2018年高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数 1 2018 年浙江卷 函数y sin2x的图象可能是 A B C D 答案 D 点睛 有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路 1 由函数的定义域 判断图象的左 右位置 由函数的值域 判断图象的上 下位置 2 由函数的单调性 判断图象的变化趋势 3 由函数的奇 偶性 判断图象的对称性 4 由函数的周期性 判断图象的循环往复 2 2018 年理天津卷 已知 则a b c的大小关系为 A B C D 答案 D 解析 分析 由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果 详解 由题意结合对数函数的性质可知 据此可得 本题选择D选项 点睛 对于指数幂的大小的比较 我们通常都是运用指数函数的单调性 但很多时候 因幂的底数或指数 不相同 不能直接利用函数的单调性进行比较 这就必须掌握一些特殊方法 在进行指数幂的大小比较时 若底数不同 则首先考虑将其转化成同底数 然后再根据指数函数的单调性进行判断 对于不同底而同指 数的指数幂的大小的比较 利用图象法求解 既快捷 又准确 3 2018 年理新课标 I 卷 已知函数 若g x 存在 2 个零点 则a的取值范围是 A 1 0 B 0 C 1 D 1 答案 C 详解 画出函数的图像 在 y 轴右侧的去掉 再画出直线 之后上下移动 可以发现当直 线过点 A 时 直线与函数图像有两个交点 并且向下可以无限移动 都可以保证直线与函数的图像有两个 交点 即方程有两个解 也就是函数有两个零点 此时满足 即 故选 C 点睛 该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题 在求解的过程中 解题的思路是 将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题 将式子移项变形 转化为两条曲线交点的问题 画出函数 的图像以及相应的直线 在直线移动的过程中 利用数形结合思想 求得相应的结果 4 2018 年理新课标 I 卷 设函数 若为奇函数 则曲线在点 处的切线方程为 A B C D 答案 D 点睛 该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题 在求解的过程中 首先需 要确定函数解析式 此时利用到结论多项式函数中 奇函数不存在偶次项 偶函数不存在奇次项 从而求 得相应的参数值 之后利用求导公式求得 借助于导数的几何意义 结合直线方程的点斜式求得结果 5 2018 年全国卷 理 设 则 A B C D 答案 B 解析 分析 求出 得到的范围 进而可得结果 详解 即 又 即 故选 B 点睛 本题主要考查对数的运算和不等式 属于中档题 6 2018 年理数全国卷 II 已知是定义域为的奇函数 满足 若 则 A B 0 C 2 D 50 答案 C 点睛 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行变换 将所求函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 7 2018 年理数全国卷 II 函数的图像大致为 A A B B C C D D 答案 B 解析 分析 通过研究函数奇偶性以及单调性 确定函数图像 详解 为奇函数 舍去 A 舍去 D 所以舍去 C 因此选 B 点睛 有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路 1 由函数的定义域 判断图象左右的位置 由函 数的值域 判断图象的上下位置 由函数的单调性 判断图象的变化趋势 由函数的奇偶性 判断图 象的对称性 由函数的周期性 判断图象的循环往复 8 2018 年浙江卷 已知 R 函数f x 当 2 时 不等式f x 8 8ln2 若a 3 4ln2 证明 对于任意k 0 直线y kx a与曲线y f x 有唯一公共点 答案 见解析 见解析 详解 函数f x 的导函数 由得 因为 所以 由基本不等式得 因为 所以 由题意 得 设 则 所 以 x 0 16 16 16 0 2 4ln2 所以g x 在 256 上单调递增 故 即 令m n 则f m km a a k k a 0 f n kn a 0 直线y kx a与曲线y f x 有唯一公共点 点睛 利用导数证明不等式常见类型及解题策略 1 构造差函数 根据差函数导函数符 号 确定差函数单调性 利用单调性得不等量关系 进而证明不等式 2 根据条件 寻找目标函数 一 般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系 或利用放缩 等量代换将多元函数转化为一元 函数 19 2018 年理数天津卷 已知函数 其中a 1 I 求函数的单调区间 II 若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行 证明 III 证明当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 答案 单调递减区间 单调递增区间为 证明见解析 证明见解析 III 由题意可得两条切线方程分别为l1 l2 则原 问题等价于当时 存在 使得l1和l2重合 转化为当时 关于x1 的方程存在实数解 构造函数 令 结合函数的性质可知存在唯一的x0 