《关于零点和中值点存在性问题》

本科学生毕业论文（设计） 题目(中文): 关于零点和中值点存在性问题 (英文): Existence Problems about Zero Point and Mean Value Point of Function 姓 名 亦若随零 学 号 01314 院 （系） 数学与计算科学系 专业、年级 数学与应用数学1314级 指导教师 亦 林 2014年 05 月09日目 录 绪论.1 1预备知识.1 2关于零点和中值点存在性问题.2 2.1利用零点定理讨论零点存在性问题.2 2.2利用微分中值定理讨论零点和中值点存在性问题.5 2.2.1利用微分中值定理讨论零点存在性问题.5 2.2.2利用微分中值定理讨论中值点存在性问题.7 2.3利用泰勒公式讨论零点和中值点存在性问题.12 2.3.1利用泰勒公式讨论零点存在性问题.12 2.3.2利用泰勒公式讨论中值点存在性问题.13 2.4利用积分中值定理讨论零点和中值点存在性问题.16 2.4.1利用积分中值定理讨论零点存在性问题.16 2.4.2利用积分中值定理讨论中值点存在性问题.163结束语.17参考文献.19致谢.20关于零点和中值点存在性问题摘 要 本文运用零点定理、微分中值定理和积分第一中值定理, 通过构造辅助函数讨论了函数的零点和中值点的存在性问题. 通过对例题的精讲, 从易到难, 揭露出零点和中值点存在性问题在某些场合下的本质联系.【关键词】 函数的零点 中值点 存在性问题 辅助函数 Existence Problems about Zero Point and Mean Value Pointof Function Abstract Existence problems of function are discussed by using zero of a function theorem, mean value theorem of differentials and mean value theorem of integrals to construct auxiliary functions in the paper. The nature contacts of existence problems about zero point and mean value point of function are obtained through the classical examples from easy to difficult. 【Key words】 Zero of a function Mean value point Existence problem Auxiliary functionIII绪 论存在性问题是讨论具有某种性质的数学对象是否存在的问题, 数学中许多问题必须先探讨它所涉及的对象是否存在, 然后才有可能着手解决问题, 如函数的零点存在性问题及中值点存在性问题等. 因此存在性问题往往是解决许多数学问题的先导. 函数零点及中值点存在性问题比较抽象, 涉及面较广, 技巧性也强, 解决起来有一定的难度, 它是数学分析中的一个难点也是重点, 虽然在数学分析中闭区间上连续函数的性质及微积分的理论与方法为解决此类问题提供了丰富的手段, 但由于中值公式的复杂多变和题目的千变万化, 致使学习者遇到此类问题时会出现选择性犹豫不决, 不知所措, 虽然函数零点和中值点存在性问题作为数学分析的重要难点在国内外都进行了大量的研究, 如在文献1-4中主要介绍了判别零点存在性问题的几种方法, 但没有对此类问题系统详细的探讨, 在文献5-7中主要介绍了中值点存在性命题和中值问题的一些证明技巧, 但没有对其进行更好的归纳, 在查阅大量资料后发现将函数零点和中值点存在性问题结合起来研究的却不曾有过.本文通过在求解方法上先将此两类问题大致统一, 使两个看似不相干的点通过分析归纳揭示出其内在本质联系, 主要运用的方法有: 零点定理法、罗尔中值定理法、拉格朗日中值定理法、泰勒公式法、积分第一中值定理法. 