量子力学主要知识点复习资料

大学量子力学主要知识点复习资料 填空及问答部分大学量子力学主要知识点复习资料 填空及问答部分 1 能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子 这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能 这些谐振子只能处于某些分立的状态 在这些状态下 谐振子的能量不能取任意值 只能 是某一最小能量 的整数倍 n 4 3 2 对频率为 的谐振子 最小能量 为 h 2 波粒二象性 波粒二象性 wave particle duality 是指某物质同时具备波的特质及同时具备波的特质及粒子粒子的特质的特质 波粒二象 性是量子力学中的一个重要概念 在经典力学中 研究对象总是被明确区分为两类 波和 粒子 前者的典型例子是光 后者则组成了我们常说的 物质 1905 年 爱因斯坦提出了 光电效应的光量子解释 人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质 1924 年 德 布罗意提出 物质波 假说 认为和光一样 一切物质都具有波粒二象性 根据这一假说 电子也会具有干涉和衍射等波动现象 这被后来的电子衍射试验所证实 德布罗意公式德布罗意公式 h mcE 2 h mp v 3 波函数及其物理意义 在量子力学中 引入一个物理量 波函数 来描述粒子所具有的波粒二象性 波函数满足 薛定格波动方程薛定格波动方程 0 2 2 2 trrV m tr t i 粒子的波动性可以用波函数来表示 其中 振幅 表示波 动在空间一点 x y z 上的强弱 所以 应该表示 粒子出现在点 x y z 附件 的概率大小概率大小的一个量 从这个意义出发 可将粒子的波函数称为概率波 自由粒子的波函数 exp Etrp i A k 波函数的性质 可积性 归一化 单值性 连续性 4 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设 C 是一个常数 则 和 对粒子在点 x y z 附件出现概率的描述是相同的 相位不定性如果常数 则 和 对粒子在点 x y z 附 件出现概率的描述是相同的 表示粒子出现在点 x y z 附近的概率 表示点 x y z 处的体积元 中找到粒子的概率 这就是波函数的统计诠释 自然要求该粒子在空间各点概率之总和为 1 必然有以下归一化条件 5 力学量的平均值 2 x y z 2 x y zx y z x y z 2 1x y zdxdydz x y z cx y z i eC i ex y z x y z 既然 表示 粒子出现在点 附件的概率 那么粒 子坐标的平均值 例如 x 的平均值Error 由概率论 有 又如 势能 V 是 的函数 其平均值由概率论 r rV 可表示为 rdrrVrV 3 rdrrVrV 3 再如 动量 的平均值为 为什么不能写成 因为 x 完全确定时 p 完全不确定 x 点处的动量没有意义 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值 可以 但需要表示为Error rdrpr 3 其中 为动量 的算符 6 算符 量子力学中的算符表示对波函数 量子态 的一种运算 如动量算符 ip 能量算符E t iE 动能算符 动能平均值 2 2 2 m T rdrTrT 3 角动量算符 角动量平均值prl rdrlrl 3 薛定谔方程 2 2 2 trtrV m tr t i 算符 被称为哈密顿算符 7 定态 数学中 形如 的方程 称为本征方程本征方程 其中 方程 称为能量本征方程 被称为能量本征函数 E 被称为能量本征值 当 E 为确定值 拨函数所描述的状态称为定态 处 tr r E exp Et i 22 rx y z zyxr 23 3 xrxd rr xr d r 3 d rdxdydz 3 pp pp d p rdrrprp 3 ip p Afaf A 算符 f 本征函数 a 本征值 2 2 2 HV r m 2 2 2 EEEE V rrErHrEr m r E 于定态下的粒子有以下特征 粒子的空间概率密度不随时间改变 任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改 变 他们的测值概率分布也不随时间改变 8 量子态叠加原理 但一般情况下 粒子并不只是完全处于其中的某一本征态 而是以某种概率处于其 中的某一本征态 换句话说 粒子的状态是所有这些分立状态的叠加 即 xcx n n n 具有 中发现粒子处于态 表示在态 2 xxc nn 的概率能量 n E 9 宇称 若势函数 V x V x 若是能量本征方程对于能量本征值 E 的解 则 x 也是能量本征方程对于能量本征值 E 的解 x 具有确定的宇称 