且x0 0 使得 据此 可证得存在实数t 使得 则题中的结论成立 详解 I 由已知 有 令 解得x 0 由a 1 可知当x变化时 的变化情况如下表 x0 0 极小值 所以函数的单调递减区间 单调递增区间为 III 曲线在点处的切线l1 曲线在点处的切线l2 要证明当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 只需证明当时 存在 使得l1和l2重合 即只需证明当时 方程组有解 由 得 代入 得 因此 只需证明当时 关于x1的方程 存在实数解 故存在唯一的x0 且x0 0 使得 即 由此可得在上单调递增 在上单调递减 在处取得极大值 因为 故 所以 下面证明存在实数t 使得 由 I 可得 当时 有 所以存在实数t 使得 因此 当时 存在 使得 所以 当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 点睛 导数是研究函数的单调性 极值 最值 最有效的工具 而函数是高中数学中重要的知识点 所以在 历届高考中 对导数的应用的考查都非常突出 本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 1 考查导数的几何意义 往往与解析几何 微积分相联 系 2 利用导数求函数的单调区间 判断单调性 已知单调性 求参数 3 利用导数求函数的最值 极值 解决生活中的优化问题 4 考查数形结合思想的应用 20 2018 年理北京卷 设函数 若曲线y f x 在点 1 处的切线与 轴平行 求a 若在x 2 处取得极小值 求a的取值范围 答案 1 a的值为 1 2 a的取值范围是 由 得f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 ex 若a 则当x 2 时 f x 0 所以f x 0 在x 2 处取得极小 值 若a 则当x 0 2 时 x 2 0 ax 1 x 10 所以 2 不是f x 的极小值 点 综上可知 a的取值范围是 点睛 利用导数的几何意义解题 主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来进行转化 以平行 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 则要求掌握平行 垂直与斜率之间的关系 进而和导数联系起 来求解 21 2018 年江苏卷 记分别为函数的导函数 若存在 满足且 则称为函数与的一个 S点 1 证明 函数与不存在 S点 2 若函数与存在 S点 求实数a的值 3 已知函数 对任意 判断是否存在 使函数与在区间 内存在 S点 并说明理由 答案 1 证明见解析 2 a的值为 3 对任意a 0 存在b 0 使函数f x 与g x 在区间 0 内存在 S点 详解 解 1 函数f x x g x x2 2x 2 则f x 1 g x 2x 2 由f x g x 且f x g x 得 此方程组无解 因此 f x 与g x 不存在 S 点 2 函数 则 设x0为f x 与g x 的 S 点 由f x0 与g x0 且f x0 与g x0 得 即 得 即 则 当时 满足方程组 即为f x 与 g x 的 S 点 因此 a的值为 3 对任意a 0 设 因为 且h x 的图象是不间断的 所以存在 0 1 使得 令 则b 0 函数 则 由f x 与g x 且f x 与g x 得 即 此时 满足方程组 即是函数f x 与g x 在区间 0 1 内的一个 S点 因此 对任意a 0 存在b 0 使函数f x 与g x 在区间 0 内存在 S点 点睛 涉及函数的零点问题 方程解的个数问题 函数图象交点个数问题 一般先通过导数研究函数的单 调性 最大值 最小值 变化趋势等 再借助函数的大致图象判断零点 方程根 交点的情况 归根到底 还是研究函数的性质 如单调性 极值 然后通过数形结合的思想找到解题的思路 22 2018 年江苏卷 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆弧 P为此圆弧的中 点 和线段MN构成 已知圆O的半径为 40 米 点P到MN的距离为 50 米 现规划在此农田上修建两个温 室大棚 大棚 内的地块形状为矩形ABCD 大棚 内的地块形状为 要求均在线段上 均在圆弧上 设OC与MN所成的角为 1 用 分别表示矩形和的面积 并确定的取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比 为 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 答案 1 矩形ABCD的面积为 800 4sin cos cos 平方米 CDP的面积为 1600 cos sin cos sin 的取值范围是 1 2 当 时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 解析 分析 1 先根据条件求矩形长与宽 三角形的底与高 再根据矩形面积公式以及三角形面积 公式得结果 最后根据实际意义确定的取值范围 2 根据条件列函数关系式 利用导数求极值点 再根据单调性确定函数最值取法 详解 当 0 时 才能作出满足条件的矩形ABCD 所以 sin 的取值范围是 1 答 矩形ABCD的面积为 800 4sin cos cos 平方米 CDP的面积为 1600 cos sin cos sin 的取值范围是 1 2 