在这些方法下的大框架内, 以做辅助函数为基础, 给出了各类方法下问题的一般特点, 通过对例题的精讲, 从易到难, 环环相扣, 层层揭露出零点和中值点存在性问题在某些场合下的本质联系, 并对其中的讨论方法和技巧进行分析和归纳, 杜绝学习者遇到此类问题时, 因出现选择性犹豫不决而苦恼.1预备知识 引理1.1 零点定理8 若函数在闭区间上连续, 且与异号（即 ）, 则至少存在一点, 使得, 且称为函数的零点. 引理1.2 罗尔（Rolle)中值定理8 若函数满足如下条件: 1) 在闭区间上连续;2) 在开区间内可导;3) .则在内至少存在一点, 使得 . 引理1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理8 若函数满足如下条件: 1) 在闭区间上连续; 2) 在开区间内可导.则在内至少存在一点, 使得 . 引理1.4 柯西中值定理8 若函数和满足1) 在闭区间上连续; 2) 在开区间内可导;3) 对有.则在内至少存在一点, 使得: . 引理1.5 泰勒公式8 若在上连续, 在内存在, 则, , 使得下式成立: . 引理1.6 积分第一中值定理8 若函数在上连续, 则在内至少存在一点, 使得: .2 关于零点和中值点存在性问题关于零点和中值点存在性问题, 其主要出现在等式的证明上, 所以本文着重讨论两者在等式上的存在性证明, 先在解决此两类问题的方法上对其进行大致统一, 在方法统一的大框架下, 给出每类方法下的零点和中值点存在性问题各自的一般特点, 以做辅助函数为基础给出具体例题加以巩固.2.1 利用零点定理讨论零点存在性问题 在解决关于函数零点存在性问题的方法上, 最常用的方法当然还是应用零点定理, 这类零点存在性问题有其自己独特之处, 主要可以归纳如下: 1) 能将所证的等式化为等号一端为零, 另一端是关于的代数式的等式, 即: , （, 可为有限也可为无限）; 例2.1 设在上连续, 且, 证明: 存在, 使得成立.分析 此种问题若将存在的点改为, 往往就能得到所要的函数表达式, 即做辅助函数, 则问题即为函数在上的零点存在性问题, 利用连续函数的性质及积分的性质结合零点定理即可得到结论.证明 令, 由题意得, 因为= 又因为, 所以 （1） = （2） 其中 由（1）和（2）式则有= 又因为在上连续, 且, 不妨设, , 则有= 所以 , 由引理1.1可知至少存在一个点使得 即 我们回过头再看一下例题2.1, 这是一道很明显的可以利用函数零点定理来解决的函数零点存在性问题, 往往应用在解决此类问题上的方法不是单一的而是和其他的方法相结合来解决, 在此题中不仅要运用到零点定理这一关键知识, 而且运用积分的性质也是不可或缺的, 且可以发现所构造的辅助函数在区间上的两端点处有明显的相异函数值, 然而当题目所构造的辅助函数在其区间的两端点处没有明显的两相异函数值的时候, 难道就不能运用零点定理来解决了吗?答案是否定的, 当题目当中没有明显的两相异函数值时, 我们可以在区间上寻找这样两个函数值相异的点, 然后再运用零点定理求解.所以这类命题又具有下面这样一个特点.2) 在定义域内（可为有限和无限, 在文9中对连续函数的介值定理做了推广加强了介值定理的应用）, 函数连续且存在符号相异的函数值（可为明显和隐藏两种）, 即: 当, 存在, 有. 例2.2 设函数在上连续, 且, 试证明, 且, 使得.分析 由已知知, 欲证, 只需, 将换成得辅助函数, 由, 且, 所以, 问题即转化为求证, 使得. 这很明显是一个函数零点存在性问题.证明 令, 因为 在上连续, 且所以 讨论 1）若, 则有, 由引理1.1可知, 使得, 即. 2）若, 则取或, 使得, 即 综上所述, 存在 , 使得 即存在, 且, 使得成立.