无简并 则若的解 如果 能量本征值是能量本征方程对应于设 xxxVxV Ex 10 束缚态 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 11 一维谐振子的能量本征值 12 隧穿效应 量子隧穿效应为一种量子特性 是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的 现象 这是因为根据量子力学 微观粒子具有波的性质 而有不为零的概率穿过位势障壁 又称隧穿效应 势垒贯穿 按照经典理论 总能量低于势垒是不能实现反应的 但 依量子力学观点 无论粒子能量是否高于势垒 都不能肯定粒子是否能越过势垒 只能 说出粒子越过势垒概率的大小 它取决于势垒高度 宽度及粒子本身的能量 能量高于 势垒的 运动方向适宜的未必一定反应 只能说反应概率较大 而能量低于势垒的仍有 一定概率实现反应 即可能有一部分粒子 代表点 穿越势垒 也称势垒穿透 barrier penetration 好像从大山隧道通过一般 这就是隧道效应 例如H H2 低温下反应 其隧道效应就较突出 cos cos cos sin sin sin PPxx Pxxx Pxxx x Pxxx Pxxx 定义空间反演算符为 如果 或 称具有确定的偶宇称或奇宇称 如 偶宇称 奇宇称 注意 一般的函数没有确定的宇称 2 1 0 2 1 nnEE n 13 算符对易式 一般说来 算符之积不满足交换律 即 由此导致量子力学中的一个 基本问题 对易关系 对易式 通常 坐标对易关系 角动量的对易式 0 0 0 0 0 0 zyxyzyxz xzyyyzxy yzxzyxxx yzz yyy xxx plpiplpipl piplplpipl piplpiplpl zlxiylyixl xizlylzixl yizlziylxl yxzxzyzyx zzyyxx lilllilllill llllll 0 0 0 14 厄密算符平均值的性质 先转置 再 的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则AAAA 即记为 AAA 共轭 AdAd 体系的任何状态下 其厄密算符的平均值必为实数 在任何状态下平均值为实的算符必为 厄米算符 实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 15 量子力学关于算符的基本假设 1 微观粒子的状态由波函数 描写 2 波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点 x y z 的概率 3 力学量用算符表示 4 波函数的运动满足薛定格方程 ABBA ABBABABA 设和 0 BA 0 i ip zyx 0 0 0 222 2222 zyx zyx llllll llll有令 tr 2 tr 2 2 2 2 2 2 ir tVr tHr t tm HV r t m 哈密顿算符 16 算符的本征方程 本征值与本征函数 数学中 形如 的方程 称为本征方程本征方程 其中 3 其中 均可展开如下 状态完备态矢 系统的任何 能构成一组正交归一都是不简并的 则 果的本征态与本征值 如 是算符和 draax AAA nnn n n nnnn 17 不确定度关系的严格表达 18 两个算符有共同本征态的条件 两个算符对易 即0 BA 19 力学量完全集 若算符的本征值是简并的 仅由其本征值无法惟一地确定其本征态 若要惟一地确定其本 征态 必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可 例如 仅由 的本征值不能确 定体系状态 必再加上 的本征值才能确定体系状态 这样 为了完全确定一个体系的 状态 我们定义力学量完全集 定义 如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 它们只有一组共同完备 本征函数集 记为 可以表示一组量子数 给定一组量子数后 就完全确定了体 系的一个可能状态 则称 为体系的一组力学量完全集 20 力学量完全集共同本征态的性质 Afaf A 算符 f 本征函数 a 本征值 nnn n n AAA nAA AAA A 满足的和不止一组 可能有组 因此 此式称为的本征方程 称为的 一个本征值 称为的一个本征态 若能级简并 21 守恒量 对于 Hamilton 量 H 不含时的量子体系 如果力学量 A 与 H 对易 则无论体系处于什么状 态 定态或非定态 A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变 所以把 A 称为量子 体系的一个守恒量 22 狄拉克符号 内积及其表示形式 算符向左作用 把希尔伯特空间 一分为二 互为对偶的空间 就是狄拉克符号的优点 