 因为大门是抛物线形 所以建立二次函数模型来解决问题 先建立平面直角坐标系 如图 设大门地面宽度 为 AB 两壁灯之间的水平距离为 CD 则 B D 坐标 分别为 4 0 3 3 设抛物线解析式为 y ax2 h 把 3 3 4 0 代入解析式求得 h 6 9 故选 A 教学说明 根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式 例 2 小红家门前有一座抛物线形拱桥 如图 当水面在 l 时 拱顶离水面 2m 水面宽 4m 水面 下降 1m 时 水面宽度增加多少 分析 拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决 解 由题意建立如图的直角坐标系 设抛物线的解析式 y ax2 抛物线经过点 A 2 2 2 4a a 即抛物线的解析式为 y x2 1 2 1 2 当水面下降 1m 时 点 B 的纵坐标为 3 将 y 3 代入二次函数解析式 得 y x2 1 2 得 3 x2 x2 6 x 此时水面宽度为 2 x 2m 1 2 66 即水面下降 1m 时 水面宽度增加了 2 4 m 6 教学说明 用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直 角坐标系 抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便 三 运用新知 深化理解三 运用新知 深化理解 1 某溶洞是抛物线形 它的截面如图所示 现测得水 面宽 AB 1 6m 溶洞顶点 O 到水面的距离为 2 4m 在图中直 角坐标系内 溶洞所在抛物线的函数关系式是 A y x2 B y x2 15 4 15 4 12 5 C y x2 D y x2 15 4 15 4 12 5 2 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的 为了牢固 起见 每段护栏需要间距 0 4m 加设一根不锈钢的支柱 防护栏的最高点距底部 0 5m 如图 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 A 50m B 100m C 160m D 200m 第 2 题图 第 3 题图 3 如图 济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁 抛物线的表达式为 y ax2 bx 小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC 当小 强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同 则小强骑自行车通过拱梁 部分的桥面 OC 共需 秒 4 浙江金华中考 如图 足球场上守门员在 O 处 踢出一高球 球从离地面 1 米处飞出 A 在 y 轴上 运 动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己的正上方达到最 高点 M 距地面约 4 米高 球落地后又一次弹起 据实验 足球在草坪上弹起后 的抛物线与原来的抛物线形状相同 最大高度减少到原来最大高度的一半 1 求足球开始飞出到第一次落地时 该抛物线的表达式 2 足球第一次落地点 C 距守门员是多少米 取 4 7 2 5 36 3 运动员乙要抢到第二个落点 D 他应再向前跑多少米 教学说明 学生自觉完成上述习题 加深对新知的理解 并适当加以分 析 提示如第 4 题 由图象的类型及已知条件 设其解析式为 y a x 6 2 4 过 点 A 0 1 可求出 a 2 令 y 0 可求出 x 的值 x 0 舍去 3 令 y 0 求出 C 点坐标 6 4 0 设抛物线 CND 为 y x k 2 2 代入 C 点坐标可求3 1 12 出 k 值 k 6 4 再令 y 0 可求出 C D 的坐标 进而求出 BD 3 答案 1 C 2 C 3 36 4 解 1 y x 6 2 4 2 令 y 0 可求 C 点到 1 12 守门员约 13 米 3 向前约跑 17 米 四 师生互动 课堂小结四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 3 建立二次实际问题的一般步骤 1 根据题意建立适当的平面直角坐标系 2 把已知条件转化为点的坐标 3 合理设出函数解析式 4 利用待定系数法求 出函数解析式 5 根据求得的解析式进一步分析 判断并进行有关的计算 1 教材 P31第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课主要是利用二次函数解决生活中的实际问题 其主要思路是建立适当 的直角坐标系 使求出的二次函数模型更简捷 解决问题更方便 让学生学会运用 所学知识解决实际问题 体验应用知识的成就感 激发他们学习的兴趣 第第 2 课时课时 二次函数的应用二次函数的应用 2 知识与技能 1 经历探索实际问题中两个变量的过程 使学生理解用抛物线知识解决最值 问题的思路 2 初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题 过程与方法 经历优化问题的探究过程 认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发 展的作用 发展我们运用数学知识解决实际问题的能力 情感态度 体会数学与人类社会的密切联系 了解数学的价值 增加对数学的理解和学 好数学的信心 教学重点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 并运用二次函数的知 识求出实际问题的最值 教学难点 二次函数最值在实际中生活中的应用 激发学生的学习兴趣 一 情境导入 初步认识 问题问题 1 1 同学们完成下列问题 已知 y x2 2x 3 x 时 y 有最 值 其值为 当 1 x 4 时 y 最小值为 y 最大值为 答案 1 小 4 4 5 教学说明 解决上述问题既是对前面所学知识的巩固 又是本节课解决 优化最值问题的理论依据 