通过以上例题可以很好的掌握运用零点定理的一些特点, 然而有一些零点存在性问题在题设或者结论中就不可能找到符合运用零点定理的条件, 对于此类问题我们来引出下面一个大类, 就是运用微分中值定理来讨论其存在性, 而此时这种方法不仅在零点存在性问题上很有效, 在中值点存在性问题上也有异曲同工之妙, 为此下面将引出数学分析中的另外一个重要的点-中值点.2.2 利用微分中值定理讨论零点和中值点存在性问题2.2.1 利用微分中值定理讨论零点存在性问题在许多函数零点存在性问题上可以视为某类导函数零点存在性问题, 而微分中值定理是沟通函数与导数之间的桥梁, 所以可以利用微分中值定理来讨论导函数零点存在性问题, 且主要是利用微分中值定理中的罗尔中值定理, 能运用罗尔中值定理求解的零点存在性问题也是具有自己的一些特点, 主要可归纳如下: 1）所证结论或题设中有函数的一阶或多阶导数; 2）一般能将所证的结论化为一端为零, 一端是关于的代数式的等式, 即 , , (可为有限也可为无限, 在文9中对罗尔中值定理做了推广加强了罗尔中值定理的应用）; 3）在定义域上连续, 在内可导, 且存在函数值相等的两点（这是关键）, 当然这两等值点和零点定理中的两相异函数值点一样有两种情况, 明显和隐藏两种, 即当, 存在, 有. 例2.3 若等式成立, 试证明多项式函数在内至少有一个实根.分析 仔细观察问题中的已知等式和求证式, 可以发现题目所给的已知条件与多项式函数的系数之间的关系, 可以考虑对进行积分来寻找辅助函数. 证明 设 则 又在上连续，内可导,且, 所以 因此函数在区间上满足引理1.2的条件, 则至少存在一点, 使得即存在, 使 所以函数在区间内至少有一个实根.此题的解题关键在于利用函数的原函数作为辅助函数, 然后结合罗尔中值定理来求解的, 对于此类问题中辅助函数的构造主要涉及到直接法和积分法(关于做辅助函数的直接法和积分法在文10中都做了详细的介绍, 可以以此为参照）, 而由上面所归纳的特点可知, 用零点定理和罗尔中值定理来求解零点存在性问题有相似之处.2.2.2 利用微分中值定理讨论中值点存在性问题在数学分析课程中对于中值点的存在性问题, 对大家来说并不陌生, 微积分中值定理在理论上肯定了其存在性, 但由于中值公式的形式多样化, 致使在用微分中值定理来证明这些问题时, 时常会犹豫不决, 不知如何下手, 更加不知道该用何种方法才能使题目简便化, 对此本文在用微分中值定理来解决中值点存在性问题上归纳出三类一般形式的命题和一个特殊的补充, 此三类一般形式命题涉及到微分中值定理中的三个基本定理, 即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理, 也体现出微分中值定理之间相互转化及互相结合起来解题的重要性, 对于补充的方法将会以另一种耳目一新的方式来呈现解题之法. 如果能将所证结论整理变形为: 的中值点存在性问题, 则可用罗尔中值定理进行求解, 当然题目当中两等值点是不可或缺的, 在此不重复复述, 此时可做辅助函数, 且做辅助函数多用积分法, 我们通过下面的例子来加深印象. 例2.4 设在上连续, 在内可导, , 试证: , 使得成立. 分析 欲证成立只需证, 令, , 由做辅助函数的积分法可知, 此时可做辅助函数(在积分法中我们要对形式的函数多一些关注, 记住其在构造辅助函数时妙用, 此类函数主要有两点性质: ; 对求导之后仍有因子）, 由题已知, 可知, 于是对函数运用罗尔中值定理, 即可得到所证结论. 证明 作辅助函数, , 由题意可知在上连续, 在内可导, 且, 满足引理1.2的条件, 由此可得 , 使得. 因为 , 即又因为恒成立所以, 综上 , 使得成立这是一道典型的可用罗尔中值定理来解决的中值点存在性问题, 但当如果分离出来的常数不为零时, 又该用什么方法呢? 如果能将题中所证结论整理变形为: , 则可用拉格朗日中值定理来求解, 此时可做辅助函数, 且做辅助函数多用积分法. 例2.5 设在上连续, 在内可导, 求证, 使得成立. 分析 观察所证等式, 等式左边是关于的代数式, 而右边则是与无关的式子, 满足, 于是可以考虑用拉格朗日中值定理求解, 由左边关于的代数式, 可做辅助函数=（令常数项为零）, 然后对在区间运用拉格朗日中值定理. 