用右矢 表 示态矢 左矢 表示其共厄矢量 是内积 大于等于 0 称为模方 是外积 的共轭态量子态左矢 代表量子态右矢 是力学量完全集若 k 是如球谐函数 的本征态 则 2 zlmk llYkF lmYlm 的共同本征函数 采用狄拉克符号表示量子态是 都只是一个抽象的态矢 未涉及任何具体的表象 k kk k kkPIPIkk为投影算符 或 算符向左作用 23 角动量平方和角动量 z 分量的共同本征函数 imm l m lm z eP ml mll Y ll cos 4 12 1 的共同本征函数为 和 这样 2 2 1 0 1 1 其中lllllm 注意量纲 2 1 0 1 1 1 足称为球谐函数 它们满 22 lllllm YmYl YllYl Y lmlmz lmlm lm 注意 推导过程计算题有可能要考 24 氢原子的能量本征值与能级简并度 3 2 1 1 2 1 2 2 2 22 4 n na e n e EE n 简并的氢原子的能级是 2 n 25 正常 Zeeman 效应 原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应 历史上首先观测到并给予 理论解释的是谱线一分为三的现象 后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情 况 因此称前者为正常或简单塞曼效应 后者为反常或复杂塞曼效应 26 电子自旋 电子的基本性质之一 电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称 自旋不是机械的自转 27 关于电子自旋的 Stern Gerlach 实验 Stern Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验 是由 O 斯特恩和 W 革拉赫在 1921 年完成的 实验装置如图斯特恩 革拉赫实验装置示意 图示 使银原子在电炉 O 内蒸发 通过狭缝形成细束 经过一个抽成真空的不均匀 的磁场区域 磁场垂直于束方向 最后到达照相底片 P 上 在显像后的底片上现 了两条黑斑 表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束 实验上高温炉中的 Ag 原子处于高压 从高温炉中出来之后迅速冷却 处于基态 磁量子数 为零 似乎不该偏转 因此原子除了轨道磁矩外 还有其他磁矩 即自旋磁矩 28 碱金属原子光谱双线结构 自旋 性 其根源正是电子的果 而是原子的故有特 外界因素作用的结效应不同 此现象并非与 0 589 6 589两条谱线构成 是由行观测 发现它实际上用高分辨率的光谱仪进 3 589的跃迁产生一条黄线33对钠原子 21 Zeeman nmnm nmsp 29 量子跃迁与选择定则 1 能跃迁到第一激发态 只0 振子从基态在外电场的激发下 谐 这称为跃迁的选择定则 的跃迁发生 1表明允许谐振子 不能发生 0 30 20 可以发生 10以上结果表明 1 0 0 2 0 22 22 10 22 n n nP e q P n 即谐振子只能跃迁到相邻能级 30 禁戒跃迁 的跃迁是禁戒的 到 者说 从的跃迁是不可能的 或到表明从 0 0 使得若存在这样的末态 13 1 时 有的概率 当跃迁到末态 代表系统从初态 则 令 12 1 已知 2 0 2 2 0 k kkk PHk dtHetP kkk ktPtCtP dtHe i tC kkkk t kk ti kk kkkkkk t kk ti kkkk kk kk 的跃迁为禁戒跃迁 0 30 20 或者说 1其中 能跃迁到激发态 不0 振子从基态在外电场的激发下 谐 n nn 31 微扰论的思想 解薛定谔方程的一种常用的近似方法 一个量子体系 如果总哈密顿量的各部分具有不 同的数量级 又对于它精确求解薛定谔方程有困难 但对于哈密顿量的主要部分可以精确 求解 便可先略去次要部分 对简化的薛定谔方程求出精确解 再从简化问题的精确解出发 把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去 从而得出逐步接近于原来问题精确解的各 级近似解 这种方法称为微扰论 32 突发微扰与绝热微扰 做绝热微扰 样的微扰叫会改变系统的状态 这地作用到系统上时 不当外界的微扰十分缓慢 做突发微扰 这样的微扰叫不会改变系统的状态 地作用到系统上时 也当外界的微扰十分突然 33 能量与时间不确定度 不能同时为零 度 同系统能量的不确定变化快慢的周期此式反映了一个力学量 2 此式的一般形式为 确定度关系 可以证明被称为时间 能量的不 Et tE hEt 34 能级宽度与谱线宽度 展宽 一个宽度 这叫能级的所以 所有的能级都有 2由于能量不确定性 tEk 称为谱线宽度 这叫谱线的展宽 其中 该是 谱线的频率应 频率范围一个频