角平分线的应用

角平分线的应用角平分线的应用 1 定义 定理 1 角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条 射线叫做这个角的角平分线 2 角平分线的性质定理 在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等 3 逆定理 在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 二 基本结论 1 三角形内 外 角平分线夹角结论 1 如图 PB PC 分别平分 ABC 和 ACB P 90 A 2 1 点 P 在 BAC 的角平分线上 2 如图 PB PC 分别平分 ABC 和 ACB 的外角 P 90 A 2 1 点 P 在 BAC 的角平分线 上 3 如图 PB 平分 ABC PC 平分 ACB 的外角 P A 2 1 点 P 在 BAC 外角的角平分线 上 应用 如图在 ABC 中 PB 平分 ABC PC 平分 ACB 的外角 连接 AP 若 APC 40 则 NAP 2 三角形的三条角平分线交于一点 内心 这个点到三角形三边的距离相等 已知 ABC 中 ABC 和 ACB 的角平分线交于点 O 过 O 的直线 EF BC 分别 交 AB AC 于 E F 两点 若 BOC 135 EO OF OD 20 15 12 ABC 的面积 为 216 则 OD 3 三角形内 外 角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 1 在 ABC 中 AD 是 BAC 的角平分线AB AC BD DC 2 AD 是 ABC 外角 BAP 的角平分线AB AC BD DC 应用 在 ABC 中 A 2 B AC 3 5 BC 5 5 D 为射线 BA 上一点 D 到直线 AC BC 的距离相等 则 AD 1 作双高 1 构造全等 2 对角互补形 四边形 ABCD 中 BD 是 ABC 的角平分 线 3 4 180 DA DC 应用 在 ABC 中 O 是角平分线 BE 和 CD 的交点 A 60 求证 OD OE D E O C B A 2 作平行线 1 平分平行等腰 2 构造 A 型 X 型 基本应用 1 矩 ABCD 中 F 为 BC 中点 1 2AE AB EC 2 在正方形 ABCD 中 1 2AE BE DF 练习 在 ABC 中 AD 是中线 1 2 CE AB 若 BAC 120 2 1 E BC AD F AB 12 AC 8 求 EC 的长度 3 截长补短构全等 应用 1 在 ABC 中 AD 是角平分线 2 C B AC AB BD 4 平分线 高线 延长 等腰 D A B C 2 1 E D BC A E F D C A B 基本型 1 在 RT ABC 中 C 90 AC BC BD 是角平分线 AE BD 于 EBD 2AE 角平分线应用 1 应用 如图 在 ABC 中 BE CD 分别为 ABC 的角平分线 AD CD AE BE 连 结 DE 若 AB 8 AC 5 BAC 60 则 DE 的长为 60 E D B A C 2 如图 在等边 ABC 中 AB 8 D 为 AB 中点 点 E 在 BC 上 点 F 在 AC 上 且 AF 3CF DE 平分 BDF 则 BE 3 如图 已知菱形 ABCD 点 E 为 AD 边上一点 连接 CE 把 CDE 沿着 CE 翻折 CD 的对应 边所在直线交直线 AB 于点 F 若 AF 2 AE 3 CF 4 则 CD E D BC A F B A D C E 4 如图 在等边 ABC 中 AB 4 AD BC 于点 D 点 P 在 AB 的延长线上 点 Q 在 AB 上 PDQ 60 QD 延长线交 AC 延长线于点 R PB CR 若 PR 7 则 PQ 60 Q D R C A B P 5 已知 在 Rt ABC 中 BAC 90 CD 平分 ACB EDC 45 1 求证 AED ABC 90 2 1 2 过点 E 作 DE 的垂线 交 DC 于 M 交 BA 延长线于 N 若 NE MC 3 2 探究 BD 与 BC 的数量关系 6 已知 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 点 E 为 BC 边上的一点 BE AC 1 求证 BEA DAC 180 2 过点 C 作 CH AB 与点 H 分别交 BE AD 与点 M N 过点 E 作 EF AC 交 CH