证明 做辅助函数 =, 有题已知可得, 在上连续, 在内可导, 于是对运用拉格朗日中值定理, 可得, 使得因为 所以 又因为所以 综上 , 使得成立.我们知道中值点的个数（关于中值点的个数问题在文6中有详细的探讨, 感兴趣的读者可以以此文为参考）并不唯一, 如果题目当中出现多个中值点时, 又该怎么办呢?下面我们主要来讨论一下关于两个中值点存在性的问题, 对于在内至少且的命题此类命题的证明, 需将欲证明的结论适当变形, 使含和分别位于等式的两端, 将其中的一点看做变量另一点作为常数来构造辅助函数, 再两次利用拉格朗日中值定理, 或者各用一次拉格朗日中值定理及柯西中值定理即可得到所需的结论. 例2.6 设函数在上连续, 在内可导, 且, 试证, 使得成立. 分析 观察所证结论, 可将结论整理变形为 , 于是可考虑做辅助函数 , 首先对函数和运用柯西中值定理.证明 将所证等式变形为, 可考虑做辅助函数. 由此可知函数和在上满足引理1.4的条件, 可得 , 使得 (3) 再由引理1.3知函数在, , 使得 (4) 结合(3)(4)式可得 (5) 已知, 得, 于是由(5)式可得 综上 , 使得成立.对于含有两个（或两个以上）中值点的命题, 常常需要两次（或更多次）使用（拉格朗日中值定理或柯西中值定理）中值定理, 由例2.6可以归纳出此类问题的一般解题步骤为: 1）对所要证的等式进行变形, 使含和的表达式各在等式的一边; 2）观察变形后的等式, 从等式易于使用中值定理的一端出发, 寻找出一个或两个辅助函数, 然后对所做辅助函数先用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）, 使所证等式转化为只含一个中值点的等式; 3）结合对函数多次使用中值定理而得到的式子, 得出所要证明的结果. 通过例题2.6, 我们不难发现由于柯西中值定理的运用, 能使题目变得简单可行, 可以看出微分中值定理之间相互转化和互相结合起来解题的重要性. 例2.7 设函数在上连续, 在内可导, 且, 证明存在, 使得 成立.分析 将所证等式右边的换成, 则右边变为, 其可作为某一函数的导数或其导数中的一个因式, 因为, 显然是中的一部分因式, 再根据要证结论的右边分子中的不统一性, 可将右边化为, 从而可考虑作两个辅助函数和, 从而用柯西中值定理可解. 证明 设, , 因为, 所以在上连续, 在内可导, 且, 由引理1.4可知至少存在一点 使得 即 所以存在, 使得.例2.7的做法主要是利用了分析所要证的等式, 构造出了适当的辅助函数, 不知大家有没有发现我们的辅助函数作法是从含未知量的代数式入手的, 其实辅助函数的作法也可以从不含未知量的代数式入手的, 如例2.7中可以令, 我们也可以做辅助函数, 然后结合罗尔中值定理来求解, 这种方法叫做辅助函数的常数值法8, 这是对微分中值定理的一个特殊的补充, 此方法具有自己的优越性, 主要涉及到两类题型: 适用题型判断及步骤：若欲要证明的命题中, 结论能进行常数项分离, 将（或）代入到不含未知量的代数式来替代（或）, 如果代数式为“零”, 可考虑用值法做出辅助函数, 主要步骤如下: 1）令常数项部分为; 2）恒等变形, 使所证等式等号一端为构成的代数式, 另一端为构成的代数式; 3）分析等式两端的端点表达式是否为对称式, 如果为对称式, 只要把端点（或）改为, 则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数. （注 运用此方法常与罗尔中值定理结合使用, 因其有明显的两等值点） 常数值法主要涉及以下两种题型: 1）若能将题中所证结论整理为: , , ;则可做辅助函数: 2）若能将题中所证结论整理为: 则可做辅助函数: 注 一般能用柯西中值定理证明的问题均可以试用常数值法求解, 其实运用柯西中值定理求解和值法求解主要区别在于辅助函数构造方法上, 一个是从含未知数的代数式入手, 一个则是从不含未知数的代数式入手.