因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 3 设甲的单位面积的年产值为 4k 乙的单位面积的年产值为 3k k 0 则年总产值为 4k 800 4sin cos cos 3k 1600 cos sin cos 8000k sin cos cos 0 设f sin cos cos 0 则 令 得 当 0 时 所以f 为增函数 当 时 所以f 为减函数 因此 当 时 f 取到最大值 答 当 时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 点睛 解决实际应用题的步骤一般有两步 一是将实际问题转化为数学问题 二是利用数学内部的知识解 决问题 23 2018 年理新课标 I 卷 已知函数 1 讨论的单调性 2 若存在两个极值点 证明 答案 1 当时 在单调递减 当时 在单 调递减 在单调递增 2 证明见解析 详解 1 的定义域为 i 若 则 当且仅当 时 所以在单调递减 ii 若 令得 或 当时 当时 所以在单调递减 在单调递增 点睛 该题考查的是应用导数研究函数的问题 涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性 应用导数 研究函数的极值以及极值所满足的条件 在解题的过程中 需要明确导数的符号对单调性的决定性作用 再者就是要先保证函数的生存权 先确定函数的定义域 要对参数进行讨论 还有就是在做题的时候 要 时刻关注第一问对第二问的影响 再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确 24 2018 年全国卷 理 已知函数 1 若 证明 当时 当时 2 若是的极大值点 求 答案 1 见解析 2 解析 分析 1 求导 利用函数单调性证明即可 2 分类讨论和 构造函数 讨论的性质即可得到 a 的范围 详解 1 当时 设函数 则 当时 当时 故当时 且仅当时 从而 且仅当时 所以在单调递增 又 故当时 当时 2 i 若 由 1 知 当时 这与是的极 大值点矛盾 点睛 本题考查函数与导数的综合应用 利用函数的单调性求出最值证明不等式 第二问分类讨论和 当时构造函数时关键 讨论函数的性质 本题难度较大 25 2018 年理数全国卷 II 已知函数 1 若 证明 当时 2 若在只有一个零点 求 答案 1 见解析 2 详解 1 当时 等价于 设函数 则 当时 所以在单调递减 而 故当时 即 2 设函数 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点 i 当时 没有零点 ii 当时 当时 当时 所以在单调递减 在单调递增 故是在的最小值 若 即 在没有零点 若 即 在只有一个零点 若 即 由于 所以在有一个零点 由 1 知 当时 所以 故在有一个零点 因此在有两个零点 综上 在只有一个零点时 点睛 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 1 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 2 分离参数后转化为函数的值域 最值 问题求解 3 转化为两熟悉的函数图象的上 下关系问题 从而构建不等式求解 优质模拟试题 26 四川省成都市 2018 届模拟理 设函数 若存在区间 使在 上的值域为 则 的取值范围是 A B C D 答案 C 因为 所以在单调递增 因为在上的值域为 所以 所以方程在上有两解 作出与直线的函数 的图象 则两图象有两个交点 若直线过点 则 若直线与的图象相切 设切点为 则 解得 综上所述 所以实数 的取值范围是 故选 C 点睛 本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用 导数的几何意义 函数的零点与函数的图象 之间的关系等知识点的综合运用 其中把函数的值域转化为着方程有两个实数根 进而转化为两函数的图 象由两个交点是解答的关键 重考查了分析问题和解答问题的能力 以及推理与论证能力 27 辽宁省葫芦岛市 2018 年二模理 已知函数 在区间上任取三个数均 存在以为边长的三角形 则 的取值范围是 A B C D 答案 D 由此能求出 的取值范围 详解 函数 由 得 x 1 时 时 在区间上任取三个数均存在 以为边长的三角形 联立 得 故选 D 点睛 本题考查实数的求值范围的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意导数性质的合理运用 28 河南省洛阳市 2018 届三模理 已知函数与的图像有 4 个不同的交 点 则实数的取值范围是 A B C D 答案 C 解析 分析 函数与的图像有 4 个不同的交点 即有 4 个 不同的实根 由可得 讨论其性质可得 的取值范围 详解 函数 此时 此时 函数 在上单调递减 在上单调递增 由图像可知 在上单调递减 在 上单调递增 且当时 函数函数与 的图像有 4 个不同的交点 则实数 的取值范围为 故选 C 点睛 本题考查利用导数眼函数零点问题 注意数形结合思想的应用 解题时注意函数的定义域 属难 题 29 辽宁省葫芦岛市 2018 年二模理 已知函数 其中常数 1 当时 讨论的单调性 2 当时 是否存在整数 使得关于 的不等式在区间内有解 若存在 求出 整数的最小值 若不存在 请说明理由 参考数据 答案 1 f x 在 0 1 1 2 1 2 当 时 设 在 且 可知在 0 内 唯一 x0 使得 lnx0 x0 2 并且 F x 在 0 x0 x0