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 教学点教学点 1 1 最大面积问题 阅读教材 P30动脑筋 回答下列问题 1 若设窗框的宽为 xm 则窗框的高为 m x 的取值范围是 2 窗框的透光面积 S 与 x 之间的关系式是什么 3 如何由关系式求出最大面积 答案 1 0 x 83 2 x 8 3 2 S x2 4x 0 x 3 2 8 3 3 Smax m2 8 3 例例 1 1 如图 从一张矩形纸片较短的边上找一点 E 过 E 点剪下两个正方形 它们的边长分别是 AE DE 要 使剪下的两个正方形的面积和最小 点 E 应选在何处 为什么 解 设矩形纸较短边长为 a 设 DE x 则 AE a x 那么两个正方形的面积和 y x2 a x 2 2x2 2ax a2当 x 时 y最小值 2 a 2 2a a a2 21 2 22 a a 1 2 1 2 a2 1 2 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时 剪下的两个正方形的面积和最小 教学说明 此题要充分利用几何关系建立二次函数模型 再利用二次函数 性质求解 教学点教学点 2 2 最大利润问题 例例 2 2 讲解教材 P31 例题 教学说明 通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值 首 先要找出最值问题的二次函数关系式 利用二次函数的性质为理论依据来解决 问题 例例 3 3 某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售 一天可销出约 100 件 该店想通过降低售价 增加销售量的办法来提高利润 经过市场调查 发现这种商品单价每降低 0 1 元 其销售量可增加约 10 件 将这种商品的售价 降低多少时 能使销售利润最大 分析 找出进价 售价 销售 总利润之间的关系 建立二次函数 再求最大 值 列表分析如下 关系式 每件利润 售价 进价 总利润 每件利润 销量 解 设降价 x 元 总利润为 y 元 由题意得 y 10 x 8 100 100 x 100 x2 100 x 200 100 x 0 5 2 225 当 x 0 5 时 总利润最大为 225 元 当商品的售价降低 0 5 元时 销售利润最大 三 运用新知 深化理解三 运用新知 深化理解 1 如图 点 C 是线段 AB 上的一个支点 AB 1 分别以 AC 和 CB 为一边作正方 形 用 S 表示这两个正方形的面积之和 下列判断正确的是 A 当 C 是 AB 的中点时 S 最小 B 当 C 是 AB 的中点时 S 最大 C 当 C 为 AB 的三点分点时 S 最小 D 当 C 是 AB 的三等分点时 S 最大 第 1 题图 第 2 题图 2 如图 某水渠的横断面是等腰梯形 底角为 120 两腰与下底的和为 4cm 当水渠深 x 为 时 横断面面积最大 最大面积是 3 某经销店为某工厂代销一种建筑材料 当每吨售价为 260 元时 月销售量 为 45 吨 该经销店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调 查发现 当每吨售价下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因 素 每售出 1 吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元 设每吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 该经销店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理 由 答案 1 A 2 cm cm2 2 3 5 4 3 5 3 解 45 7 5 60 吨 260240 10 y x 100 45 7 5 260 10 x 化简 得 y x2 315x 24 000 3 4 y x2 315x 24 000 x 210 2 9 075 3 4 3 4 此经销店要获得最大月利润 材料的售价应定为每吨 210 元 我认为 小静说得不对 理由 当月利润最大时 x 为 210 元 每月销售额 W x 45 7 5 260 10 x 3 4 x 160 2 19 200 当 x 为 160 元时 月销售额 W 最大 当 x 为 210 元时 月销 售额 W 不是最大的 小静说得不对 教学说明 1 先列出函数的解析式 再根据其增减性确定最值 2 要分清 利润 销售量与售价的关系 分清最大利润与最大销售额之间的区别 四 师生互动 课堂小结四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 能根据实际问题建立二次函数的关系式 并确定自变量取值范围 并能求出实际问题的最值 1 教材 P31第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题 通过 对此问题的探究解决 使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系 提高学习 数学的积极性 章末复习章末复习 知识与技能 掌握本章重要知识 能灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题 过程与方法 通过梳理本章知识 回顾解决问题中所涉及的数形结合思想 转化化归思想 的过程 加深对本章知识的理解 情感态度 在运用本章知识解决具体问题过程中 进一步体会数学与生活的密切联系 激发学习兴趣 教学重点 回顾本章知识点 构建知识体系 教学难点 利用二次函数的相关知识解决具体问题 一 知识框图 整体把握一 知识框图 整体把握 教学说明 引导学生回顾本章知识点 展示本章知识结构框图 使学生系 统了解本章知识及它们之间的关系 教学时 边回顾边建立结构框图 二 释疑解惑 加深理解二 释疑解惑 加深理解 1 由于 y ax2 bx c 配方后可得 y 所以 y ax2 bx c 2 2 4 24 bacb a x aa 的图象总可由 y ax2平移得