这是寻找辅助函数的一种全新作法, 且此类问题的辅助函数的作法比较简单, 省去了前面例2.7所做辅助函数的分析之不易, 且辅助函数的值法与微分中值定理有着千丝万缕的联系, 不仅可以用来证明微分中值定理, 且弥补了直接用微分中值定理在解决中值点存在性问题的一些不足（如当区间包含时, 使用柯西中值定理来解题就会受到限制, 于是可以考虑将问题转化用其他的方法求解, 如罗尔中值定理）, 对于此类问题感兴趣的读者可以以此为参考.当零点和中值点存在性问题中出现了二阶或二阶以上的导数时, 前面所讲的方法对此都无能为力了, 有人会说我们可以多次运用微分中值定理呀, 当然这种思想是可行的, 但是这样却是相当麻烦的, 因此我们需要引进另外一种重要的求解方法, 即泰勒公式法. 2.3 利用泰勒公式讨论函数零点和中值点存在性问题2.3.1 利用泰勒公式讨论零点存在性问题 例2.8 设函数在上具有连续的二阶导数, 且, , （）, 则在区间内至少有一实根. 分析 由于题设当中出现了明显的多阶导数, 于是可以考虑运用泰勒公式, 在某点的展开来寻求解题的突破口. 证明 在上具有连续的二阶导数, 且已知, , 因此可考虑将在处展开泰勒公式, 由引理1.5知, 在区间考虑函数的取值情况. 当时, , 当时, 由于有 所以 因此函数在区间两个端点处函数值异号, 由引理1.1可知至少存在一点, 使 即在区间内至少有一实根.由例2.8可以看出泰勒公式在解决高阶导数零点存在性问题时的方便之处, 在文11中有这样一段话“高阶（二阶或二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一, 只要题设条件中给出函数二阶或二阶以上可导, 不妨先将在指定点展开成泰勒公式再说, 一般是展开成比最高阶导数低一阶的泰勒公式, 然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定以具体数值为最佳, 有时以为最佳）, 所以只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点, 并把握上述处理原则, 就能灵活的运用泰勒公式了”这无疑是对此类问题的一种最好的归纳解说.2.3.2 利用泰勒公式讨论中值点存在性问题运用泰勒公式来求解中值点存在性问题, 主要是因为题设条件或所要证结论中有明显的高阶导数, 且解题关键主要是运用到拉格朗日型余项. 例2.9 设函数在上具有连续的三阶导数, 且有, , , 试证: , 使得: . 分析 当题目当中出现了明显的高阶导数, 这时可以考虑运用泰勒公式将函数在某点展开来做, 那么在哪一点运用泰勒公式展开就很关键了. 通常可考虑在题中出现明显特征的点如已知函数值, 导数值的点, 或极（最）值点, 本题中已知函数在区间内部的一阶导数值, 所以选取在这点将函数展开.证明 将函数在处展开泰勒公式, 可得 介于与之间 将代入上式得 （6） 将代入上式得 （7）由（6）（7）两式相减可得又因为在区间上连续, 从而在区间上也连续, 所以 在区间上有最大值和最小值, 于是有 由函数的介值定理知, , 使得成立.所以存在一点, 使得: 例2.10 设函数在内是阶连续可微函数, 且有: 1） 当时, 有, 但是; 2）当时有: , 其中有; 求证 . 分析 结论要求的是关于中值点的极限, 因此需要将关于中值点的函数表示出来, 仔细观察已知条件, 可知已知条件中有函数在的高阶导数值, 是不是将函数点展开呢? 因为展开的目的是想解出, 而出现在条件中, 是变量, 由此想到用泰勒公式将函数在点展开, 再解出. 证明 由题意将及右端的在处展开成泰勒公式得 （8） （9） 将（8）（9）代入已知条件得= 所以解得因为, 所以利用的连续性可得 所以 通过以上两个例题的讲解, 相信你已经对如何使用泰勒公式来解决中值点存在性问题已经胸有成竹了, 其泰勒公式在解决零点和中值点存在性问题的实质是一样的, 都是要根据题设条件寻找出恰当的点来展开, 而展开后的式子就是我们所要寻找的辅助函数, 可以看出泰勒公式不仅在解决高阶导数存在性问题时的简便之处, 更是在解决中值点极限（关于微分中值定理中值点的极限的探讨在文12-16中都有深入的研究, 感兴趣的读者可以以此为参考）存在的性质问题上也突出了其不可撼动的一面. 在数学分析当中我们即学过微分中值定理也学过积分中值定理, 且积分中值定理在解决零点和中值点存在性问题方面也不可小觑.2.4利用积分中值定理讨论零点和中值点存在性问题2.4.1利用积分中值定理讨论零点存在性问题 积分中值定理看似和零点存在性问题扯不上联系, 但由于积分第一中值定理特别是在只有一个函数的情形下可以将积分值表示出来, 从而有可能求得解决问题所需的函数值, 达到解决问题的目的. 例2.11 设函数在上连续, , 证明: 方程在区间内有实根. 分析 由求证结论可知, 方程在区间有实根与函数在区间内有零点是一个问题. 从而可考虑将方程不为零的一端设为所求函数, 构造满足题设问题的条件.证明 设 , 则由积分上限函数的性质知在连续, 且 一方面由分部积分法和知=所以 (10)另一方面由引理1.6可知, , 使得 (11)由(10)和(11)知存在一点, 使, 即方程在区间内有实根.2.4.2利用积分中值定理讨论中值点存在性问题 题设条件中有含积分符号的等式, 而所要证明的结论却不含积分符号, 于是可以联想到积分第一中值定理将积分符号化去. 例2.12 设函数在上可微, 且满足（）, 证明: , 使得. 分析 将求证结论中的换成可得而, 所以可构造辅助函数, 显然在上连续, 在 内可导, 且有, 如果能将积分求出可得另一个函数值, 从而得到两函数值相等的点, 再用罗尔中值定理即可求解.证明 设, 则在上连续, 在内可导, 且有, 由引理1.6知至少存在一点使得 因为 所以 从而在内满足引理1.2的条件, 则至少存在一点, 使得 又因为所以至少存在一点, 使得其实仔细观察, 可以发现在运用这些方法来解决函数零点和中值点存在性时，所有的方法都不是独立存在的，而是相互渗透，有轻重、主次之分，这也透露出零点和中值点存在性问题在某些场合下必有某种联系.3 结束语 通过上面对零点和中值点存在性问题系统全面的分析, 我们不难发现在某些场合下零点和中值点可统一为“一点 ”, 如中值点存在性问题的一般提法如下, 给定区间上的函数且满足适当的条件, 证明存在使得, 此类问题相当于证明函数在区间内存在零点, 这样就不难看出为何在两点存在性问题的解决方法上会大致相同了, 我们知道对于数学问题的解决过程, 都是实现结论向条件, 未知向已知的转化过程, 在这个转化过程中, 不可避免的经常遇到这样或那样的障碍, 数学教育家G波利亚曾经说过: “人的高明之处在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时, 他就会绕过去, 当原来的问题看起来不好解决时, 就想出一个合适的辅助问题”17.而此两类问题在解决过程中都涉及到辅助函数的构造, 因此在解决此两类问题上辅助函数的构造是基础, 灵活的运用连续函数的性质和微积分中值定理及泰勒公式, 可以较顺利的解决零点和中值点存在性问题. 我们学习知识, 不仅仅是为了让我们知道, 更主要的是要学以致用, 这才是最关键的, 而如何快速有效的运用, 则是至关重要, 这正是本文的文意所在. 参考文献1 赵丽萍.关于解决函数零点问题的几种方法J.东北电力大学学报, 2009, 29（06）: 85-87. 2 孟赵玲,李秀淳.用微积分理论解决函数零点问题的几种方法J.北京印刷学 院学报, 2003, 11(1):45-46.3 李骏.关于判别函数零点存在性的若干种方法J.喀什师范院报, 2013, 34（03）: 27-28.4 李腾.关于函数零点存在性的几种判别方法J.洛阳师范学院学报,2010,02: 190-192.5 赵普军.中值问题的证明技巧J.科技风, 2008, 2（下）:98-99.6 路世英.关于微分中值定理“中值点”的讨论J.开封大学学报,2006,20(3): 69-70.7 何胜美.微分中值点存在性命题证明技巧分析J.萍乡高等